二次函數(shù)的應(yīng)用-——最大面積問題教學(xué)設(shè)計

1、 ?二次函數(shù)的應(yīng)用面積最大問題?教學(xué)設(shè)計二次函數(shù)的應(yīng)用面積最大問題。所用教材是山東教育出版社材九年級上冊第三章第六節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用，本節(jié)共需四課時，面積最大是第一節(jié)。下面我將從教材內(nèi)容的分析、教學(xué)目標(biāo)、重點、難點確實定、教學(xué)方法的選擇、教學(xué)過程的設(shè)計和教學(xué)效果預(yù)測幾方面對本節(jié)課進(jìn)行說明。一、教學(xué)內(nèi)容的分析1、地位與作用： 二次函數(shù)的應(yīng)用本身是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，檢驗學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題能力的一個綜合考查。新課標(biāo)中要求學(xué)生能通過對實際問題的情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會其意義，能根據(jù)圖象的性質(zhì)解決簡單的實際問題，而最值問題又是生活中利用二次函數(shù)知識解決最常見、最有實際應(yīng)用價

2、值的問題之一，它生活背景豐富，學(xué)生比擬感興趣，對于面積問題學(xué)生易于理解和接受，故而在這兒作專題講座，為求解最大利潤等問題奠定根底。目的在于讓學(xué)生通過掌握求面積最大這一類題，學(xué)會用建模的思想去解決其它和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題。此局部內(nèi)容是學(xué)習(xí)一次函數(shù)及其應(yīng)用后的穩(wěn)固與延伸，又為高中乃至以后學(xué)習(xí)更多函數(shù)打下堅實的理論和思想方法根底。2、課時安排教材中二次函數(shù)的應(yīng)用只設(shè)計了3個例題和一局部習(xí)題，無論是例題還是習(xí)題都沒有歸類，不利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握解決問題的方法，我設(shè)計時把它分為面積最大、利潤最大、運(yùn)動中的二次函數(shù)、綜合應(yīng)用四課時，本節(jié)是第一課時。3.學(xué)情及學(xué)法分析 學(xué)生由簡單的二次函數(shù)yx2學(xué)習(xí)開始，然后

3、是yax2，yax2+c，最后是y=a(x-h)2，ya(x-h)2+k，yax2+bx+c，學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和圖像的性質(zhì)。對函數(shù)的思想已有初步認(rèn)識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應(yīng)用知識解決問題，本節(jié)課正是為了彌補(bǔ)這一缺乏而設(shè)計的，目的是進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標(biāo)中知識與技能呈螺旋式上升的規(guī)律。2、 教學(xué)目標(biāo)、重點、難點確實定教學(xué)目標(biāo)： 1、知識與技能：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，穩(wěn)固二次函數(shù)y=a0的圖象與性質(zhì)，理解頂點與最值的關(guān)系，會求解最值問題。 2過程與方法：經(jīng)歷

4、“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題利用二次函數(shù)知識解決問題利用求解的結(jié)果解釋問題的過程體會數(shù)學(xué)建模的思想，體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又效勞于 生活。 3.情感態(tài)度、價值觀：培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考的能力和合作學(xué)習(xí)的精神，在動手、交流過程中培養(yǎng)學(xué)生的交際能力和語言表達(dá)能力，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的養(yǎng)成。 教學(xué)重點：利用二次函數(shù)y=a0的圖象與性質(zhì)，求面積最值問題 教學(xué)難點：1、正確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 2、對函數(shù)圖象頂點、端點與最值關(guān)系的理解與應(yīng)用三、教學(xué)方法與手段的選擇由于本節(jié)課是應(yīng)用問題，重在通過學(xué)習(xí)總結(jié)解決問題的方法，故而本節(jié)課以“啟發(fā)探究式為主線開展教學(xué)活動，解決問題以學(xué)生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調(diào)

