第二章特殊三角形培優(yōu)檢測(cè)卷(含答案)

1、第2章特殊三角形培優(yōu)提高卷、選擇題。（本題有 10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1 .如圖，等腰直角4 ABC中AB=AC,將其按下圖所示的方式折疊兩次，若 DA' = 1給出下 列說(shuō)法：DC'平分/ BDA'BA'長(zhǎng)為五+ 1;4 30口是等腰三角形；CA'D的 周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng).其中正確的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2 .在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)成為格點(diǎn).已知A, B是兩個(gè)格點(diǎn)，如果點(diǎn) C也是圖中的格點(diǎn)，且使 ABC為等腰直角三角形，則點(diǎn) C的個(gè)數(shù)是（）（第2題）B, 7個(gè)C. 8個(gè)（第3題）（第4題）D. 9個(gè)3 .如圖，在

2、 ABC中，AB=BC,將 ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) “度，得到 AiBCi, AiB交AC于點(diǎn)E, AiCi分別交AC, BC于點(diǎn)D, F,下列結(jié)論:/CDF=a；AiE=CF；DF=FC；BE=BF.其中正確的有（）A.B.C.D.4 .如圖， ABC中，AB=20 cm, AC=i2 cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以3 cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以2cm/s的速度想點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng) APQ是等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A.2.5s；B.3s;C.3.5s;D.4s5 .小明同學(xué)測(cè)量了等腰三角形的腰、底邊和高的長(zhǎng)，但他把這三個(gè)數(shù)據(jù)與其他

3、數(shù)據(jù)弄混了,請(qǐng)你幫他找來(lái)（）A. 13, 12, 12B. 12, 12, 8 C. 13, 10, 12 D. 5, 8, 46 .如圖， ABC中BD、CD平分/ ABC、/ ACB,過(guò)D作直線平行于 BC,交AB、AC于E、F,當(dāng)/ A的位置及大小變化時(shí)，線段 EF和BE+CF的大小關(guān)系（）A. EF = BE+CF B. EF>BE+CFC. EFv BE+CF D,不能確定（第6題）（第7題）（第8題）7.如圖，RtAABC 中，/ ACB=90°,BC=3, AC=4,AB的垂直平分線 DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為（C.7A.一AB=AD=2< 2

4、, CD = v12，點(diǎn) P 在四邊68 .如圖，在四邊形 ABCD 中，/ BAD = Z ADC=90°,形ABCD的邊上.若點(diǎn) P到BD的距離為-,則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）2A. 2B. 3C. 4D. 59 .如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 °, / B=30 °, AC=1 , AC 在直線 l 上.將 ABC 繞點(diǎn) A 順 時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP=2；將位置的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，可得到點(diǎn) P2,此時(shí)AP2=2+J3；將位置的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，可彳#到點(diǎn)P3,此時(shí)AP3=3+ J3；，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到得到

5、點(diǎn)P2014為止，則 PP2014=（）A. 2012+671 73B. 2013 + 671 73C. 2014 + 671 向 D. 2015+671 V3（第9題）（第10題）10 .如圖，已知 ABC中，/ ABC=45°, AC=4, H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段 BH的長(zhǎng)度為（）A. 6B.2.3C.5D.4二、填空題。（本題有 小小題，每小題4分，共24分）11 .將邊長(zhǎng)為6的正方形紙片 ABCD的頂點(diǎn)A沿折痕EF （E在AB上，F(xiàn)在CD上）折疊， A恰好與BC的一個(gè)三等分點(diǎn) G （靠近B側(cè)）重合，則 EF=.12 .如圖，在等腰 ABC中，AB=AC, AD是底邊上

6、的高，若AB=5cm, BC = 6cm , 則 AD =cm.CD（第12題）（第13題）（第14題）13 .如圖，已知 ABC中,AC+BC=24, AO、BO分別是角平分線，且 MN / BA,分別交AC于N、BC于M ,則 CMN的周長(zhǎng)為14 .如圖， ABC 中，/ C=90°, /B=30°, AD 是/ BAC 的平分線，DE LAB,垂足為 E,則/ ADE的度數(shù)是15 .如圖，在 RtABC中，Z C=30 °,以直角頂點(diǎn) A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交 BC于點(diǎn)D,過(guò)D作DELAC于點(diǎn)E.若DE = a,則 ABC的周長(zhǎng)用含a的代數(shù)式表示為（第1

