高三圓錐曲線復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)和大題含答案)

1、考綱要求(1)圓錐曲線了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的 作用； 掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用；理解數(shù)形結(jié)合的思想。(2)曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系?；局R(shí)回顧(1)橢圓橢圓的定義設(shè)F1, F2是定點(diǎn)(稱焦點(diǎn))，P為動(dòng)點(diǎn)，則滿足|PF1|+|PF2|=2a慎中a為定值, 且2a> |F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓，符號(hào)表示：|PF1|+|PF2|=2a (2a>| F1F2|)。 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上

2、的橢圓焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程22xN2 + 2 =1 (a> b>0) ab22yx, /,2 + 2 =1 (a>b>0)ab范圍xa,a 丫習(xí)bx-b,b yw-a,a圖形JBi4、對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)Ai(-a,0), A2(a,0)Bi(t0), B2(b,0)A(0a),A2(0,a)Bi(0,-b),B2(0,b)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為:2a短軸B1B2的長(zhǎng)為：2b焦距FiF2=2c離心率ce 二 一，ew (0,1) aa,b,c關(guān)系2.2.2a =b +c例題22例1 :橢圓|PF2 k x yO;NF1PF2的大小為一 +匚=

3、1的焦點(diǎn)為f f 點(diǎn)p在橢圓上，若|PF11= 4 ,則 9222x y 變式1：已知Fi、F2是橢圓C:-T+4=1(a>bA0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓C上的一 a bT T點(diǎn)，且PF1 _L PF2。若B52的面積為9,則b=。例2：若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到定直線 x+5=0的距離小1,則P點(diǎn)的軌跡方程是 ( )A. y2=16xB. y2=32xC. y2=16xD. y2=32x變式2:動(dòng)圓與定圓A: (x+2)2+y2=1外切，且與直線 九x=1相切，則動(dòng)圓圓心 P的軌跡 是()A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線變式3:拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上，其上的點(diǎn)P(

4、m,4)到焦點(diǎn)的距離為5,則 拋物線方程為()22._2-2A. x =8yB, x =4yC, x =TyD. x =-8y變式4:在拋物線y2=2x上有一點(diǎn)P,若P到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)A (3, 2)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是。課后作業(yè)221,已知橢圓 '+'=1, F1、F2分別為它的左右焦點(diǎn)，CD為過F1的弦，則4 F2CD的周長(zhǎng)是()A. 10B. 12C. 16D .不能確定22 .設(shè)P為雙曲線x2 上=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 12|PFi |：|PF2 |=3： 2 ,則PF1F2的面積為()A. 6 百B. 12C. 1243D. 242

5、3.已知直線，：4x3y+6 = 0和直線12 : x =-1 ,拋物線y =4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線11和直線12的距離之和的最小值是(A. 2B. 311C.5D.371636 / 46答案：例題例 1、2, 120 解：. a2 =9,b2 =3 , . . c = Ja2 b=屈工=&, 歸正2 =2"， 又 PF1 =4, PF1 十|PF2 =2a = 6,PF2 =2,22 +42 -(277 )21又由余弦定理，得 cosZ F1PF2 =,2 2 42./F1PF2 =120:故應(yīng)填 2, 120。變式1、3解：依題意，有，P PF1| +|PF2 =2aPF1

6、 PF2 =18可得 4c2 + 36= 4a2,即 a2- c2= 9,222PF1+ PF2 =4c故有b=3。例2、C變式2、D變式3、D變式 4、(2,2)課后作業(yè)1. C2. B3. 解：直線12：x = -1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0用距離，故本題化為在拋物線 y2=4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)和F(1,0)直線l2的距離之和最小，最小值為F(1,0)至ij直線4-0 6l1 ：4x3y+6=0 的距離，即 dm. 1=2,故選擇 A。5(2)雙曲線雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2 (稱為焦點(diǎn))的距離的差的絕對(duì)值等于

