正態(tài)分布及其經(jīng)典習題和答案

1、精選文檔專題：正態(tài)分布【學問網(wǎng)絡】 1、取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念； 2、能計算簡潔離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題；3、通過實際問題，借助直觀（照實際問題的直觀圖），生疏正態(tài)分布、曲線的特點及曲線所表示的意義?！镜湫屠}】例1：（1）已知隨機變量X聽從二項分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為 （ ）An=4，p=0.6Bn=6,p=0.4Cn=8，p=0.3Dn=24，p=0.1答案：B。解析：，。 （2）正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)到的面積為( )。A95% B50% C97.5% D不能確定（與標準差的大小有關） 答案：B

2、。解析：由正態(tài)曲線的特點知。（3）某班有48名同學，一次考試后的數(shù)學成果聽從正態(tài)分布，平均分為80，標準差為10，理論上說在80分到90分的人數(shù)是 （ ）A 32 B 16 C 8 D 20答案：B。解析:數(shù)學成果是XN(80,102)，。 （4）從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)之積的數(shù)學期望為_ 。答案：8.5。解析：設兩數(shù)之積為X，X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5. （5）如圖，兩個正態(tài)分布曲線圖：1為，2為，則 ， （填大于，小于）答案：，。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。例2：甲、乙兩人參與

3、一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.（）求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學期望；0123P（）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.答案：解：（）依題意，甲答對試題數(shù)的概率分布如下：甲答對試題數(shù)的數(shù)學期望 E=.（）設甲、乙兩人考試合格的大事分別為A、B，則P(A)=，P(B)=. 由于大事A、B相互獨立，方法一：甲、乙兩人考試均不合格的概率為 甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 方法二：甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為答：甲、乙兩人至

4、少有一人考試合格的概率為.0.10.6Y123P0.3b0.3例3：甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X和Y，其分布列如下： （1）求a,b的值； （2）比較兩名射手的水平.答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2） 所以說甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙穩(wěn)定.例4：一種賭博玩耍：一個布袋內裝有6個白球和6個紅球，除顏色不同外，6個小球完全一樣，每次從袋中取出6個球，輸贏規(guī)章為：6個全紅，贏得100元；5紅1白，贏得50元；4紅2白，贏得20元；3紅3白，輸?shù)?00元；2紅4白，贏得20元；1紅5白，贏得50元；6全白，贏得100元.而且玩耍是免費的.很多人認為這種玩耍格

5、外令人心動，現(xiàn)在，請利用我們學過的概率學問解釋我們是否該“心動”.。答案：設取出的紅球數(shù)為X，則XH（6，6，12），其中k=0,1,2,6設贏得的錢數(shù)為Y，則Y的分布列為X1005020100P，故我們不該“心動”。【課內練習】1標準正態(tài)分布的均數(shù)與標準差分別為( )。A0與1 B1與0 C0與0 D1與1答案：A。解析：由標準正態(tài)分布的定義知。2正態(tài)分布有兩個參數(shù)與，( )相應的正態(tài)曲線的外形越扁平。A越大 B越小 C越大 D越小答案： C。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。3已在個數(shù)據(jù)，那么是指A B C D（ ）答案：C。解析：由方差的統(tǒng)計定義知。 4設，則的值是 。答案：4。解析：，

6、5對某個數(shù)學題，甲解出的概率為，乙解出的概率為，兩人獨立解題。記X為解出該題的人數(shù)，則E（X）= 。答案：。解析：。6設隨機變量聽從正態(tài)分布，則下列結論正確的是 。 (1) (2)(3)(4)答案：(1),(2),(4)。解析：。7拋擲一顆骰子，設所得點數(shù)為X，則V（X）= 。答案：。解析：，按定義計算得。8有甲乙兩個單位都想聘任你，你能獲得的相應的職位的工資及可能性如下表所示：甲單位1200140016001800概率0.40.30.20.1乙單位1000140018002200概率0.40.30.20.1 依據(jù)工資待遇的差異狀況，你情愿選擇哪家單位并說明理由。 答案： 由于E（甲）=E（乙

7、），V（甲）<V（乙），故選擇甲單位。解析：E（甲）=E（乙）=1400，V（甲）=40000，V（乙）=160000。9交5元錢，可以參與一次摸獎。一袋中有同樣大小的球10個，其中有8個標有1元錢，2個標有5元錢，摸獎者只能從中任取2個球，他所得嘉獎是所抽2球的錢數(shù)之和（設為），求抽獎人獲利的數(shù)學期望。答案：解：由于為抽到的2球的錢數(shù)之和，則可能取的值為2，6，10. ，設為抽獎者獲利的可能值，則，抽獎者獲利的數(shù)學期望為 故，抽獎人獲利的期望為-。10甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92.（1）求該題被乙獨立解出的概率；（2）求解