7、6題）（第15題）16 .如圖是一株美麗的勾股樹， 其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2,5, 1, 2.則最大的正方形E的面積是三、解答題。（本題有 8個(gè)小題，共66分）17 .在 ABC中，AB=BC,將 ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得 A1B1C1,使點(diǎn)G落在直線BC上（點(diǎn)G與點(diǎn)C不重合），（1）當(dāng)/ C=60°時(shí)，寫出邊 AB1與邊CB的位置關(guān)系（不要求證明）（2）如圖，當(dāng)/ C>60°時(shí)，寫出邊AB1與邊CB的位置關(guān)系，并加以證明;（3）當(dāng)/ Cv 60°時(shí)，請(qǐng)你在如圖中用尺規(guī)作圖法作出AB1

8、C1 （保留作圖痕跡，不寫作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的結(jié)論是否還成立并說(shuō)明理由.3118 .探究：如圖1, 4ACB和 DCE均為等邊三角形， 點(diǎn)A、D、E在同一直線上， 連接BE, 結(jié)論：(1) / AEB的度數(shù)為;(2)線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 .應(yīng)用：如圖2, 4ACB和 DCE均為等腰三角形，/ ACB = /DCE=90° ,點(diǎn)A、D、E在 同一直線上，CM為4DCE中DE邊上的高，連接 BE,請(qǐng)判斷/ AEB的度數(shù)及線段 CM、 AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.C19 . 圖（1）中，C點(diǎn)為線段 AB上一點(diǎn)， ACM, CBN是等邊三角形， AN與

9、BM相等 嗎就口圖（2） C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn)，等邊三角形 ACM和等邊三角形 CBN在AB的異側(cè)， 此日AN與BM相等嗎？如圖（3） C點(diǎn)為線段 AB外一點(diǎn)， ACM , CBN是等邊三角 形，AN與BM相等嗎？說(shuō)明理由E是/ BAC角平分線上一點(diǎn)，過(guò)D,連接DB,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn).DHLAC,垂足為H,連接EF, HF。20 .如圖 1,在 ABC 中，NACB=90°, NBAC=60°,點(diǎn)點(diǎn)E作AE的垂線，過(guò)點(diǎn) A作AB的線段，兩垂線交于點(diǎn)E 1圖2(1)如圖1,若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC=2J3,求AB，BD的長(zhǎng)。(2)如圖1,求證：HF = EF。(3)如圖2,連

10、接CF, CE,猜想： CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是, 請(qǐng)說(shuō)明理由。小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖 1,在 RtA ABC 中，/ ACB=90° , / A=60° , CD 平分/ ACB,試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)，利用軸對(duì)稱做一個(gè)變化，在 BC上截取CA'=CA,連接DA',得到一對(duì)全等的三角形，從而將問(wèn)題解決（如圖2）.請(qǐng)回答：（1）在圖2中，小明得到的全等三角形是（2） BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系是參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題:如圖 3,在四邊形 ABCD 中，AC 平分/ BAD, BC=CD=10, A

11、C=17, AD=9.求AB的長(zhǎng).圖322. (1)如圖1,在 ABC中，/ ABC的平分線 BF交AC于F ,過(guò)點(diǎn)F作DF / BC,求證:BD=DF .(2)如圖2,在 ABC中，/ ABC的平分線 BF與/ A CB的平分線 CF相交于F,過(guò)點(diǎn)F 作DE / BC,交直線AB于點(diǎn)D,交直線AC于點(diǎn)E.那么BD , CE, DE之間存在什么關(guān)系 ？ 并證明這種關(guān)系.(3)如圖3,在 ABC中，/ ABC的平分線BF與/ ACB的外角平分線 CF相交于F,過(guò) 點(diǎn)F作DE/ BC,交直線AB于點(diǎn)D,交直線AC于點(diǎn)E.那么BD , CE, DE之間存在什么 關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想.(不需證明)23

