平面向量知識點總結(jié)精華資料全

1、必修4平面向量知識點小結(jié)一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知A(1,2),B(4,2),則把向量器按向量a(1,3)平移后得到的向量是.結(jié)果：(3，。)2 .零向量：長度為。的向量叫零向量，記作：。，規(guī)定：零向量的方向是任意的；3 .單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線uuu的單位向量是舞)；|ab|4 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5 .平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做

2、平行向量，記作：a/b,規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！(因為有。)；三點a、b、c共線AB戰(zhàn)共線.6 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量記作a.舉例2如下列命題:(1)若由面,則abr.(2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.(3)若AB粕，則ABCD是平行四邊形.(4)若ABCD是平行四邊形，則匿DC.(5)若ab,bC,則aC.(6)若a/b,b/C則a/C.其中正確的是.結(jié)

3、果：(4)(5)二、向量的表示方法1 .幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如器，注意起點在前，終點在后；2 .符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如a,b,c等；3 .坐標表示：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量r，r為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為arX；y；(x,y),稱(x,y)為向量1的坐標，a(x,y)叫做向量1的坐標表下.結(jié)論：如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.三、平面向量的基本定理定理設(shè)eg同一平面內(nèi)的一組基底向量，a是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實數(shù)對(i,2),使az2鼠(1)定理核心：a4世；(2)從左向右看，是對向量

4、a的分解，且表達式唯一；反之，是對向量a的合成.(3)向量的正交分解：當n時，就說a啟卷為對向量士的正交分解.舉例3(1)若a(1,1),b0,1),c(1,2),則c結(jié)果:1b.(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.3(0,0),8(1,2)B.11(1,2),e(5,7)C.g(3,5),e(6,10)D.&(2,3)021,324(3)已知Ad,BE分別是AABC的邊BC,AC可用向量a,b表示為.結(jié)果：§.3(4)已知AABC中，點D在BC邊上，且上的中線，且器a能b,貝UBur值是.結(jié)果:四、實數(shù)與向量的積0.4；b.3unrCDuuiruuruuru

5、ur2DB)CDrABsAC)燦sRJ實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作九下：它的長度和方向規(guī)定如(i)模：a11啟；(2)方向：當o時，a的方向與a的方向相同，當o時，a的方向與a的方向相反，當0時，a0,r住息：a0.五、平面向量的數(shù)量積1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a,b,作戕a,潴b,則把AOB(0)稱為向量a,b的夾角.當0時，a,b同向；當時，a,b反向；當；時，a,b垂直.2 .平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a,b,它們的夾角為，我們把數(shù)量|J|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)，記作：al,rr即ab|a|b|cos.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量

6、積是一個實數(shù)，不再是一個向量.舉例4(1)MBC中，滯|3,炭|4,|BC|5,則ABBC.結(jié)果：9.(2)已知a1,2,b0,2,cakb,；a；,c與；的夾角為則k.結(jié)果：1.(3)已知山2,而5,ab3,則an.結(jié)果：岳.(4)已知a,b是兩個非零向量，且向小由b|,則a與a。的夾角為.結(jié)果：30。.rr3.向量b在向量上的投影：|b|cos,它是一個實數(shù)，但不一定大于0.舉例5已知由3,|b|5,且ab12,則向量a在向量：上的投影為.結(jié)果：152.4 .ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的模向與b在a上的投影的積.5 .向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a,b,其夾角為，則：(1)bab

7、0；rrr(2)當a、b同向日寸，ab|a|b|,特力U地，aaa|a|a|;ab|b|是a、b同向的充要分條件；當a、br反向時，ab|a|b|,ab|:|b|是a、b反向的充要分條件；當為銳角時，ab0,且a、4不同向，ab0是為銳角的必要不充分條件；當為鈍角時，ab0,且a、4不反向；ab0是為鈍角的必要不充分條件.rrr(3)非零向量a,b夾角的計算公式：cos沖；ab山也.|a|b|舉例6(1)已知a(,2),b(3,2),如果a與1r的夾角為銳角，則的取值范圍是.結(jié)果：4或0且；(2)已知AOFQ的面積為S,且器品1,若1S,則器，品夾角的取值范圍是.結(jié)果：*；43(3)已知(co