8、出該題的人數(shù)的數(shù)學期望和方差.答案：解：（1）記甲、乙分別解出此題的大事記為A、B.設甲獨立解出此題的概率為P1，乙為P2. 則P（A）=P1=0.6, P(B)=P2012 P0.080.440.48，或利用?！咀鳂I(yè)本】A組1袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以X表示取出球的最大號碼，則E（X）等于 （ ） A、4 B、5 C、4.5 D、4.75答案：C。解析：X的分布列為X345P0.10.30.6故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。2下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是 （ ）A BC D答案：B。解析：選項B是標準正態(tài)分布密度函數(shù)。3正態(tài)總體為概率密度函

9、數(shù)是 （ ）A奇函數(shù) B偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案：B。解析：。4已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率是05，那么相應的正態(tài)曲線在 時達到最高點。答案：0.2。解析：正態(tài)曲線關于直線對稱，由題意知。5一次英語測驗由40道選擇題構成，每道有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，每個選對得3分，選錯或不選均不得分，滿分120分，某同學選對一道題的概率為0.7，求該生在這次測驗中的成果的期望為 ；方差為 。答案：84；75.6。解析：設X為該生選對試題個數(shù)，為成果，則XB（50，0.7），=3XE(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8

10、.4故E()=E(3X)=3E(X)=84 V()=V(3X)=9V(X)=75.66某人進行一個試驗，若試驗成功則停止，若試驗失敗，再重新試驗一次，若試驗三次均失敗，則放棄試驗，若此人每次試驗成功的概率為，求此人試驗次數(shù)X的分布列及期望和方差。解：X的分布列為X123P故，。7甲、乙兩名射擊運動員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為0.5，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們獨立的射擊兩次，設乙命中10環(huán)的次數(shù)為X，則EX=，Y為甲與乙命中10環(huán)的差的確定值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由已知可得，故有Y的取值可以是0，1，2. 甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是0次的概率是， 甲、乙兩人

11、命中10環(huán)的次數(shù)都是1次的概率是， 甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是2次的概率是 所以； 甲命中10環(huán)的次數(shù)是2且乙命中10環(huán)的次數(shù)是0次的概率是，甲命中10環(huán)的次數(shù)是0且乙命中10環(huán)的次數(shù)是2次的概率是 所以，故 所以Y的分布列是Y123P 所以 Y的期望是E（Y）=。8一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資50萬元，開發(fā)成功的概率為0.9，若開發(fā)不成功，則只能收回10萬元的資金，若開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不論是否成功都需要花費10萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為0.8，若發(fā)布成功則可以銷售100萬元，否則將起到負面作用只能銷售60萬元，而不召開新聞發(fā)布會則可能

12、銷售75萬元.（1）求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率.（2）求開發(fā)商盈利的最大期望值.答案：解：（1）設A=“軟件開發(fā)成功”，B=“新聞發(fā)布會召開成功” 軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72. （2）不召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是(萬元)； 召開新聞發(fā)布會盈利的期望值是（萬元）故開發(fā)商應當召開新聞發(fā)布會，且盈利的最大期望是24.8萬元.B組1某產(chǎn)品的廢品率為0.05，從中取出10個產(chǎn)品，其中的次品數(shù)X的方差是 （ ）A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5答案：B。解析：XB（10，0.05），。2若正態(tài)分布密度函數(shù)，下列推斷正確的

13、是 （ ）A有最大值，也有最小值 B有最大值，但沒最小值 C有最大值，但沒最大值 D無最大值和最小值 答案：B。3在一次英語考試中，考試的成果聽從正態(tài)分布，那么考試成果在區(qū)間內的概率是 （ ）A06826 B03174 C09544 D09974答案：C。解析：由已知XN（100，36），故。4袋中有4個黑球，3個白球，2個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球得0分，每取到一個白球得1分，若取到一個紅球則得2分，用X表示得分數(shù)，則E（X）=_；V(X)= _.答案：；。解析：由題意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：X01234PE(X)=0×+1×2&#

14、215;3×4× V(X)= ×+×××× 注：要求次品數(shù)的數(shù)學期望與方差，應先列出次品數(shù)X的分布列。5若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)是，則= 。答案：-5。解析：。6一本書有500頁，共有100個錯字，隨機分布在任意一頁上，求一頁上錯字個數(shù)X的均值、標準差。解：XBX的標準差。7某公司詢問熱線電話共有10路外線，經(jīng)長期統(tǒng)計發(fā)覺，在8點至10點這段時間內，外線同時使用狀況如下表所示：電話同時打入次數(shù)X012345678910概率0.130.350.270.140.080.020.010000若這段時間內，公司只支配2位接線員（一個接線員只能接一部電話）.（1）求至少一路電話號不能一次接通的概率；（2）在一周五個工作日中，假如有三個工作日的這一時間至少一路電話不能一次接通，那么公司形象將受到損害，現(xiàn)在至少一路電話不能一次接通的概率表示公司的“損害度”，求這種狀況下公司形象的“損害度”；（3）求一周五個工作日的時間內，同時打入電話數(shù)X的數(shù)學期望.答案：解：（1）只支配2位接線員則至少一路電話號不能一次接通的概率是 1-0.1