平行四邊形經(jīng)典例題講解(3套)

1、經(jīng)典例題附帶詳細(xì)答案1.如圖,E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點,BE/DF,求證：AF【答案】證實：平行四邊形ABCD中,AD/BC,ADBC,ACBCAD.又BE/DF,BECDFA,BECADFA,CEAF2.如圖6,四邊形ABCD中,AB/CD,/B=/D,BC6,AB3,求四邊形ABCD的周長.【答案】20、解法一：AB/CDBC180又BDCD180AD/BC即得ABCD是平行四邊形ABCD3,BCAD6,四邊形ABCD的周長262318解法二：連接ACAB/CDBACDCA又BD,ACCAAABCACDAABCD3,BCAD6四邊形ABCD的周長262318解法三：B連接

2、BDAB/CDABDCDB又ABCCDACBDADBAD/BC即ABCD是平行四邊形ABCD3,BCAD6,四邊形ABCD的周長2623183 .(在四邊形ABCD中,/D=60°,/B比/A大20°,/C是/A的2倍,求/A,ZB,/C的大小.【關(guān)鍵詞】多邊形的內(nèi)角和【答案】設(shè)Ax(度),那么Bx20,C2x.根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得,x(x20)2x60360.解得,x70.A70,B90,C140.CE,DFBE,DF/BE.4 .如圖,E,F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點,AF求證：1AAFDACEB.2四邊形ABCD是平行四邊形.DFEBEF.QAFDDFE18

3、0°,CEB.又QAFCE,DFBE,【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì)判定【答案】證實：1QDF/BE,CEBBEF180°,AFDAFDCEB(SAS).(2)由(1)知AFDCEB,DACBCA,ADBC,AD/BC.四邊形ABCD是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)5 .)25.如圖13-1,在邊長為5的正方形ABCD中,點E、F分別是BC、DC邊上的點,且AEEF,BE2.(1)求EC：CF的值；(2)延長EF交正方形外角平分線CP于點P(如圖13-2),試判斷AE與EP的大小關(guān)系,并說明理由；(3)在圖13-2的AB邊上是否存在一點M,使得四邊形DME

4、P是平行四邊形？假設(shè)存在,請給予證實；假設(shè)不存在,請說明理由.【關(guān)鍵詞】平行四邊形的判定【答案】解：1QAEEF23900Q四邊形ABCD為正方形BC9001390°1 2QDAMABE90°,DAABDAMAABEDMAEQAEEPDMPE四邊形DMEP是平行四邊形.解法：在AB邊上存在一點M,使四邊形DMEP是平行四邊形證實：在AB邊上取一點M,使AMBE,連接ME、MD、DP.ADBA,DAMABE90°RtADAM0RtAABEDMAE,14Q1590°45900AEDMQAEEPDMEP四邊形DMEP為平行四邊形ADBEC6. (2021年廣州

5、市)如圖9,在AABC中,D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點.證實：四邊形DECF是平行四邊形.【關(guān)鍵詞】平行四邊形的判定【答案】:D.E、F分別為AB.BC.CA的中點,.DF/BC,DE/AC,四邊形DECF平行四邊形27. (2021年包頭)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(2,0),C(0,2),直線xm(m2)與x軸交于點D.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在直線xm(m2)上有一點E(點E在第四象限),使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似,求E點坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；(3)在(2)成立的條件下,拋物線上是否存在一點F,使

6、得四邊形ABEF為平行四邊形？假設(shè)存在,請求出m的值及四邊形ABEF的面積；假設(shè)不存在,請說明理由.【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)、相似三角形、運動變化、拋物線a解：1根據(jù)題意,得4a2b0,c0,2.3x2.y2x(2)EDBAAOC,/日AO得EDAO當(dāng)能EDCO-AO或EDBD1,COCOn時,BDm22,BD2COEDBD1ED點E在第四象限,E12mm,2當(dāng)股CO時,得,BDEDm22一八,ED2m4ED丁點E在第四象限,E2m,4(3)EF假設(shè)拋物線上存在一點F,AB1,點F的橫坐標(biāo)為使得四邊形ABEFm1,為平行四邊形,那么E1的坐標(biāo)為m,2-時,2點F1的坐標(biāo)為m2m1,一2丁點Fi在拋物