7、常數(shù)2a(0v 2av |F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，符號(hào)表示：|PF1|- |PF2|=2a (0<2a<|F1F2|)。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程22x y，、-2-7=1 (a>0,b>0)22yx,、' =1 (a>0,b>0) ab范圍x wy亡 -a, a 也bx-b,b y w -a,a圖形二1J7°Izq0Xf2 、對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A(-a,0), A2(a,0)A(0,-a)A(0,a)軸實(shí)軸A1A2的長(zhǎng)為：2a虛軸B1B2的長(zhǎng)為：2b焦距Fi

8、F2=2c離心率ce = 一,ew (1,+°0) aa,b,c關(guān)系222c = a +b例題例3:如果方程x2+ky2 =2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )A. (0,B. (0,2)C. (1*)D. (0,1)D 65D3變式5：雙曲線8kx2 -ky2 =8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3),那么k的值是65A. 1B. - 1C. 265-322變式6:曲線 +-y- =1的離心率eC (1,2),則k的取值范圍是( 4 kA. ( 8, 0) B. (3, 0)22例4:設(shè)F1和52為雙曲線與-5 a bC. ( 12, 0) D. ( 60, 12)= 1(a

9、A0,b A0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若Fi, F2,P(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(C. 5D. 32F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P ,1)F2A. 3B. 2222變式7：過橢圓與+5=1 (a >b>0)的左焦點(diǎn)a b為右焦點(diǎn)，若. F1PF2 =60"則橢圓的離心率為變式8:設(shè)F1, F2分別是雙曲線 3- a21=1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) b2使/FiAF2=90，且|ae =3AF2,則雙曲線的離心率為(c 15C.-222變式9:雙曲線 :_=1 (a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、 a bF2,若p為其上一點(diǎn)，且|PFi|

10、二2|PF2,則雙曲線離心率的取值范圍為(A. (1,3)C. (3,+ g)D. 3尸22例5:設(shè)雙曲線4 = 1(a >0,b>0)的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為2J3,則雙曲線的a b漸近線方程為()21A. y = ±y2x B. y=±2xC. y=± x D. y = ±x2222變式10:已知雙曲線x-/=1(b >0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2 ,其一條漸近 2 b線方程為y = x ,點(diǎn)P(T3,y0)在雙曲線上.則PF1 PF2 =()A. 12B. 2C, 0D. 422變式11:雙曲線 人-匕=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為(

11、)4 12A. 2x/3B. 2C. 73D . 1答案：例題例3、C變式5、B變式6、Cc例4、B 斛：由tan=6 2b2),則 e = 9 = 2，故選 B。a、，、一''b. . 3b變式7、B,解：因?yàn)镻 -c,士一，再由/F1PF2=60。有 =2a,從而可得1alae=c=A 故選 B。 a 3變式8、B變式9、B例5、C解：由已知得到b = 1,c = V3,a = Jc2 b2 =,因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，故漸近線方程為 y = _bx = xa 2變式10、C解：由漸近線方程為 y = x知雙曲線是等軸雙曲線，.雙曲線方程是x2 -y2 =2,于是兩焦點(diǎn)

12、坐標(biāo)分別是 (2, 0)和(2, 0),且P(J3,1)或P(V3,1).不妨去 P(f3,1)，則 PF1 = (_2_<3,-1),PF? = (2 一、3,-1).:PF； PF； = (273,1)(2V3,1) = (2 + 73)(2 73)+ 1 = 0 22變式11、解：雙曲線 =1的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線y = J3x的距離為4125 4- 0d = 二 2j3,選 A2(3)拋物線拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線(定點(diǎn) F不在定直線l上)。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2-

13、，一、y = 2 px( p a 0)2一，一、y = -2 px( p a 0)2-，x = 2py( p a 0)2，x = 2 py( p a 0)圖形o-，y 匕yb£xAy夕 O_p,xy1£xx/頂點(diǎn)9標(biāo)原點(diǎn)O (0,f0)對(duì)稱性關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱焦點(diǎn)(p,0)2(-p,0)(吟(0,-衛(wèi)) 2離心率e=1準(zhǔn)線方程P x =-2px =2pp 丫知識(shí)拓展拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)設(shè)AB是過拋物線y2 =2px(p A0)焦點(diǎn)F的弦，若A(Xi,y1)，B(X2,y2)則2P21 .X1X2 =,y1y2 = -p ；42.弦長(zhǎng)I AB的傾斜

