基本不等式二均值二帶答案

1、基本不等式（二）均值不等式（二）均值不等式（二）一填空題111設(shè)a b c 0, 2a2 +-10ac + 25c2 的最小值為aba(a - b)： 4 。1b (a - b)4a2+ (a - 5c)2 a2 +解答：原式= a2 + 4 。當(dāng)且僅當(dāng)a = 5c = 2b 時(shí)取到。2已知正數(shù)a,b, c 滿足b2 + ab + bc + ca = 15 ，則5a +8 b3+ c10+： 40 。解答： 5a + 8b + 3c +10 = 5(a + b) + 3(b + c) +10 2 15(a + b)(b + c) +10 = 30 。的最小值為3已知 x 0 ， y 0 ， x

2、 + 2y + 2xy = 8，則 x + 2 y 的最小值為： 4 。 x + 2 y 2解一： 8 = x + 2 y + 2xy x + 2 y + ，解得 x + 2y 4 或 x + 2y -8 （舍）；2解二： x = 8 - 2 y ，2 y +1 x + 2 y = 8 - 2 y + 2 y =9+ 2 y +1- 2 4 ，當(dāng)且僅當(dāng) y = 1時(shí)等號(hào)成立。2 y +12 y +14設(shè) M 是VABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 SVABC = 1，定義 f (M ) = (m, n, p) ，其中m, n, p 分別是VMBC 、VMCA 、VMAB 的面積，若 f (M ) = ( ,

3、x, y) ，則 1 + 4 的最小值為1 .2xy：18 ；解一：依題意， 1 + x + y = 1，即 x + y = 1 ，21 + 4 = 1 + 2 + 2 xyxyy29= 18 ；x + y + y22解二： ( x + y) 1 + 4 = 1+ 4x + y + 4 9 ，即 1 + 4 18 ； xy yxxy解三： ( x + y) 1 + 4 (1+ 2)2 ，柯西不等式。 xy 1 / 7基本不等式（二）均值不等式（二）5 a,b, c R+ ， a(a + b + c) + bc = 4 - 2 3 ，則2a + b + c 的最小值為： 2 3 - 2 ；解答：

4、 2a + b + c = (a + b) + (a + c) 2 (a + b)(a + c) = 24 - 2 3 = 2 3 - 2 。146 已知VABC 中， a + b = 2 ，為： 10 ；+= 10 ，則VABC 的外接圓半徑 R 的最大值sin Asin B9解答：依題意， sin A + sin B =1 ，R 10 = (sin A + sin B)14 9 ，即 R 10 ，當(dāng)且僅當(dāng)sin A =+2 sin B 時(shí)取到。 sin Asin B R97已知a 1 ,b 1 , ab = 2 ，則a + b 的最大值為339：1；解一： a + b = a +，其中a

5、1 , 2 ，23 3 9a 22 a + b ,1 ；3解二：依題意， a - 1 b - 1 0 ，即ab - 1 (a + b) + 1 0 ，3 3 39 a + b 1，當(dāng)且僅當(dāng)ab = 2 時(shí)等號(hào)成立；9解三：考慮坐標(biāo)平面aOb ，a 1 ,b 1 , ab = 2 表示反比例函數(shù)b =29a在a 1 , 2 上的一段弧，3 3 33 a + b 的最大值在端點(diǎn)處取到。98 a,b, c 均為正數(shù)，且a2 + 2ab + 2ac + 4bc =12 ，則a + b + c 的最小值為： 2 3 ；解一： a + b + c = 1 (a + 2b) + (a + 2c) (a +

6、2b)(a + 2c) = 23 ；22 / 7基本不等式（二）均值不等式（二）解二： (a + b + c)2 = a2 + 2ab + 2ac + 2bc + b2 + c2 a2 + 2ab + 2ac + 2bc + 2bc =12 ；9. 設(shè)a,b, c R ，且2a + 2b = 2a+b , 2a + 2b + 2c = 2a+b+c ，則c 的最大值為： 2 - log2 3；解答：依題意， 2a+b + 2c = 2a+b 2c ，2a+b 1 2= 1+；2a+b -12a+b -1c又Q 2a+b = 2a + 2b 22a+b ， 2a+b 4 ，4 2 1,，c3 c

7、 log 4 = 2 - log 3 。2 32n24m2110已知實(shí)數(shù)m , n 1，則2： 8 ；+的最小值為2m -1n -1解一：設(shè) M = 2m -1， N = n -1，則( N +1)2(M +1)2N 2M 2NN1MM原式=+=+1 8 1 = 8 ，MMMMNNNMN當(dāng)且僅當(dāng)m = 1， n = 2 時(shí)等號(hào)成立；n24m2+ m (2m -1) + l (n -1) 2m n + 4 l m ，+解二：2m -1n -1令2m = 4 l 且l = 2 m ，解得l = m = 4 ，代入上式得n24m2+ 8 ，2m -1n -1當(dāng)且僅當(dāng)m = 1， n = 2 時(shí)等號(hào)成