7、線的圖象上,2-(m1)3(m1)2,11m140,(2m7)(m2)0,1-m7,m2(舍去),252,SYABEF當(dāng)點E2的坐標(biāo)為(m,42m)時,點F2的坐標(biāo)為(m1,42m),丁點F2在拋物線的圖象上,_2_42m(m1)3(m1)2,2_1 m7m100,(m2)(m5)0,m2(舍去),m5,2 Fz(4,6),SYABEF166,注：各題的其它解法或證法可參照該評分標(biāo)準(zhǔn)給分.8.(2021年莆田)：如圖在YABCD中,過對角線BD的中點O作直線EF分別交DA的延長線、AB、DC、BC的延長線于點E、M、N、F.(1)觀察圖形并找出一對全等三角形：0,請加以證實；(2)在(1)中你

8、所找出的一對全等三角形,其中一個三角形可由另一個三角形經(jīng)過怎樣的變換得到？【關(guān)鍵詞】四邊形、全等三角形、變換(1)4DOEBOF;證實：四邊形ABCD是平行四邊形 .AD/BC:.EDOFBO,EF又ODOB .DOEzXBOFAAS證實：四邊形ABCD是平行四邊形 .AB/CD MBONDO,BMODNO又BODO .BOMWDONAASABDACDB；證實：四邊形ABCD是平行四邊形ADCB,ABCD又.BDDB AABDACDBSSS2繞點O旋轉(zhuǎn)180°后得到或以點O為中央作對稱變換得到.8分9. 2021年溫州在所名的9X9方格中,每個小正方形的邊長都是1.按要求畫平行四邊形

9、,使它的四個頂點以及對角線交點都在方格的頂點上.1在圖甲中畫一個平行四邊形,使它的周長是整數(shù)；2在圖乙中畫一個平行四邊形,使它的周長不是整數(shù).注：圖甲、圖乙在做題紙上【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì),判定【答案】解：1圖甲周K是整數(shù)圖甲f周長是整數(shù)(2)圖乙f周長不是整數(shù)圖乙周長不是整數(shù)10. 2021年中山在YaBCD中,AB10,AD=m,D60°,以AB為直徑作OO,1求圓心O到CD的距離用含m的代數(shù)式來表示2當(dāng)m取何值時,CD與OO相切.【關(guān)鍵詞】利用平行四邊形證實線段相等【答案】1分別過A,O兩點作AECD,OFCD,垂足分別為點E,點F,AE/OF,OF就是圓心O到CD的距離.

10、Q四邊形ABCD是平行四邊形,AB/CD,AEOF.在RtAADE中,60sinAEsin60ADAEAD3aeai_,AE2mAE圓心到CD的距離PF為3m.(2)QOFm,2AB為.的直徑,且AB10,當(dāng)OF5時,CD與.O相切于F點,即13m5,m10'.3,310.3一一S3時,CD與.O相切.311.2021年寧德市此題總分值8分如圖：點A.D.B.E在同一直線上,AD=BE,AC=DF,AC/DF,請從圖中找出一個與/E相等的角,并加以證實.不再添加其他的字母與線段【關(guān)鍵詞】平行四邊形的判定【答案】解法1:圖中/CBA=/E證實：AD=BEAD+DB=BE+DB即AB=DE

11、.AC/DFA=ZFDE又AC=DFABCADEF證實：.AC=DF,AC/DF 四邊形ADFC是平行四邊形CF/AD,CF=AD AD=BE:CF=BE,CF/BE 四邊形BEFC是平行四邊形FCB=ZE12.(2021年山東青島市)如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,AD6cm,CD4cm,BCBD10cm,點P由B出發(fā)沿BD方向勻速運動,速度為1cm/s；同時,線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動,速度為1cm/s,交BD于Q,連接PE.假設(shè)設(shè)運動時間為t(s)(0t5).解答以下問題：(1)當(dāng)t為何值時,PE/AB?(2)設(shè)4PEQ的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；2(3