14、角);2p 一=X1 + X2 + P =2 ( a 為弦 AB sin 二3.FA FB4 .以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；5 .A, O與B在準(zhǔn)線上的射影 B'三點(diǎn)共線，B, O與A在準(zhǔn)線上的射影 A'三點(diǎn)共線。例題例6:斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4X的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B,則線段AB的長(zhǎng)是。變式12:拋物線y2=2X上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)F的距離之和是5,則線段AB的中點(diǎn) M的橫坐標(biāo)是變式13:設(shè)過拋物線的焦點(diǎn) F的弦為PQ,則以PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是()A.相交B .相切C.相離D.以上答案均有可能變式14:過拋物線y2 =2px(p A0

15、)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)，若線段 AB的長(zhǎng)為8,則p=課后作業(yè)2 21.若雙曲線 今冬=1 (a ao )的離心率為2,則a等于()a 3A. 2B. 5/3C. 3D. 12222 .雙曲線 4=1 (a>0, b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是 E, F2,過F1作傾斜 a b角為30的直線交雙曲線右支于 M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為( )A. 6qB. 33C. V2D.33 .已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為 6,則該雙曲線的離心率為。4 .已知雙曲線的離心率為2 ,焦點(diǎn)是(-4,0) , (4,0),則雙曲線方程

16、為(答案:2 x A.45 .拋物線6 .設(shè) Fi,2Ji1222x yB. =1124y2 = -8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2, 0)B. ( 2 , 0)2C.C.F2分別是雙曲線 X2 +工=1的左、右焦點(diǎn)。9PF1 PF2 =0 ,則A.由PF1+PF21=B. 2 M227.已知橢圓與冬a bC.2匕二16(4, 0)若點(diǎn)1(a >b >0)的左焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為D.22二一工二1610D. ( 4 , 0)P在雙曲線上，且D. 2展A,點(diǎn)B在橢圓上,且BF _Lx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P。若AP =2PB ,則橢圓的離心率是()B.叵2D.-28.已知拋物線 y2 =2px(

17、p >0)的焦點(diǎn)為 F ,點(diǎn) P(x1, y1), P2 (x2 ,y2)，2(x3, y3)在拋物線上，且2x2 =Xi +x3 ,則有()C.FP +|FP2| = FP32 FP2 =FR +FRB.D.22FP1 +|FP2 =FP3FP2FPi FP3例題例6、變式12、變式13、變式14、2,解：由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為y2 =2px聯(lián)立有y =x -p22=x2 -3px + = 0 , 4又 AB =J(1+12)«3p)24噂=8= p = 2課后作業(yè)22_1,解：由L =1可知虛軸b= . 3,而離心率a 3ce=二aa2 3,=2 ,解得a=1或aa=

18、3 ,參照選項(xiàng)知而應(yīng)選 D。2. B3. 34. A5. 解：由y2 =8x ,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是(旦0)=(2,0),故選B。26. B 一 17. D,對(duì)于橢圓，因?yàn)?AP=2PB,則 OA=2OF,/. a=2c,，e =28. C解圓錐曲線常用方法(1)韋達(dá)定理的應(yīng)用例題22例1:在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C1 :與十22 = 1但Ab >0)的左焦點(diǎn)為 a bF1(-1,0),且點(diǎn) P(0,1)在C1 上.(1)求橢圓Ci的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程.課后作業(yè)221、雙曲線 工匕=1的漸近線與圓(x3)2 +y2 =r2(r

