圓錐曲線解題技巧和方法綜合(同名5076)

1、本文有兩套教案，第一套比擬籠統(tǒng)，第二套比擬好圓錐曲線的解題技巧，、常規(guī)七大題型:1中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法點差法：設曲線上兩點為(xyj，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論，消去四個參數。2 2如：1篤每 1(a b 0)與直線相交于 A、B,設弦 AB中點為 M(xo,yo)，那么有a b2 2Xy2二 亍1(a0,b0)與直線I相交于A、B,設弦AB中點為M(xo,yo)那么有abxoayo3y2=2px p>0與直線I相交于A、B設弦AB中點為M(xo,yo),那么有2yok=2p,即yok

2、=p.2典型例題給定雙曲線x2 -1。過A 2，1的直線與雙曲線交于兩點 R 及F2，2 1 2 求線段F1 P2的中點F的軌跡方程。2焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點 P，與兩個焦點F1、F2構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。x2y2典型例題 設P(x,y)為橢圓 2 1上任一點， £( c,0)，F2(c,0)為焦點,a bPF1F2，PF2 F1。1求證離心率esin( )；: ；sin sin332求 |PFi| PF2I 的最值。3直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的根本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判 別式、根與系數的關系、求根公式等來

3、處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。1求證：直線與拋物線總有兩個不同交點2設直線與拋物線的交點為A、B,且0A丄0B,求p關于t的函數f(t)的表達式。4圓錐曲線的相關最值范圍問題圓錐曲線中的有關最值范圍問題，常用代數法和幾何法解決。<1>假設命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。<2>假設命題的條件和結論表達明確的函數關系式，那么可建立目標函數通常利用二次 函數，三角函數，均值

4、不等式求最值。1，可以設法得到關于 a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式或者將a表示為另一個變量的函數，利用求函數的值域求出a的范圍；對于2首先要把 NAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數思想最值問題的處理思路：1、建立目標函數。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數的最值問題，關 鍵是由方程求x、y的范圍；2、數形結合，用化曲為直的轉化思想；3、利用判別式，對于二次函數求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題拋物線y2=2px(p>0),過M a,0且斜率為1的直線L與拋物線交于

5、不同的兩點 A、B,|AB| < 2p1求a的取值范圍；2假設線段AB的垂直平分線交 x軸于點 比求厶NAB面積的最大值。5求曲線的方程問題1曲線的形狀這類問題一般可用待定系數法解決。典型例題直線L過原點，拋物線 C的頂點在原點，焦點在 x軸正半軸上。假設點 A-1, 0和點B0，8關于L的對稱點都在 C上，求直線L和拋物線C的方程。2 曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題直角坐標平面上點 Q 2, 0和圓C: x2+y2=l,動M點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數 求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。6存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步

6、解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決2 2典型例題橢圓C的方程 1，試確定 m的取值范圍，使得對于直線43y 4x m，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱7兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用ki k2yi y2i來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題直線l的斜率為k，且過點P( 2,0)，拋物線C:y2 4(x 1)，直線丨與拋物線C有兩個不同的交點如圖。1求k的取值范圍；2直線丨的傾斜角 為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如

7、果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求的策略，往往能夠減少計算量。 下面舉例說明：1充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代 數方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設直線3x 4y m 0與圓x2 y2 x 2y 0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，假設 OP OQ，求m的值。2充分利用韋達定理及“設而不求的策略我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。典型例題中心在原點 O,焦點在y軸上的橢圓與直線 y x 1相交于P、

8、Q兩點，且OP OQ，|PQ|，求此橢圓方程。23充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以防止求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題2 2求經過兩圓 C1: x y24x 2y 0 和 C2: x2y 2y 40 的交點，且圓心在直線 丨：2x 4y 10上的圓的方程。4充分利用橢圓的參數方程橢圓的參數方程涉及到正、 也是我們常說的三角代換法。余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題.這2典型例題P為橢圓篤a2爲 1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四b邊形OAPB面積的最大值及此時點 P的坐標。5線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現成結果，減少運算過程一般地，求直

9、線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程 y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設為xA，xB，判別式為,那么 |AB| .1 k2 |xA xB|.1 k2一，假設直接用結論，能減少配方、開方等運|a|算過程。例 求直線x y 10被橢圓x2 4y216所截得的線段AB的長。 結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。2片、F2是橢圓2521的兩個焦點，AB是經過F1的弦，假設|AB| 8，求9值 |F2A| |F2B| 禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點的