12、.【問(wèn)題情境】徐老師給愛(ài)好學(xué)習(xí)的小敏和小捷提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1, 4ABC中，/ B=2/C, AD是/ BAC的平分線.求證： AB+BD=AC小捷的證明思路是：延長(zhǎng) CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE.可以證得：AE=DE （如圖3）小敏的證明思M是：在 AC上截取AE=AB,連接DE.（如圖2）請(qǐng)你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明.【變式探究】AD是/ BAC的平分線”改成AD是BC邊上的高"，其它條件不變.（如圖4）AB+BD=AC成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，寫出你的正確結(jié)論，并說(shuō)明理由.：【遷移拓展】 ABC 中，/ B=2/C.求證：ac2 = AB2 +A

13、B BC .（如圖 5）24.在 RtABC 中，/ ACB=90°, /A=30°, BD 是 ABC 的角平分線，DEAB 于點(diǎn) E.(1)如圖1,連接EC,求證： EBC是等邊三角形；(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) C, D重合)，以BM為一邊，在 BM的下方作 /BMG=60°, MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn) G.請(qǐng)你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出 MD , DG 與AD之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3,點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn)，以 BN為一邊，在BN的下方作/ BNG=60° , NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn) G.試探究ND, DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說(shuō)

14、明理由.參考答案與詳解1 . C【解析】本題是等腰直角三角形的折疊問(wèn)題，由于 AB=AC,所以/ B=7 0=45° ,兩次折疊后，有許多相等的量，利用這些條件結(jié)合勾股定理可得出正確答案.解：.等腰直角 ABC中，AB=AC ./ B=ZC=45°.折疊DA'XBC, DA=DA', AB=BA'DC=DC', Z DC'C=Z 0=45° , Z DBC'=-Z ABC= X45° =22.5 °, 22C'A'=CA' ./ BDC '=Z DC'C-

15、Z DBC'=45 - 22.5 =22.5 = Z DBC' . BC'=DC', . BC'D是等腰三角形 DA'C 中，Z C=45°, .A'DC=90° 45 =45° . A'C=A'D=1 , , CdT1+產(chǎn)企BC'= 二BA'=BC'+C'A'=：+1 CA'D 的周長(zhǎng)等于 CD +CA'+ DA'= DC'+ C'A'+CA'= BC'+ C'A'+ CA

16、'=BC/ BDC'=22.5 : / C'DA'=45 ° .DC'不平分/ BDA'.錯(cuò)誤，正確，故選 C.2. A.【解析】如圖：分情況討論AB為等腰 ABC底邊時(shí)，符合條件的 C點(diǎn)有2個(gè)；AB為等腰 ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).故選A.3. C.【解析】在 ABC中，AB=BC可得/ A=/C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/C=/Ci, /A=/Ai,BC=BCi, / ABAi = /CBCi= % 在 CDF 和 FBC1 中，/C=/Ci, /CFD=/BFCi,根據(jù) 三角形的內(nèi)角和定理可得/ CDF=Z CBCi=

17、a；再由 AB=BCi, / ABAi = Z CBCi,Z A=Z Ci, 根據(jù)ASA可判定 ABECiBF,所以BE=BF又因AiB=BC,所以AiE=CF,故正確的結(jié)論有 三個(gè)，所以答案選 C.4. D【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 ts時(shí)， APQ是等腰三角形則 AP=20-3t, AQ=2t APQ是等腰三角形 20 3t=2t解得t=4s5. C【解析】等腰三角形的高把等腰三角形分成兩個(gè)直角三角形，腰為斜邊，高和底邊長(zhǎng)一半為直角邊，因此由三角形三邊關(guān)系及勾股定理即可解答.每組線段中最長(zhǎng)線段為腰，另兩條線段中一條為高，一條為底，利用三角形三邊關(guān)系定理判定即可得到哪條是底邊，哪條是高.通過(guò)驗(yàn)證

18、只有選項(xiàng)C符合題意.6. A.【解析】由BD平分/ ABC得，/ EBD=/ABC,2 EF / BC, ./ AEF=Z ABC=2Z EBD, / AEF = / EBD+/ EDB, ./ EBD = /EDB ,.BED是等腰三角形， . ED=BE,同理可得，DF = FC, （4CFD是等腰三角形）EF=ED+EF=BE+FC,EF=BE+CF .故選 A.7. A.【解析】設(shè) CE=x,已知DE是線段 AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE=BC+CE=3+x,在RtACE中，由勾股定理可列方程（3+x） 2=42+x2,解得x=-,故6答案選A.8. A.【解

