三角形四心的向量表示

1、從動和靜兩個角度看三角形中四“心”的向量表示平面幾何中中三角形的四“心”,即三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心。在引入向量這個工具后，我們可以從動和靜兩個角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我們對三角形中的四“心”有全新的認(rèn)識；其二使我們對向量形式的多樣性和向量運算的靈活性有更清楚的認(rèn)識。一從靜止的角度看向量的四“心”1已知點是三角形所在平面上一點，若，則是三角形的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心分析：若，則，設(shè)以、為鄰邊的平行四邊形為,與交于點,則為的中點,由得,即、四點共線,故為的中線,所以在邊的中線上,同理可證, 在邊的中線上, 在邊的中線上所以是三角形的重心.

2、 2. 已知點是三角形所在平面上一點，若,則是三角形的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心分析:由得,即,所以同理可證:,所以是的垂心.3. 已知點是三角形所在平面上一點，若,則是三角形的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心分析:若,又因為則.所以,因為與分別表示和方向上的單位向量,設(shè)+,則平分.又、共線，知平分。同理可證，平分，平分。從而是的內(nèi)心。4已知點是三角形所在平面上一點，若，則是三角形的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心分析：因為，所以，即，所以是的外心。二從運動的角度看三角形的四“心”1已知點是平面上一個定點，、是平面內(nèi)不共線三點，

3、動點滿足,，則動點一定通過的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心解: ,可得,由于表示以為鄰邊的平行四邊形的對角線,所以點在邊的中線所在直線上,故動點的軌跡一定通過的重心.2已知點是平面上一個定點，、是平面內(nèi)不共線三點，動點滿足,，則動點一定通過的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心分析：由得，。由于表示的平分線所在的方向向量。故當(dāng)時，動點則動點一定通過的內(nèi)心。3已知點是平面上一個定點，、是平面內(nèi)不共線三點，動點滿足,，則動點一定通過的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心分析: 由得，。由于,所以。即點的軌跡是過點A且垂直于的直線，故動點的軌跡一定通過的垂心。4. 已知平面上一個定點，、是平面內(nèi)不共線三點，動點滿足,，則動點一定通過的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心分析:設(shè)的中點為為,則,所以由可得,當(dāng)時, 表示垂直于的向量,所以為線段的垂直平分線,故動點的軌跡一定通過的外心.上面通過動和靜兩個角度看三