10、距離轉化為到準線的距離例 點A 3, 2為定點，點F是拋物線y2 4x的焦點，點P在拋物線y2 4x上移動，假設|PA| |PF|取得最小值，求點P的坐標。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲藏:1. 直線方程的形式1直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。2與直線相關的重要內容 傾斜角與斜率k tan ,0,) 點到直線的距離d AX0 By0 2 C夾角公式：d A Btan1 k2人3弦長公式直線 y kx b上兩點 A(Xi,yJ,B(X2,y2)間的距離： AB Ji k2|x x?J(1 k2)(xi X2)2 4x1X2 或 AB Ji 右 |yi y24兩

11、條直線的位置關系 l1 l2k1k2=-1 l1 /12k1 k2且b1 b22、圓錐曲線方程及性質(1) 、橢圓的方程的形式有幾種？三種形式2 2標準方程：1(m 0, n 0且m n)m n距離式方程：.(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a參數方程： x a cos , y bsin(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種2 2標準方程：-1(m n 0) m n距離式方程： 卜(xc)y2、.、(xc)2y2 | 2a(3) 、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：近；雙曲線：近；拋物線：2paa(4) 、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？1的兩個焦點，平面內一個動點2如：印F2是橢圓4足M

12、Fj |MF22那么動點M的軌跡是 A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式：P在橢圓上時，S f,pf2b2 tan-2P在雙曲線上時，S FiPF2 b cot 1 2 2其中 F1PF2,cos|PFj2 IPF2I2 4c2| PF11 | PF2 | PF1 | PF2 |cos(6)、 記住焦 半 徑公式： 1橢圓焦點在x軸上時為a exg；焦點在y軸上時為a ey°，可簡記為“左加右減，上加下減2雙曲線焦點在x軸上時為e| xo | a3拋物線焦點在x軸上時為|為|衛(wèi),焦點在y軸上時為|y1 |衛(wèi)2 2(6)、橢圓和雙曲線的根本

13、量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲藏1、點差法中點弦問題2仝1的弦AB中點那么有32B X2,y2 ， M a,b 為橢圓42 2 2 2 2222仝生1,空空1 ;兩式相減得二竺 § 亠0434343xi X2 Xi X2yi y yi 兀 、,_ 3a43AB= 4b2、聯立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？經典套路是什么？如果有兩個參數怎么辦？設直線的方程，并且與曲線的方程聯立，消去一個未知數，得到一個二次方程，使用判別式 0，以及根與系數的關系，代入弦 長公式，設曲線上的兩點 A(x(,yi),B(X2，y2)，將這兩點代入曲線方 程得到兩個式子，然后 -，整

14、體消元，假設有兩個字母未知數，那么要找到它們的聯系，消去一個，比方直線過焦 點，那么可以利用三點A、B、F共線解決之。假設有向量的關系， 那么尋找坐標之間的關系，根與系數的關系結合消元處理。一旦設 直線為y kx b，就意味著k存在。例i、三角形ABC的三個頂點均在橢圓4x2 5y280上，且點A是橢圓短軸的一個端點點 A在y軸正半軸上.i假設三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線 BC的方程;2假設角A為900 , AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心，利用點差法及重心坐標公式可求出中點 弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為90°可得

15、出AB丄AC,從而得XiX2 ym i4(yi y?) i6 0，然后利用聯立消元 法及交軌法求出點D的軌跡方程；解：i設 B “yi，C(X2,y2 ),BC 中點為(“y。),F(2,0 測有22Xiyi20162 2X2y220 16兩式作差有(XiX2)(XiX2)20(yi y2)(yiy?)16y°k4(1)F2,0為三角形重心，所以由竺空2，得X0 3，由y1 y2 4 0得33y。2，代入1得k 65直線BC的方程為6x 5y 2802由 AB丄 AC 得 X1X2 y°2 14力 y2 16 02設直線 BC 方程為 y kx b,代入4x2 5y280,

16、 得4 5k2x2 10bkx 5b280010kbX1 X2 4 5k2， X1X25b2804 5k2y1y28k4 5k24b280k24 5k2代入2式得29b 32b164 5k20 ,解得b 4舍或b直線過定點0 ,4，設D99y2 9x232y 160所以所求點D的軌跡方程是x2 y4、設而不求法例2、如圖，梯形ABCD中AB4yx,y,貝卩91 , 即XX2 CD ,點E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過c、D、E三點，且以A、B為焦點當33時'求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識