19、析】如圖，過(guò)點(diǎn) A作AEBD于E,過(guò)點(diǎn)C作CFBD于F,在RtBAD中，AB=AD=2 J2 , 13由勾股定理可得 BD=4,即可得AE=-BD=2,因2>,所以在邊AB、AD都上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到BD的距離為-.在RtA CFD中，易證/ CDF=45° , CD= J2 ,由勾股定理可得2CE=1,又因1< 3,所以在邊BC、CD上不存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到BD的距離為。.故選A.229. B.【解析】從整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，可以判斷該旋轉(zhuǎn)變換在做以3為周期的周期運(yùn)動(dòng)，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；由 rp2=J3，pf5=J3+（3 +J3）, pf8=J3+2（3 +J3）可以發(fā)

20、現(xiàn)線段PPn （n為大于1的自然數(shù)）的長(zhǎng)存在等差關(guān)系，運(yùn)用此規(guī)律即可解決問(wèn)題，而2012=670 >3+2,所以 PP2o14 =。3 +670（3+/3） + 3 = 2013+671石故選 B.10. D【解析】/ ABC=45° , AD± BC, /. AD = BD, / ADC = /BDH , / AHE+Z DAC=90° , /DAC + /C=90°, AHE=/BHD = /C, /. ADCA BDH , /. BH=AC=4,故選 D. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSSSAS

21、 SSA HL.由/ ABC=45°, AD是高，得出BD=AD是正確解答本題的關(guān)鍵.11. 2 vHi【解析】先根據(jù)題意畫出圖形，連AG、AF、GF,可知EF是AG的垂直平分線，故GF=AF,再利用勾股定理求出 AE的長(zhǎng)，設(shè)DF=y,則CF=6-y, CG=4 ,再由等腰三角形的性質(zhì)及勾 股定理可求出 EH、FH的值，進(jìn)而可求出答案.解：連AG、AF、GF,可知EF是AG的垂直平分線，故 GF=AF,設(shè) AE=GE=x,貝U BE=6 - x, BG=2,在RBEG中，由勾股定理得 EG2=BE2+BG2,即 x2= (6-x) 2+22,解得x=邛， ,J設(shè) DF=y,則 CF=

22、6-y, CG=4,在 RtAADF 中，AF2=AD2+DF2,即 AF2=36+y2,在 RtCGF 中，GF2=CG2+CF2,由勾股定理得，36+y2= (6-y) 2+16,解得y=1,設(shè)AG與EF交于H ,在 RtABG 中，AG2=BG2+AB2,即 AG2=22+62,解得 AG=2V10,故 hg=af=V10,在RtAEH中，由勾股定理求出 EH=2j, FHmYH1.-jj故 EF=EH + FH=X=2依.故答案為：2國(guó).H12. 4【解析】AB=AC , AD是底邊上的高，所以 CD=BD=3cm,由勾股定理可得AD = 52 -32 =4cm13. 24【解析】根據(jù)

23、 AO、BO分別是角平分線和 MN / BA,求證 AON和 BOM為等腰三角形,再根據(jù)AC+BC=24,利用等量代換即可求出 CMN的周長(zhǎng)解：AO、BO分別是角平分線，OAN = /BAO, /ABO=/OBM,. MN /BA,AON = /BAO, /MOB = /ABO, .AN=ON, BM=OM,即 AON和 BOM為等腰三角形， MN=MO + ON, AC+ BC=24 , .CMN 的周長(zhǎng)=MN + MC+NC=AC+BC=24.故答案為：24.14. 60°.【解析】已知/ C=90°, /B=30°,根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/BAC=

24、60°,由角平1分線的定義可得/ EAD=2 ZBAC =30°,在RtAADE中，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余 可得/ ADE=90° - 30 =60° .15. (6+2a.【解析】/ C=30° , /BAC=90°, DEXAC, /. BC=2AB, CD=2DE=2a, / AB=AD, .點(diǎn) D 是斜邊 BC 的中點(diǎn)，BC=2CD=4a, AB=1 BC=2a,2 , ac=1bC2 - AB2 = J(4a)2 -(2a)2 =2/3a，二 ABC 的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=2a+4a +273a = (6 +273