12、)是否存在某一時刻t,使S/PEQ一SAbcd?假設(shè)存在,求出此時t的值；假設(shè)不存在,25說明理由.(4)連接PF,在上述運動過程中,五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由.【關(guān)鍵詞】全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形判定和性質(zhì)、平行四邊形有關(guān)的計算【答案】B解：(1)PE/ABDEDP一一.10t,DADB而DEt,DPt10t-,610115t415.當(dāng)t-5(s),PE/4(2)EF平行且等于CD,四邊形CDEF是平行四邊形.DEQC,DQEBDC.BCBD10,DEQCDQEBDC.ADEQsABCD.,DEEQ,.BCCDtEQ.104EQ2t.5過B作BM,CD,交CD于M,

13、過P作PN,EF,交EF于N.BM10222,10049646.EDDQBPt,PQ102t.又PNQs/XBMD,PQPN,BDBM102tPN尸,104.64,6.24.6.tt255PN4,61-5Sxpeq1EQgPN12t4,61-2255(3)SAbcd1eDgBM-44n8而22右SAPEQ_SABCD,25那么有4-1t2垂t28B25525解得t11,t24.(4)在PDE和AFBP中,DEBPt,PDBF10t,APDEAFBPPDEFBP,1-S五邊形PFCDESaPDES四邊形PFCDSAFBPS四邊形PFCDSaBCD8n在運動過程中,五邊形PFCDE的面積不變.13

14、.(2021年達(dá)州)如圖10,.0的弦ADBBC,過點D的切線交BC的延長線于點E,ACDDE交BD于點H,DO及延長線分別交AC.BC于點G、F.(1)求證：DF垂直平分AC;(2)求證：FC=CE;(3)假設(shè)弦AD=5cm,AC=8cm,求.O的半徑國10【關(guān)鍵詞】圓,平行四邊形,勾股定理【答案】(1) .口£是.的切線,且DF過圓心O DFXDE又AC/DE DFXAC DF垂直平分AC(2)由(1)知：AG=GC又AD/BC/DAG=/FCG又./AGD=ZCGFAGDACGF(ASA).AD=FC.AD/BC且AC/DE 四邊形ACED是平行四邊形.AD=CEFC=CE5分

15、(3)連結(jié)AO;AG=GC,AC=8cm,.AG=4cm在RtAAGD中,由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm設(shè)圓的半徑為r,那么AO=r,OG=r-3在RtAAOG中,由勾股定理得AO2=OG2+AG2有：r2=(r-3)2+42解得r=256.0O的半徑為256cm.經(jīng)典例題附帶答案2例1一個平行四邊形的一個內(nèi)角是它鄰角的3倍,那么這個平行四邊形的四個內(nèi)角各是多少度？分析根據(jù)平行四邊形的對角相等,鄰角互補可以求出四個內(nèi)角的度數(shù).解設(shè)平行四邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為X,那么它的鄰角的度數(shù)為3x,根據(jù)題意,得工+3"慟,解得x=45,3=135.這個平行四邊形的四個內(nèi)角的

16、度數(shù)分別為45°,135°,45°,135°.例2：如圖,口黃比力的周長為60cm,對角線AGBD相交于點O,的周長比iiBOC的周長多8cm,求這個平行四邊形各邊的長.分析由平行四邊形對邊相等,可知乂矛+BC=平行四邊形周長的一半=30cm,又由陰.5的周長比oc的周長多8cm,可知星-=scm,由此兩式,可求得各邊的長.解.四邊形5ra為平行四邊形,AB=CD,AD=BC,AO=OO.:AB+CD+AD-BC=60AB+BC=30.AO+AB-OS-OB-BC-OC=8.A5-5C=8.AB=CD=A9,BC=AD=U.答：這個平行四邊形各邊長分別為