17、解決問題的能力。建2 2立直角坐標系xOy，如圖，假設設C C,h，代入篤 爲1，求得h2a b2 2進而求得xe,yE，再代入篤爲1 ,建立目標函數a bf(a,b,c, )0,整理 f(e,)Oh可米取設而不求的解題策略，建立目標函數f(a,b,c,)0 ,整理f(e, ) 0,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸,建立直角坐標系xOy，那么CD丄y軸因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱依題意，記A c, 0 , C C, h,Ex0，y0，其中c >B|為雙曲線的半焦距,h是梯形的咼，由定比分點坐標公式得xocC

18、 2_2c1 2 1hy0廠2 2設雙曲線的方程為字十1,那么離心率e £aX由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e -代入雙曲線方 a程得e2hjb2由式得.2 2b，將式代入式，整理得e24 4124故由題設？3解得e2e2所以雙曲線的離心率的取值范圍為7 , .10分析：考慮|AE,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE,|AC用E,C的橫坐標表示，回避h的計算，到達設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,Xecc22 c1 2 1設3；得，I 1解得AEa exE , ACexC ,又他，乂 AC|33e224-.7 e .10廠代入整理£，由題e 1所以雙曲線

19、的離心率的取值范圍為.7,.105、判別式法例3雙曲線C工 藝1，直線丨過點A . 2,0，斜率為k，當0 k 12 2時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線丨的距離為.2，試求k的值及此時點B的坐標。分析1:解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因 此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有 這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點 B作與丨平行的直線，必 與雙曲線C相切.而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設計如下解題思路：l : y k(x . 2)0 k 1直線i'在i的上方且到直線I的距離為.2I': y kx xlk把直線&

20、#39;的方1:代入雙曲線方程，消去y,令判別式解得k的值解題過程略.分析2:如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有且僅有一點 B到直線I的距離為v'2 ，相當于化歸 的方程有唯一解.據此設計出如下解題思路：簡解：設點M(x, . 2 x2)為雙曲線C上支上任一點，那么點 M到直線I的距離為:kx V2 x2<2kA2 1于是，問題即可轉化為如上關于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2 x kx,從而有kx 2 x2V2kkx J2 x2 J2k.于是關于x的方程kx . 2 x2.2k . 2(k2 1) 22 x2( 2(k2 1) 2k kx)2

21、,2(k21) 2k kx 0. 2k2 1 x2 2k 2(k2 1) 2k x . 2(k2 1) 2k 2 0, 2(k21) 2k kx 0.由0 k 1可知： _ _ 2方程 k2 1 x2 2k . 2(k2 1). 2kx . 2(k2 1). 2k 2 0 的二根同正，故,2(k1),2k kx 0恒成立，于是 等價于 _ 2k21 x2 2k . 2(k21)、2kx . 2(k21)、2k 20.由如上關于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得,2 、5k.5點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分表達了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4橢圓C：x2 2y2 8和

22、點P4，1，過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使APPBAQQB求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解 .因此，首先是選定參數，然后想方設法將點 Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可到達解題的目的.由于點Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數，如何將x,y與k聯系起來？ 一方面利用點 Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件:APPBAQQB來轉化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到x 4(Xa Xb) 2XaXb，要建立X與k的關

23、系，只需 ZV18 (Xa Xb)將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決此題，已經做到心中有數APAQPBQB14(XaXb)2XaXb8 (Xa Xb )將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x 4)+1，消去參數k點Q的軌跡方程在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于x,y的方程不含k，那么可由y k(x 4) 1解得從而簡化消去參的過k J，直接代入x f k即可得到軌跡方程。 x 4程。簡解：設 A “1 ,B(X2, y

24、2),Q(x,y)，那么由 APPBAQ可得：4QBX1X2X 捲x2 X解之得：X4(x1 x2) 2x28(為 X2)1設直線AB的方程為：y k(x 4) 1，代入橢圓C的方程,消去y得出關于x的一元二次方程:2k21 x24k(1 4k)x 2(14k)224k 3xk 2k(x 4)1聯立，消去k得:2xy 4(x 4)0.在2中，由64k264k240，解得2 102 10， 4結合3、，、，4k (4k 1)X1X22 >2k 12XX22(14k)8k2 1入 1丨，可求得16 2 10 x916 2 109.故知點Q的軌跡方程為：2x y40 16 2而 16 2JT0