25、)a .故答案為：(6 + 2T3)a.16. 10【解析】根據(jù)圖形我們可以發(fā)現(xiàn)正方形A, B, C, D的邊長(zhǎng)正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A, B, C, D的面積和即是最大正方形的面積. 根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為Si, C、D的面積和為Si+S2=S3,于是S3=Si+S2,即 0=2+5+1+2=10 .17. (1) ABi/BC; (2) AB1/BC,證明詳見(jiàn)解析；(3)圖形詳見(jiàn)解析，(1)、(2)中的結(jié) 論還成立，證明詳見(jiàn)解析.【解析】(1)由ABC04AB1C1,得到/ BAC=/B1AC1, Ag=AC,進(jìn)而證得/ BA

26、B=/C1AC, 應(yīng)用等角對(duì)等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理證得/C1AC=180 - 2/ ACC1 , / ABC=180o 2/ACC1,從而得到/ ABC=/C1AC=/BAB,所以 AB/ BC；(2)由 ABCz AB1C1,得到/ BAC=/B1AC1, AC1=AC,進(jìn)而證得/ B1AB=/CAC,應(yīng) 用等角對(duì)等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理證得/C1AC=180o-2ZACC1, / ABC=180。一2/ACC1,從而得到/ ABC=ZC1AC=Z B1AB,所以 AB1/BC;(3)利用三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，用尺規(guī)作圖，由ABCA AB1C1 ,得到/BAC=/B1AC1

27、, AC1=AC,進(jìn)而證得/ B1AB=/CAC,應(yīng)用等角對(duì)等邊，以及三角形的內(nèi) 角 和定 理證得 /C1AC=180° 2/ACC1 ,/ABC=180° 2/ACC1，從 而得到/ ABC=/ C1AC=/B1AB, 所以 ab/ bc.解：(1) abj/ bc.理由如下：由已知得 ABCAAB1C1, ./ BAC=/ B1AC1,bab=/ C1AC,AC1=AC, / AC1C=/ACC1,C1AC+Z AC1C+Z ACC1=180 o, 1/ C1AC=180 °2/ ACC1, 同理，在 abc中，ba=bc,ABC=180 -2Z ACCi,

28、Z ABC=Z CiAC=Z BiAB,二. AB / BC.(2)當(dāng)/ C>60 時(shí)，ABi / BC.理由如下：由已知得 ABCAABi,1' Z BAC= Z B<|AC 1,Z BiAB=Z CiAC, AC產(chǎn)AC, Z ACiC=Z ACCi,'Z CiAC+Z ACiC+Z ACCi=180 ,Z CiAC=180 -2Z ACCi,同理，在 ABC中， BA=BC, ./ ABC=180 -2Z ACCi, .Z ABC=/CAC=/ BiAB,ABi II BC.(3)如圖2,當(dāng)/ C<60。時(shí)，(1)、(2)中的結(jié)論還成立.G圖23理由如下：

29、顯然 ABC04ABiCi, ./ BAC=Z B1AC1,BiAB=Z CiAC, , ACi=AC, Z ACiC=Z ACC1, 'Z CAC+/ACQ+/ ACCi=180 °, Z CiAC=180 -2Z ACCi,同理，在 ABC中，BA=BC, ./ ABC=180° -2Z ACCi, ./ ABC=/CiAC=/ BiAB, ABi / BC.18.結(jié)論：(1) 60； (2) AD=BE；應(yīng)用：/ AEB=90°； AE=2CM + BE； 【解析】探究：(1)通過(guò)證明4 CDA0CEB,得到/ CEB=/CDA=120°

30、,又/ CED=60°AEB=120° 60 = 60°；(2)已證 CDAACEB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BE；應(yīng)用：通過(guò)證明 ACDBCE,得至ij AD = BE, Z BEC = / ADC=135° ,所以/ AEB =/BEC Z CED =135° 45 = 90°根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DE = 2CM ,所以 AE =DE+AD=2CM+BE.試題解析：解：探究： (1)在CDACEB中，AC=BC, /ACD = /BCE, CD = CE,CDAACEB, ./ CEB=Z CDA=120°