17、19cm,11cm19cm11cm說明：學(xué)習(xí)此題可以得出兩個結(jié)論：1平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.2平行四邊形被對角線分成四個小三角形,相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差.例3：如圖,在“乂無力中,式.、B交于點Q過O點作EF交ABCD于E、F,那么OEOF是否相等,說明理由.分析觀察圖形,堤加三蘭蘭皿用從而可說明二三一二胃證實在./苑工?中,二月1回交于Q上°=.-曲ya二次Q乙即必和AAEO"受伏AAE)0£=0F,一例4：如圖,點垂足為F.求證：上9二二丁E在矩形ABCD勺邊BC上,且口*二月0,月F'DE,分析觀察圖形,UFQ與口C

18、E都是直角三角形,且銳角£ADF=ZDEC,斜邊AD=DE,因此這兩個直角三角形全等.在這個圖形中,假設(shè)連結(jié)AE,那么小宜田與小4尹月全等,因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系.證實:四邊形ABCDII矩形,血血/.=9.“,.ADE=£DEC.又回口£,.二戰(zhàn)F口三WCE.卅F二口U例5O是DABCD寸角線的交點,&QRC的周長為59,即=匏,AC=2A,貝!出口=,假設(shè)血吸與&OAE的周長之差為15,那么乂呂=,IOABCD的周長=.0A=OC=-ACOB=OD=-BD解答：ABCM,2,二=OB¥OCrBC=-BD-AC-BC

19、6;BD的周長22=19+12+BC=593C=2§在CABCD,界C=AD.:AD=28OBC的周長OAB的周長=3+OC+EC)-0"B+M)=BC-AB=15T7ABCD勺周長,一,/：-''':I.'說明：此題考查平行四邊形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是將AOFC與ACME的周長的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差.例6：如圖,匚ABCD勺周長是3生掰,由鈍角頂點D向AB,BC弓|兩條高DEE,DF,且"百,C5?/解.求這個平行四邊形的面積.解答：設(shè).：.丁四邊形ABCM平行四邊形,-一-1-.又二四邊形ABCD勺周長為36,2克+2,二無二J,?

20、：,ScdB,DE,SnAK：n=BC*D>.4月=5島解由,組成的方程組,得11-.-.說明：此題考查平行四邊形的性質(zhì)及面積公式,解題關(guān)鍵是把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程組的問題.經(jīng)典例題附帶詳細(xì)答案3例12006年河北如圖1,平行四邊形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分/BAD交BC邊于點E,那么線段BE、EC的長度分別是.A、2和3B、3和2C、4和1D、1和4解析：因四邊形ABCD是平行四邊形,故AD/BC,AD=BC.所以/DAE=/BEA.又CE=53=2.應(yīng)選BoAE平分/BAD,故/BAE=/DAE=/BEA.所以AB=BE=3,例22006年棗莊市如圖2,平行四邊形ABCD

21、中,對角線AC和BD相交于點O,如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范圍是A、10<m<12B、2<m<22C、1<m<11D、5<m<6,圖2解析：因四邊形ABCD是平行四邊形,故AO=CO,DO=BO,又AC=12,BD=10,那么AO=6,BO=5.故65<m<6+5,即1<m<11.應(yīng)選C.例32006年北京市海淀區(qū)如圖3,平行四邊形ABCD中,E、F分別是BC和AD上的點,并且BE=DF.求證：ABECDF.證實：因四邊形ABCD是平行四邊形,故AB=CD,/B=/D.又BE=DF,所以ABECDF(SAS).點評：平行四邊形具有以下性質(zhì)：兩組對邊分別平行；兩組對邊分別相等；兩組對角分別相等；對角線互相平分.二、考查平行四邊形的判定例42006年攀枝花市如圖4,AD=BC,要使四邊形ABCD是平行四邊形,還需補充的一個條件是.解析：可選擇AD/BC,AB=CD,ZA+ZB=80°,/C+/D=180°等條件中的一個.此題是答案不唯一的開放題,所添的條件靈活多樣,主要考查平行四邊形的判定方法.例5如圖