25、99點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中，難點在 引出參，活點在應用參，重點在消去參，而“引參、用參、消參三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道6、求根公式法2y 1順次交于A、B兩點,AP= 2，但從此后卻一PBXb2例5設直線丨過點P0,3，和橢圓+ 試求空的取值范圍.PB分析：此題中，絕大多數同學不難得到: 籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上，所謂求取 值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個或某幾個 參數的函數關系式或方程，這只需利用對應的思想實施；其二那么是構造關于所求量的一個不等

26、關系分析1：從第一條想法入手，舉二空已經是一個關系式，但由于PBXb有兩個變量Xa,Xb，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k.問題就轉化為如何將xa,xb轉化為關于k的表達式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y得 出關于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.簡解仁當直線1垂直于x軸時可求得篇1;當I與x軸不垂直時，設 Ax , BX2, y2，直線I的方程為:y kx 3，代入橢圓方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 0解之得 旳227k 69k2 59k24因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮k 0的情0時,所以APPB2

27、7k 69k25 x2 x2 9k24xL= 9k 2 斗_5 = 1X29k 2.9k2 5Xi27k 6 9k2 529k 418k=9k 2.9k251 9 29 2185k254k)2 180 9k240,解得k2所以綜上1895k2AP 1 1 .PB 5分析2:如果想構造關于所求量的不等式,那么應該考慮到:判別式往往是產生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定 k的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與k聯系起來.一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但此題無法直接應用韋達定理，原因在于AP冬不是關于Xi,X2的對稱關系式.原因找到后，解決問題的X2方法自然也就有了，即我們

28、可以構造關于 Xi,X2的對稱關系式.簡解2:設直線丨的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得X! x29k24 x2 54kx 45 0*54 k9k24459k24令魚，那么,X2324k2245k20在*中由判別式0,可得k2 I，從而有15.432嚴236，所以4- 2 36，解得45k20555結合01 得 1 1.5綜上，,AP11 .PB5點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數的性質法，數形結合法等等此題也可從數形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能 說明問題，有時甚至會被

29、局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有 見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里 .第三、推理訓練：數學推理是由的數學命題得出新命題的基 本思維形式，它是數學求解的核心。以的真實數學命題，即定義、 公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，到達解題目標， 得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題 之間的相互關系充分性、必要性、充要性等，做到思考縝密、推 理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為A,B，O為橢圓中心，F為橢圓的右焦點， 且 AF FB 1， OF1 .I求橢圓的標準方程；H記橢圓的上頂點為M ,直

30、線丨交橢圓于P,Q兩點，問：是否 存在直線I ,使點F恰為PQM的垂心？假設存在，求出直線I的方程; 假設不存在，請說明理由。思維流程:I由 AF?fB 1, of 1(a c)(a c) 1 , c 1a 、2,b 1寫出橢圓方程由F為PQM的重心* PQ MF, MP FQkPQ 12 23x 4mx 2m 20兩根之和，l 兩根之積MP ? FQ 0解題過程:得出關于 m的方程解出mI如圖建系，設橢圓方程為2 2卑冬 1(a b 0)那么c 1a b又T AF FB 1 即(ac) (a c) 12故橢圓方程為-5假設存在直線丨交橢圓于P,Q兩點，且F恰為PQM的垂心,2m2 234m1

31、) m2解得m 4或m 1舍經檢驗m害符合條件.于是設直線1為yxm ,由y x m 得2 2彳得 ,x 2y 22 23x 4mx 2m20T MP FQ0為(X21)Y2(Y11)又ym(i 1,2)得 x1(x2 1)(x2:m)(X1m 1)0即設 P(Xi,y1),Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 kpQ 1,2x1x2 (x1 x2)(m1)2 mm 0由韋達定理得點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊， 然后轉化為兩 向量乘積為零.例7、橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A( 2,0)、B(2,0)、C 1,-三點.2I求橢圓E的方程:“假

32、設點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F( 1,0), H (1,0)，當 DFH內切圓的面積最大時，求 DFH內心的坐標;思維流程：設方程為mx2 ny21T J由橢圓經過A、B、C三點得到m, n的方程l I解出m,n由 DFH內切圓面積最大_轉化為 DFH面積最大得出D點坐標為0,：/ 33轉化為點D的縱坐標的絕對值最大最大D為橢圓短軸端點r內切圓3-DFH面積最大值為J3S DFH周長r內切圓21解題過程： I設橢圓方程為mx2 n y2 1 m 0, n 0 將A( 2,0)、B(2,0)、C(1,-)代入橢圓E的方程，得 24m 1,229 解得m -, n -.二橢圓E的方程X