31、 ,又/ CED=60° , ./AEB=120° 60 = 60 °；(2) CDAQ CEB, . AD=BE;應(yīng)用：/ AEB=90° AE=2CM + BE;理由：ACB和 DCE均為等腰直角三角形，/ ACB =/DCE= 90 °,AC = BC, CD = CE, Z ACB =/DCB =ZDCE-Z DCB , 即 / ACD = /BCE, ACDABCE, . AD = BE, / BEC = / ADC=135° . ./AEB =/BEC /CED =135 - 45 = 90 °.在等腰直角三角形

32、 DCE中，CM為斜邊DE上的高，CM = DM = ME , DE = 2CM . . AE = DE+AD=2CM+BE.19. （1）相等，理由見(jiàn)解析；（2）相等，理由見(jiàn)解析；（3）相等，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=CM, CN=BC,又因/ ACN = /MCN+6CT ,Z MCB=Z MCN+60° ,可得/ ACN=/MCB,根據(jù) SAS 即可判定 ACNA MCB ,即可得AN = BM； （2）利用SAS判定 ACN04 MCB即可得N = BM； （3）類比（1）的方法即可 解決.解：（1）相等，理由如下： ACM, CBN是等邊三角形

33、，AC=CM , CN=BC,又/ ACN = ZMCN+60° / MCB = Z MCN+60° , ./ ACN = /MCB ,ACNAMCB,AN=BM ;相等，理由如下： ACM, CBN是等邊三角形，AC=CM , CN=BC,又/ ACN = /MCB ,ACNAMCB, . AN=BM ；相等，理由如下：.ACM, CBN是等邊三角形，AC=CM , CN=BC,又/ ACN = ZMCN+60° / MCB = Z MCN+60° , ./ ACN = /MCB ,ACNAMCB, . AN=BM .20. （1） AB=4d3, B

34、D=2/3; （2）證明見(jiàn)解析；（3） 4CEF為等邊三角形.【解析】三角形全等的有關(guān)證明，常與證明線段或角相等相關(guān).而在有直角的情況下，取斜邊的中點(diǎn)，連結(jié)斜邊上的中線是常見(jiàn)輔助線做法.1解：(1) .點(diǎn) H 是 AC 的中點(diǎn)，AC =2J3，AH =AC = J3.2/ACB=90：NCAB=601 . NABC =30 : AB=2AC=4<3-DA _L AB, DH _L AC , . ZDAB =NDHA=90 3ZDAH =30AD =2 .在 RtMDB 中，= /DAB =90 :，BD2=AD2+AB2BD = 122 +(4%/3)2 =2J值.(2)證明：連接 AF

35、,易證： DAEA ADH,故 DH =AEZEAF - . EAB ZFAB =30 /FABZFDH ZFDA ZHDA /FDA -60 , =(90 .dFBA) -60 '=30 d FBA故.EAF ZFDH易證： DHFAEF. HF=EF(3)(方法不唯一，有很多，合理即可)(法一)取AB的中點(diǎn)M,連接CM、FM .在 RTADE 中，AD=2AE,FM 是4ABD 的中位線，故 AD=2FM, FM=AE.易證 ACM為等邊三角形，故 AC=CM1. CAE = /CAB =302ZCMF =. AMF ZAMC =30故4 ACEA MCF故易證： CEF為等邊三角

36、形(法二)延長(zhǎng) DE至點(diǎn)N,使EN=DE,連接 AN;延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M,使CB=CM ,連接 AM;延長(zhǎng)BD交AM于點(diǎn)P.易證： ADEA ANE, ABCA AMC.易證： ADMAANB,故 DM=BN.CF是乙BDM的中位線，EF是 BDN的中位線.一 11一故 EF =BN = DM =CF 22ZCFE ZCFD ZDFE ZMDP dDBN ZMDP "BA dABNZMDP /DBA ZAMD /DPA dDBA =180 /PAB =180 -2/CAB =60故4 CEF為等邊三角形.21.閱讀材料(1) ADC0ADC； (2) BC=AC+AD.解決問(wèn)題：AB=2