8、sx,sinx)b(cosy,siny)且滿足|kab1731akb|(其中k0).用k表示abr；求N的最小值，并求此時a與b的夾角的大小.結(jié)果：Nk_2(k0)；最小值為鼠60o.六、向量的運算1 .幾何運算(1)向量加法運算法則：平行四邊形法則；三角形法則.運算形式：若ABa,BCb,則向量AC叫做a與b的和，即rruumuurimrabABBCAC；作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.(2)向量的減法運算法則：三角形法則.運算形式：若ABa,ACb,則abABACCA,即由減向量的終點指向被減向量的終點.作圖：略.注：減向量與被減向量的起點相同.舉例7(1)化簡：AB能對

9、；ABad鴕；(UlB品(AC品).結(jié)果：AS；Ci；0；(2)若正方形abcd的邊長為1,UUBa,BCb,ACc,則|abC|.結(jié)果：2乏；(3)若0是。所在平面內(nèi)一點，且滿足蹲能潴鴕2OA，則MBC的形狀為.結(jié)果：直角三角形；(4)若D為"BC的邊BC的中點，"BC所在平面內(nèi)有一點P,滿足uuu戰(zhàn)器CP0,設(shè)霜，則的值為:結(jié)果：2;(5)若點o是ABC的外心，且0A能CO0,則ABC的內(nèi)角C為:結(jié)果：120。.r2 .坐標運算：設(shè)a(x,yi),b區(qū).)，則(1)向量的加減法運算：ab(xiX2,yiy2),0rb(xiX2,yiy2).舉例8(1)已知點A(2,3)

10、,B(5,4),C(7,10),若器器Ac(R),則當時，點P在第一、三象限的角平分線上.結(jié)果：3(2)已知A(2,3),B(1,4),且.(sinx,cosy),x,y(，),貝Uxy.結(jié)果：否或萬；(3)已知作用在點A(1,1)的三個力£(3,4),Fr2(2,5),F3(3,1),則合力ffFrF：的終點坐標是.結(jié)果：(9,D.(2)實數(shù)與向量的積：0(xj)(x,y).(3)若A-B3yz),則AB%),即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標舉例9設(shè)A(2,3)B(1,5)且AC【ABAD31AB則C,D的坐標分別是3.結(jié)果：(1,131),(7,9

11、).r(4)平面向重數(shù)重積：abx1x2ym.舉例10已知向量0(sinx,cosx)b(sinx,sinx)C(1,0).(1)若x1求向量。、C的夾角；3(2)若x3r4,函數(shù)f3ab的最大值為，求的值.結(jié)果：(1)150。；(2)1或壺1.(5)向量的模：a2|a|2x2y2|a|&F.舉例11已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么ia3bi=.結(jié)果：病.(6)兩點間的距離：若AJ,%),B(x2,y2),則|AB|gx)2(y2yj2.舉例12如圖，在平面斜坐標系xOy中，xOy60。，號向上任一i點P關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若器4捻，其中疑分別為與x軸、y

12、軸同方向的單位向量，則p點斜坐標為(內(nèi)).(1)若點P的斜坐標為(2,2),求p到o的距離1Poi；(2)求以o為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xoy中的方程.結(jié)果：(1)2；(2)x2y2xy10.七、向量的運算律3 .交換律：abba,(a)()si,<abb<a;4 .結(jié)合律：abc(ab)C,&bCar(bC),(a)b(3b)<a(b)；5 .分配律：()aaa,mb)ab,(ab)CacLc.舉例13給出下列命題：a/C)abac；a(bC)gb)c；rorb-或r2brorbrar.Mu2貝ra2>r若""則ac；命a2；器？；其