19、 A0)相切，則r=()63A. <3B. 2C. 3D. 6222、設(shè)雙曲線 與-A = 1的一條漸近線與拋物線 y =x2 +1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a2 b2雙曲線的離心率為()A. 5B. 5C. 5-D. <5423、已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若 ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是()A3c3c2c2A-3-B .C.D.答案：例1、解：(1):依題意：c=1, 1分則：a2=b2+1, 2分22一設(shè)橢圓方程為：x y 3分將P(0,1)點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得：b2 =1 4分所以 a2 =b2 1 =1 1 =2故橢

20、圓方程為：x2 2 1 5分"2 'y =1(2)設(shè)所求切線的方程為：y = kx + m 6分y = kx + mJ 21 x2 彳+ y = 12消除y(2k21)x2 4kmx (2m2 -2) =0222.-：1 = (4km) - 4(2k- 1)(2m 2)化簡(jiǎn)得:m2 - 2k2 = 1 8分同理：聯(lián)立直線方程和拋物線的方程得：y = kx + my =4x消除y得：k2x2 (2km -4)x m2 = 02 =(2km-4)2-4k2m2 =0 9 分化簡(jiǎn)得： km=110 分將代入解得：2k4 k2 -1 =01c. 22斛行：k =,(k =-1舍去)，

21、故 k =，或者k =- 222當(dāng)k4時(shí)，m =丫2,當(dāng)k =T時(shí),m =72 12分2、2故切線方程為： y = x + 我或者y = - x - v2 14分22課后作業(yè)1、A2、D 解:2 x 雙曲線-a2y=1的一條漸近線為y=Bx,由方程組aby =_ xa2y = x 1消去y,得 x2Bx+1=0有唯一解，所以 A = i- 4=0, aa所以工2, a,a2 b21十住】=J5 ，故選D。 a3、解：設(shè)AFi=1,由4ABF2是正三角形知 AF2 =2,|FiF21 =J3，所以橢圓的離心2c2a壽焉二苧故選A0(2)圓錐曲線弦長(zhǎng)問題例題22例2:已知橢圓C：+與=1(a>

22、;b>0)的離心率為X6,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距 a b3離為於。o到直線i的距離為；，(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)求4AOB面積的最大值。課后作業(yè)21、設(shè)P是橢圓0 + y2=1(aA1限軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PQ 的最大值。2、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。(1)求橢圓的方程；(2)直線l過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，當(dāng) MOB面積取得最大值時(shí), 求直線l的方程。例題例2、答案:c 6解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意£=

23、-3 ：b=1,I a = . 32所求橢圓方程為 土 y2 =13設(shè) A(xi,y1 , BN*)。當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB =J3。當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y = kx + m由已知Im . 32 3 2Q"4(k +1)-把y =kx +m代入橢圓方程,整理得(3k2 +1)x2+6kmx+3m2 -3 = 0,-6km3(m2 -1) x1 + x2 = 2， x1x2 =2 , . 03k2 13k 1人口 2 2 A 辛 j136k2m212(m21)1 AB =+k 版2小1=11+卜 J一；_(3k2 十 1 23k2 +1 一12(k2 1)(3k2

24、1 -m2)3(k2 1)(9k2 1)_ 22-_ 22(3k2 1)2(3k2 1)22o 12k2 o 1212，=3 +42= 3 +( (k / 0) 0 3 += 4。9k4 6k2 1212 3 69k , f 6k2當(dāng)且僅當(dāng)9k2 =4，即k=±Y3時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)k=0時(shí)，AB=73,k23綜上所述 ABmax=2。.當(dāng)|AB|最大時(shí)，zAOB面積取最大值課后作業(yè)1、解：依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則|PQ|= Jx2 +(y _1)2 ,又因?yàn)镼在橢圓上， 所以 x2=a2(1y2 ),PQ 2 =a2(1 -y2 Hy2 -2y +1 =(1 -a2 y