37、1【解析】閱讀材料：觀察圖形可得(1) ADCA'DC； (2) BC=AC+AD解決問(wèn)題：在AB 上截取 AE =AD,連接 CE.可證得 ADC04 AEC 從而得至ij AE=AD=9, CE=CD=10=BC,然 后過(guò)點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F,在RtCFB和RtCFA中，由勾股定理得 CF2=CB2-BF2=102 x2及CF2=AC2AF2=172 (9+x)2,然后解方程即可解決問(wèn)題 .解：閱讀材料(1) ADCA A DC;(2) BC=AC+AD.解決問(wèn)題 如圖，在 AB上截取AE =AD,連接 CE. AC 平分/ BAD,/ DAC = Z EAC.又AC=AC, A

38、ADCA AEC. AE=AD=9, CE=CD=10=BC.過(guò)點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F. EF=BF .設(shè) EF=BF=x.在 RtA CFB 中，/ CFB=90°,由勾股定理得 CF2=CB2- BF2=102-X2.在 RtA CFA 中，/ CFA=90° ,由勾股定理得 CF2=AC2-AF 2=172- (9+x)2.102-x2=l72-(9+x)2,解得x=6. AB =AE +EF + FB=9+6+6=21 .AB的長(zhǎng)為21.22. （1）證明見(jiàn)解析；（2） BD+CE=DE,證明見(jiàn)解析；（3） BD-CE=DE.【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定

39、義得出/DFB = /CBF, /ABF = /CBF,推出ZDFB = ZDBF,根據(jù)等角對(duì)等邊推出即可;（2）與（1）證明過(guò)程類似，求出 BD = DF, EF=CE,即可得出結(jié)論;（3）與（1）證明過(guò)程類似，求出 BD = DF, EF=CE,即可得出結(jié)論.解：（1） BF 平分/ ABC, ./ ABF=/CBF, DF II BC, ./ DFB=ZCBF,DFB =/DBF , BD=DF ;(2) BD+CE=DE,理由是：: BF平分/ ABC, ./ ABF=/CBF, DF / BC, ./ DFB=ZCBF, ./ DFB =/DBF ,BD=DF ；同理可證：CE=EF

40、, DE=DF+EF, BD+CE=DE;(3) BD- CE=DE.23.證明見(jiàn)解析.【解析】小敏的證明思路是：在 AC上截取AE=AB,連接DE.由 SAS 證明 ABDA AED ,得至U BD=DE, / ABD=/AED,由/ AED = /EDC+/C 和 /B=2/C,得到/ EDC=/C,從而有 DE=EC,故 AB+BD=AC；小捷的證明思路是：延長(zhǎng) CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE,則/ E=/BAE, /ABC=2/E, 由/ ABC=2ZC,得到/ E=/ C, AE=AC,再證 AED是等腰三角形，得到 EA=ED=AC, 故 AB+BD=AC;【變式探究】AB+B

41、D=AC不成立，正確結(jié)論：AB+BD=CD,在CD上截取 DE=DB,由ADBC,得至U AD 是 BE 的中垂線，故 AE=AB, /B=/AED,證明 / C=/CAE,得至U AE=EC,即 AB+BD=CD;【遷移拓展】過(guò)點(diǎn)A作ADLBC于D,由勾股定理得：AB2 = BD2 +AD2，AC2 = CD2+AD2 ,故AC2 -AB2 =CD2 -BD2= (CD BD) (CD + BD) =BC (CD BD),由 AB+BD=CD ,得 至U CD-BD=AB, 故 AC2 -AB2= BC (CD BD) =BC AB,即 AC2 = AB2 +AB BC .解：小敏的證明思路是：在 AC上截取AE=AB,連接DE.（如圖2）圖2. AD 是 / BAC 的平分線，./ BAD=/EAD, / AD=AD, ABDAED , . BD=DE ,Z ABD= /AED,又. / AED=/EDC + /C, / B=2/C,/ EDC=ZC, DE=EC,即AB+BD=AC;小捷的證明思路是： 延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE,則/ E= /BAE, /. Z ABC=2 /E, ./ABC=2/C,E=ZC, AE=AC, / Z ADE=Z DAC+Z C, Z DAE = Z BAD+ZBAE,