8、立；3 / 7基本不等式（二）均值不等式（二）二解答題1 21 22511已知a,b R+ , a + b = 1，求證： a + b +a b 21 21 2證明一： a + b += a2 + b2 + 4 +a b a1 11 2122a + +；2 ab 1 21 2 a + b 21證明二： a + b += a2 +，其中ab =，42a b 1 21 225 a + a + b + b ；212已知a,b, c 是不全相等的正數(shù)，求證： ln a + b + ln b + c + ln22證明： a + b b + c c + a ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c 時(shí)等號(hào)成立，ab

9、222 a + b b + c c + a abc ，兩邊取對(duì)數(shù)，即222ln a + b + ln b + c + ln。22+ ，其中a 0 且b 0 ，求m 的最小值1a2113（2013 年浙江省預(yù)賽題 ）設(shè)m = max a,b,12b證明一： m 的最小值為 3 2 ，假設(shè)不然，存在m 3 2 ，此時(shí)， a, b 滿足0a 3 2 ， b += 3 2 ，。a2b23 223 2211注意，最小值可以根據(jù)a = b =+猜出，但是具體如何猜出的，不需要告訴別人。a2b211證明二：依題意， m a ， m b ， m +，a2b21原題為填空題。并且題目表述進(jìn)行了改動(dòng)。4 / 7基

10、本不等式（二）均值不等式（二）1 = a 3m +b，a2b22 m 3 2 ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = 3 2 時(shí)取到。a + 3c4b8c+-14已知a,b, c 都為正實(shí)數(shù)，求的最小值a + 2b + ca + b + 2ca + b + 3c解：令 A = a + 2b + c ， B = a + b + 2c ， C = a + b + 3c ，則a + 3c = -A + 2B ， b = A - 2B + C ， c = C - B ，- A + 2B4( A -原式=+，A當(dāng)a = 3 - 2 2 ， b =2 -1， c =2 時(shí)，等號(hào)成立。15已知 x, y 0 ，求證： (

11、 x + y)5 12xy (x3 + y3 ) 證明一：左-右= ( x + y)5 -12xy (x3 + y3 )= ( x + y)(x4 - 8x3 y +18x2 y2 - 8xy= ( x + y)(x2 - 4xy + y2 )2 0注意：其中的配方可以根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)來(lái)處理，2 x28x8yyx - 8x y +18x y - 8xy + y = x y-+18 -+x43223422yyx xy 2 x= x2 y2 +- 8+ yx y2 xy = x2 y2 + - 4 yx = (x2 - 4xy + y2 )2 。證明二：原不等式 ( x + y)4 12xy (x2

12、- xy + y2 )2( x + y)2 3xy (x2 - xy + y2 ) 23xy + (x2 - xy + y2 )3xy25 / 7基本不等式（二）均值不等式（二）16（2013 年浙江省預(yù)賽試題）設(shè)a,b, c R+ ， ab + bc + ca 3，求證： a5 + b5 + c5 + a3 (b2 + c2 ) + b3 (c2 + a2 ) + c3 (a2 + b2 ) 9 證明：左邊= (a3 + b3 + c3 )(a2 + b2 + c2 )a3 + b3 + c3 3(a2 + b2 + c2 )= 3 33a2 + b2 + c2 3(a2 + b2 + c2

13、 ) 333ab + bc + ca(ab + bc + ca) 33 9 。17(第 46 屆莫斯科試題)求證： x 2 ， y 2 ，都有 x4 - x3 y + x2 y2 - xy3 + y4 x2 + y2 證一：左邊= 1 (x4 + y4 ) + 1 x2 (x2 + y2 ) - x3 y + 1 y2 (x2 + y2 ) - xy3222 1 (x4 + y4 ) + x3 y - x3 y + xy3 - xy32 x2 + y2 ；證二：原不等式 x5 + y5 ( x + y)(x2 + y2 )而 x5 + y5 2x3 + 2y3 x3 + y3 + x2 y + xy2 = (x + y)(x2 + y2 ) 。+n R ，且2 +1)n n = 1，18（2014 年北約招生試題）已知求證： ( 2 +證明一：n ) (x1+L+ n= n n，+2 )(Ln +2 )6 / 71基本不等式（二）均值不等式（二）22+L+ n，2 )x