25、2 -2y 十1 +a2=1 -a211 -a21a2時(shí),|PQ|取最大值因?yàn)?y| W1 ,a>1,若 a>y2,則 |2| & 1,當(dāng) y =2 a2 a2 -1a -1若1<a<#,則當(dāng)y=-1時(shí)，|PQ|取最大值2。222、解：設(shè)橢圓方程為3%=1(a b c) a2 b2'a2 =2b2 =1c2 =1b =c,i 2a2(1)由已知得竺=4=Ca2 =b2 c22;所求橢圓方程為x 2.y =12(2)解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y = kx+2,A(x,y1),B(x2, y2)y = kx 2由«x29 ，消去

26、y得關(guān)于x的方程：(1 + 2k2)x2+8kx + 6 = 0y2 -1 2由直線l與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，：:>0= 64k2 -24(1+2k2) >0解得23k2又由韋達(dá)定理得x1x1x2 -8k1 2k26x2 -212k | AB | =、1 k2 | x1 x2 |= . 1 k2 (x1 x2)2 -4x1x2 = 1 ) . 16k2 -241 2k“原點(diǎn)。到直線l的距離d =2= , 1k2c1 S.aob =2|AB| d =16k2 -242.2 . 2k2 -31 2k22°1 2 k2令 m=d2k2 -3(m >0),皿 222 2m

27、 2 22則 2k2 =m2+3 ： S=1-=& m2 442m m m.一.4當(dāng)且僅當(dāng)m=J4即m = 2時(shí),m_2 一 2此時(shí)k = J4一 2所以，所求直線方程為14-2y 4=0(3)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題b2x0 k=-；a Vok4a Vo遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。 221.在橢圓 二十%=1中，以P(%,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 a b222 .在雙曲線 :%=1中，以P(xo,y。)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 a b3 .在拋物線y2 =2px(p>0)中，以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k= °Vo2例3、對(duì)于雙曲線

28、x2 -2 = 1，過點(diǎn)B(1,1)能否作直線m ,使m與雙曲線交于P,Q 兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是PQ的中點(diǎn)。例4、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是 (0,572),且截直線3x-y-2=0,所得弦 幺3的中點(diǎn)的1橫坐標(biāo)為1,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2課后作業(yè)221、如果橢圓 上+匕=1弦被點(diǎn)A (4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 369222、已知直線y= x+1與橢圓，+4=i(a>b>0)相交于 A B兩點(diǎn)，且線段AB的中 a b點(diǎn)在直線L: x2y=0上，則此橢圓的離心率為 3、已知拋物線 C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，直線y=x與拋物線C交于AB兩點(diǎn)，若P(2,2 )為AB的中點(diǎn)，則拋

29、物線 C的方程為 24、已知橢圓上 +y2=1的左焦點(diǎn)為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)。2(1)求過點(diǎn)O F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)F的直線交橢圓于 A B兩點(diǎn)，并且線段 AB的中點(diǎn)在直線x+y = 0上, 求直線AB的方程。答案：例3、解：假設(shè)存在直線m,設(shè)P(x1, y1 )Q(x2, y2 ),則 一 22 一一 2七 ” =2(1)22I 2x22y22=2(2)j Xi+x2=2(3)J y1 * y2 =2(4)(1) (2)得：2僅1 +x2 奴1 X2)(y1 +y2 M y2 )=0:4(x1 -x2 )-2(y1 -y2 )=0: k =1y2=2Xi - X

30、2：m的方程為：y1=2(x1 )1 P y =2x -1y =2x -1,2由 22得 2x24x+3=0=( 4f 4M2M3 = 8<02x - y =2：m與已知雙曲線無交點(diǎn)，即假設(shè)不成立，：m不存在。2例4、解：設(shè)所求橢圓方程為 匕 a將 3x y 2=0 與+ - b2y-2a=1 (a>b> 0),由 a2 b2 =50 ,得 a2 =b2 +50 ,2+與=1 (a>b>0)聯(lián)立消去y得 b210b2 50 x2 -12b2x -b2 b2 4bL 06b2設(shè) A(x1，y1 ), B(x2, y2 ),則 x1 +x2 =5=1 ,解出 b =2