5、動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性，突出學(xué)生的主體地位，到達(dá)“不但使學(xué)生學(xué)會，而且使學(xué)生會學(xué)的目的。為了提高課堂效率，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，適當(dāng)?shù)剌o以電腦多媒體技術(shù)。四、教學(xué)流程 一 請同學(xué)獨立完成下面3個問題： 環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)引入階段我設(shè)計了三個問題：1函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)中，假設(shè)a0，那么當(dāng)x=-時，y( )= ；假設(shè)a0，那么當(dāng)x= 時，y( )= 。2.1求函數(shù)y 2x2+2x3的最值。 2求函數(shù)yx2+2x3的最值。0x 3 3。如圖，在邊BC長為20cm，高AM為16cm的ABC內(nèi)接矩形EFGH，并且它的一邊FG在ABC的邊BC上，E、F分別在AB、AC上，假設(shè)設(shè)EF為xcm，請用x

6、的代數(shù)式表示EH。解：矩形EFGH， EHBC AEH_。又BC上的高AM交EH于T。=_，即=_。EH= 。設(shè)計思路通過復(fù)習(xí)題1讓學(xué)生回憶二次函數(shù)的圖象和頂點坐標(biāo)與最值，通過做練習(xí)2復(fù)習(xí)求二次函數(shù)的最值方法-公式法、配方法、圖象法，練習(xí)21的設(shè)計中，學(xué)生求最值容易想到頂點，無論是配方、還是利用公式都能解決；2中給了0x3,學(xué)生求最值時可能還會利用頂點公式求,忽略了0x3,的限制，設(shè)計此題就是為了提醒學(xué)生注意求解函數(shù)問題不能離開定義域這個條件才有意義，因為任何實際問題的定義域都受現(xiàn)實條件的制約，做完練習(xí)后及時讓學(xué)生總結(jié)出了取最值的點的位置往往在頂點和兩個端點之間選擇，練習(xí)3復(fù)習(xí)相似三角形，把一

7、條線段用X表示，為學(xué)習(xí)新課做好知識鋪墊。 二探究新知： 新課分為在創(chuàng)設(shè)情境中發(fā)現(xiàn)問題、在解決問題中找出方法、在穩(wěn)固與應(yīng)用中提高技能幾個環(huán)節(jié) 1、在創(chuàng)設(shè)情境中發(fā)現(xiàn)問題 提問學(xué)生上面練習(xí)中第三題矩形EFGH的最大面積是多少？學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)矩形長、寬、面積不確定，從而回想起常量與變量的概念，最值又與二次函數(shù)有關(guān)，進(jìn)而自己聯(lián)想到用二次函數(shù)知識去解決，而不是老師告訴他用函數(shù)。求一個面積最大的矩形，這個問題本身對學(xué)生來說具有很大的趣味性和挑戰(zhàn)性，學(xué)生既感到好奇，又樂于探究它的結(jié)論，從而很自然地從復(fù)習(xí)舊知識過渡到新知識的學(xué)習(xí)。 2、在解決問題中找出方法 這一環(huán)節(jié)我設(shè)計了探究活動一： 在上面練習(xí)題3中，假設(shè)

8、要使矩形EFGH獲得最大面積，那么它的長和寬各是多少？最大面積是多少？把矩形變成一個實際問題，目的在于讓學(xué)生體會其應(yīng)用價值我們要學(xué)有用的數(shù)學(xué)知識。學(xué)生在前面探究問題時，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了面積不唯一，并急于找出最大的，而且要有理論依據(jù)，這樣首先要建立函數(shù)模型，在選取變量時學(xué)生可能會有困難，這時教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注哪兩個變量，就把其中的一個主要變量設(shè)為x，把另一個設(shè)為y，其它變量用含x的代數(shù)式表示，找出等量關(guān)系，建立函數(shù)模型，實際問題還要考慮自變量的取值范圍，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學(xué)生在不斷探究中悟出利用函數(shù)知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為以后的學(xué)習(xí)奠定思想方法根