13、中正確的是.結(jié)果：.說明：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(bC)(ab)c,為什么？八、向量平行(共線)的充要條件rrrrrr2rr2a/bab(ab)(|a|b|)x1y2y1x20.舉例14(1)若向量a(x,1),b(4,x),當x時，與b共線且方向相同.結(jié)果：2.(2)已知aa)，b(4,x),ua2：,r2ab,且u/r,則x.結(jié)果：4.(3)設(shè)PA(k,12),

14、PB(4,5),PC(10,k),則k曰寸，A,B,C共線.結(jié)果：2或11.九、向量垂直的充要條件rrrrrrrabab0|ab|ab|xx?yy20.ujinuuiruuuuuirABACABAC付力1地-uu-uuiruuuuuir.|AB|AC|AB|AC|舉例15(1)已知OA(1,2),OB(3,m),若戕器，則m.結(jié)果：m:；(2)以原點。和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB,B90,則點b的坐標是.結(jié)果：(1,3)或(3,1);(3)已知n(a,b)向量4m,且而由，則m的坐標是.結(jié)果：(b,a)或(b,a).十、線段的定比分點1 .定義：設(shè)點P是直線PR上異于P、F2

15、的任意一點，若存在一個實數(shù)，使ppr靛，則實數(shù)叫做點p分有向線段器；所成的比，p點叫做有向線段FUFU的以定比為的定比分點.2 .的符號與分點p的位置之間的關(guān)系(Dp內(nèi)分線段puFr,即點p在線段PR上o；(2) p外分線段P片時，點p在線段PP2的延長線上1,點P在線段P1P2的反向延長線上1o.注：若點P分有向線段PP：所成的比為，則點P分有向線段P2a所成的比為L舉例16若點p分AB所成的比為3則a分BP所成的比為.結(jié)果：7.33 .線段的定比分點坐標公式：設(shè)Pa,%),PzGm),點P(x,y)分有向線段片由所成的比為，則定比分X點坐標公式為X1X2,1(V1V2.11).特別地，當1

16、時，就得到線段PP2的中點坐標公式X1X22ViV22y說明：(1)在使用定比分點的坐標公式時，應(yīng)明確(X,y),(3)、(”2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標.(2)在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比.舉例17(1)若M(3,2),N(6,1),且晶1湍，則點P的坐標為.3結(jié)果：(6,73)；(2)已知A(a,0),B(3,2a),直線y；ax與線段AB交于M,且1AMr2MB，則a.結(jié)果：2或4.十一i、平移公式如果點P(x,y)按向量a(h,k)平移至P(x,y),則xxh,;曲線f(x,y)0按yyk.向量(h,k)平移得曲線f(

17、xh,yk)0.說明：(1)函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了?。∨e例18(1)按向量a把(2,3)平移到(1,2),則按向量a把點(7,2)平移到點.結(jié)果：(8,3)；(2)函數(shù)ysin2x的圖象按向量3平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2x1,貝Ja.名吉果:：(-,1).十二、向量中一些常用的結(jié)論1 .一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；2 .模的性質(zhì):自|b|ab|向|b|.(1)右邊等號成立條件：a、g同向或a、b中有01a。臼自；(2)左邊等號成立條件：a、k反向或a、b中有0|aId|<a|b|；(3)當a、b不共線a|bab11abi.3.三角形重心公式在AABC中,若A(x1,y),B(x2,y2),雎羋)，則其重心的坐標為G(Xix22Viy2y3舉例19若"BC的三邊的中點分別為A(2,1)、B(3,4)、C(1,1),則ZABC的重心的坐標為.結(jié)果：|4.335.三角形“三心”的向量表示/、uL01aliuunujuiurninnunrr(1)PG(PAPBPC)G為ABC的重心，特別地PAPBPC0G3為乙ABC的重心.uuiuuruuriunu(2)PAPBPBPCnurPCuuiPAP為ABC的垂心./u、uuuirUULTuujurLUTUUL