33、 1 .m n 143434H| FH | 2，設 ADFH 邊上的高為 S dfh - 2 h h 2當點D在橢圓的上頂點時，h最大為.3，所以S dfh的最大值為3 .設厶DFH的內切圓的半徑為R，因為 DFH的周長為定值6.所以,S DFH所以R的最大值為身所以內切圓圓心的坐標為宵點石成金:s的內切圓的周長r的內切圓例8定點C( 10)及橢圓x2 3y25，過點C的動直線與橢圓相交于A, B兩點.I假設線段AB中點的橫坐標是 1，求直線AB的方程；H在x軸上是否存在點M，使MA MB為常數？假設存在，求出點M的坐標；假設不存在，請說明理由思維流程:I解：依題意，直線AB的斜率存在，設直線

34、AB的方程為y k(x1)，將 y k(x 1)代入 x2 3y25，消去y整理得(3k21)X2 6k2x3k2 50.設 A(X!，yj，B(X2，y2)，36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 那么6k2片 X23.0,(1)X2白線段AB中點的橫坐標是得_X2、23k23k21k乜，符合題意。3所以直線AB的方程為x 3y 10，或 x ,3y1 0.H解：假設在X軸上存在點M (m,0)，使MA MB為常數. 當直線AB與 x軸不垂直時，由I 知x-ix26k23k21 'X-|X23k2 53k2所以MA MB (%m)(x2 m)y2(x1 m)(x2 m)k2(Xi

35、1)(X21)(k21)X1 X2(k2 m)(x1 X2) k2m2.將代入，整理得MA MB(6m 1)k2 53k2 11214(2m -)(3k2 1) 2m ；333k2 1m26m 143(3k21)注意到MA MB是與k無關的常數，從而有6m 14 0, m ,此時3 4MA MB -.9當直線AB與x軸垂直時，此時點A, B的坐標分別為1,2"31,23，當 m7時，亦有MA MB -.39綜上，在x軸上存在定點M7 ,0，使MA MB為常數.3點石成金:MA MB(6m 1)k2 53k2 1(2m 1)(3k2 1) 2m £3k2 1m26m 143(

36、3k21)例9、橢圓的中心在原點，焦點在 x軸上，長軸長是短軸長的2 倍且經過點M2,1,平行于OM的直線I在y軸上的截距為m m半0，I交橢圓于A、B兩個不同點I求橢圓的方程；H求m的取值范圍；皿求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 思維流程：2 2解：1設橢圓方程為務占1(a b 0)aba 2b28那么41 解得2a2 b21b222 2橢圓方程為X y 12HT直線I平行于0M，且在y軸上的截距為m又Kom_ 1I的方程為：y1x m22y1x m由2222 x2mx2m240xy 182直線I與橢圓交于A、 B兩個不同點，(2m)24(2m24)0,解得 2 m 2,且m

37、0皿設直線MA、MB的斜率分別為ki, k2,只需證明ki+k2=0即可設 A(Xi,yJ,B(X2, y2), 且 x1 x22m,x1x2 2m2 4那么ky1存2y21X12X22由X22mx2m240可得x1x22m,x1x22m2 4而kk2y1 1y21 (y11)(X22) (y21)(X12)x122(X12)(X22)X2gx1m1)(X22)J(2X2 m1)(x12)(X12)(X22)X1 x2(m2)(X1X2)4( m 1)(X12)(X22)2m24 (m2)( 2m)4(m1)(X12)(X22)2m24 2m：2 4m4m40(Xi 2)(X22)ki k20

38、故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形ki k2 0例10、雙曲線 篤 爲1的離心率e蘭衛(wèi)，過A(a,0), B(0, b)的直a b3線到原點的距離是三.21求雙曲線的方程;2直線y kx 5(k0)交雙曲線于不同的點 C, D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值思維流程：解：v 122 VT原點到直線AB :冬丄i的距離a3'a bab、a 2 b 2b 1, a x 3.ab 、3c 2 '-故所求雙曲線方程為y2 132 把y kx 5代入x23 y23中消去 y ,整理得(1 3k2)x2 30kx 78 0.設 C(X1,yJD(X2,y2),CD 的中點是 Eg y°),那么X。k BEX1 X22y°1x。15 k3ky。kx 053kX0 ky° k 0,即目心k 0,又k故所求k= 士 > 7 .0,k2點石成金：C, D都在以B為圓心的圓上BC=BD BE丄CD;例11、橢圓C的中心在坐標原點，焦點在 x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1