9、底。 想一想的設(shè)計讓學(xué)生體會到不同的解設(shè)方法所得的最大面積是一樣的，圖形的最大值只有一個。解決完想一想之后及時讓學(xué)生總結(jié)方法，為變式訓(xùn)練打下思想方法根底。 3、在穩(wěn)固與應(yīng)用中提高技能 有一塊三角形余料如下圖，C=90，AM=30cm，AN=40cm，要利用這塊余料如圖截出一個矩形ABCD，問矩形的邊長分別是多少時，矩形的面積最大？ 我設(shè)計了兩個問題：(1)設(shè)長方形的一邊ABx m，那么AD邊的長度如何表示？(2)設(shè)長方形的面積為y m2，當(dāng)x取何值時，y的值最大？最大值是多少？問題一的設(shè)計目的： 這個問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)相似時見過同種類型，所以在課堂上要給學(xué)生留出一些思考和交流的時間，讓學(xué)生充分發(fā)

10、揮課堂的主體地位。在學(xué)生充分發(fā)揮自主探索的能力后，教師要與學(xué)生共同協(xié)作完成題目的解答。這樣做的目的是為學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)起示范作用，幫助學(xué)生在腦海中形成完整的解答過程。具體的過程如下：分析：(1)要求A D邊的長度，即求BC邊的長度，而BC是EBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出BC 。由EBCEAF，得即 ，所以ADBC (40x)。(2)要求面積y的最大值，即求函數(shù)yABADx (40x)的最大值，就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題了。 下面由學(xué)生完成解答過程。 我設(shè)計了一個問題：用什么方法求出AD的長？學(xué)生容易想到三角形相似，而忽略了相等的角的三角函數(shù)值也相等，借助M或者M(jìn)CD的正切值也可以求出AD的長，

11、然后讓學(xué)生比擬最優(yōu)解題方法。 提出問題：解決這類問題你有什么心得？ 首先對題意進(jìn)行分析，找到變量間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)求面積就是求矩形的兩條邊，其次把兩條邊都用含有x的代數(shù)式表示出來，最后帶入面積公式將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方式解決它。 設(shè)計目的讓學(xué)生及時回思，總結(jié)解題方法，到達(dá)舉一反三的效果。2問題二：將問題一變式：“設(shè)AD邊的長為x m，那么問題會怎樣呢？ 問題二的設(shè)計目的：學(xué)生在是生活中遇到的問題是千變?nèi)f化的，他們要有具體問題具體分析的能力，所以將問題進(jìn)行一定變化后學(xué)生可以通過自己的分析獨立解決這類問題。從而提高學(xué)生獨立思考并解決問題的能力。分析：要求面積需求AB的邊長，而AB=CD，

12、所以需要求DC的長度，而DC是MDC中的一邊，所以可以利用三角形相似來求,也可以借助三角函數(shù)值相等求出。一生板演。提出問題：矩形面積的最大值有何變化？讓學(xué)生感知：同一實際問題中的最大值問題與所設(shè)的自變量無關(guān)，它是固定不變的的。設(shè)計說明： 課堂上要求學(xué)生獨立完成這個問題的完整解答，請一、兩名學(xué)生板演，再由其他學(xué)生進(jìn)行點評，找出完美的解答過程。表達(dá)學(xué)生的自主探索、合作交流的意識與能力，也充分表達(dá)了生生評價的鼓勵作用。3問題三：對問題一再變式 問題三的設(shè)計目的：問題二的解答會使一局部學(xué)生完全按照問題一的格式套下來，此時他們還會有點不熟練，但問題三那么從另一個角度重新詮釋了面積最大的問題。即讓學(xué)生對這

13、個問題重新進(jìn)行審視又讓學(xué)生徹底弄清這類問題的思考方式。讓學(xué)生在課堂上看到了活生生的數(shù)學(xué)問題，感受到數(shù)學(xué)與生活有著密切的聯(lián)系，使學(xué)生真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的價值。在Rt0MN的內(nèi)部作內(nèi)接矩形ABCD，點A和D分別在兩直角邊上，BC在斜邊MN上。設(shè)矩形的邊BC=xm，那么AB邊的長度如何表示？設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x取何值時，y的最大值是多少?提出問題：,在一個直角三角形的內(nèi)部能找到兩者的關(guān)系，所以該題要添加輔助線斜邊上的高，轉(zhuǎn)化為探究活動一的問題?；顒幽康模河辛饲懊鎯深}作根底，這個問題教師可以帶著學(xué)生先行分析后留給學(xué)生自己解決，作為練習(xí)。課件展示標(biāo)準(zhǔn)的解題步驟。為了培養(yǎng)優(yōu)生，張揚(yáng)學(xué)生的個性開展，設(shè)計了

14、一個提高題：如圖,ABC是一等腰三角形鐵板余料,其AB=AC=20cm,BC=24cm.假設(shè)在ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,點D、G分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少?xxy4問題四：窗戶通過的最大面積問題四的設(shè)計目的： 有關(guān)面積最大問題的根底訓(xùn)練前面已經(jīng)涉及，這里設(shè)計了提高題來提升學(xué)生解決問題的能力。某建筑物的窗戶如下圖,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有的黑線的長度和)為15m.當(dāng)x等于多少時,窗戶通過的光線最多?此時,窗戶的面積是多少?教學(xué)預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生分析得出x為半圓的半徑，2x是矩形的較長邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有

15、關(guān)系，要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓 的面積之和最大，即2xy x2最大，而由于4y4x3xx7x4yx15，所以y 。面積Sx22xy x22x x2 3.5x27.5x，這時已經(jīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即二次函數(shù)了，只要化為頂點式或代入頂點坐標(biāo)公式中即可 實際教學(xué)效果：問題四中的數(shù)量關(guān)系，較前面3個問題，該題處理起來比擬繁瑣，教師要給予學(xué)生及時的指導(dǎo)和幫助。此處設(shè)計了微視頻，通過微視頻讓學(xué)生明確解題方法。 第二環(huán)節(jié) 歸納升華活動內(nèi)容：同學(xué)們能否根據(jù)前面的例子作一下總結(jié)，解決此類問題的根本思路是什么呢？與同伴進(jìn)行交流活動目的：通過前面例題的學(xué)習(xí)和感受，學(xué)生討論交流，在教師的幫助下歸納出：根

16、本流程為：理解題目 分析量與未知量 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決此類問題的根本思路是：(1)理解問題；(2)分析問題中的變量和常量以及它們之間的關(guān)系；(3)用二次函數(shù)表示出變量間的關(guān)系；(4)確定最大值或最小值；(5)檢驗結(jié)果的合理性并進(jìn)行應(yīng)用拓展。第三環(huán)節(jié) 課堂檢測設(shè)計說明：通過一節(jié)課的的研究，讓學(xué)生進(jìn)一步感受二次函數(shù)解決面積最大的思路，為了讓更多的學(xué)生體驗到成功，利用兩個比擬簡單的問題及時穩(wěn)固，并有利于學(xué)生樹立信心。第四環(huán)節(jié) 回憶反思本節(jié)課我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)知識解決最大面積的問題，增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識，獲得了利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進(jìn)一步感受了數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值

17、設(shè)計說明：旨在培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和合作交流的意識。課堂中應(yīng)請學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。教師予以鼓勵、表揚(yáng)和肯定即可。通過微視頻提升學(xué)生興趣。第五環(huán)節(jié) 布置作業(yè) 1.預(yù)習(xí)下一節(jié)最大利潤應(yīng)用問題 2.課本P78問題解決1、3ABCD 3.選作如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平米。(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)假設(shè)墻的最大可用長度為8米，那么求圍成花圃的最大面積。 設(shè)計目的：提醒學(xué)生自變量的取值范圍，尋求最值不一定在頂點處。三、評價與反思 本節(jié)課的目的主要