31、5、5(b2 5)a2 =75 ,所求橢圓方程為22yF + 2 =1 °課后作業(yè)1、2、x 2y -8=0二3、=4x解：設(shè)拋物線為Xiy2 =kx,與y=x聯(lián)立方程組，消去V,得：x2 +x2 =k =2x2 ,故 y2 =4x4、解:(1)22a =2, b =1,c=1,F( 1,0), l:x=21圓過點(diǎn)O、F,二圓心M在直線x = -1上 2、一 1 .1"設(shè) M (,t),則圓半徑 r = ( )-(-2)=222由 OM =r，得 j(2)2 +t2 =:,解得 t=±42;所求圓的方程為 汽+工產(chǎn)+”土后產(chǎn)=9。 24(2)設(shè)直線 AB的方程為y

32、 =k(x + 1)(k#0),2 kx = 0 ,Xo代入 人+y2=1,整理得(1+2k2)x2 +4k2x+2k2 -2=0 2直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F, 方程有兩個(gè)不等實(shí)根,4 k22k2 1xO ' y0 =-2 k22k2 1 2k2 1=0,記 A(x1,y1), B(X2,y2), AB 中點(diǎn) N(x°, y°),則 x1 +x?2,12kkx0 =-(x1 x2)二 2-,y0 -k(x0 1)二一2- 022k212k21,線段AB的中點(diǎn)N在直線x + y=0上,1 .：k=0,或k =-當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，線段 AB的中點(diǎn)F不在直 2線x

33、+ y =0上。;直線 AB的方程是y = 0,或x2y+1 =0.分類題型類型一：三角形面積22例1：已知橢圓C: 1+與=1 （a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,且長(zhǎng)軸長(zhǎng) a b是短軸長(zhǎng)的、2倍.（I）求橢圓C的方程；（n ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C與直線y = kx +1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A, B ,線段AB 的中點(diǎn)為P,若直線OP的斜率為-1,求 OAB的面積.例 1：解：（I）由題意 c=1，a=>/2b,又 a,2 l: y = 一 x 1一。到直線2的距離為75 ,所以_b2 =1,所以 b2=1,3=2所以橢圓的方程為2y2 =12. 4 分5)設(shè)Z0,

34、1), B(x1,y1)5 P(x0,y0),X2 +2y2 =2,2、2聯(lián)立 ly=kx+1消去 y 得(1+2k )x +4kx=0(*), 6 分4k4kX = _2X1 二 一 2解得x=0或 1 +2k ,所以 1+2k , 4k 1-2k2、2k 1B( 2,2) P(-2,2)所以 1+2k 1+2k ,1+2k 1+2k , 8 分1由直線OP斜率為-1,則2k1 k =一,解得 2 （滿足（*）式判別式大于零）10AB所以 OAB的面積為1K22 =25 5313分練習(xí)1 :已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，過點(diǎn)M (2,0)的直線l與圓x2 +y2=1交于P, Q兩點(diǎn).(I )

35、若OP OQ = -1 ,求直線l的方程；2(n )若AOMP與AOPQ的面積相等，求直線l的斜率.練習(xí)1:解：(I )依題意，直線l的斜率存在,因?yàn)?直線l過點(diǎn)M (-2,0),可設(shè)直線l ： y = k(x+2).因?yàn)橐驗(yàn)樗运訮、Q兩點(diǎn)在圓x2+y2=1上，所以 OP|=|OQ|=1, OP OQ = _1 ,所以 OP OQ =,OP1 ：oQ' cosZPOQ21ZPOQ =120所以 O到直線l的距離等于1 .212klk2 12得k =515所以 直線l的方程為xJi5y+2 =0或x +/5y + 2=0(II)因?yàn)锳OMP與AOPQ的面積相等，所以 MQ=2MP,設(shè)

36、 P(x1,y)Q(x2,y2),所以 證=%+2,丫2),芯=(%+2,乂).x2 2 = 2(x 2)所以2(x1)y2 = 2y1即21)y2 = 2y1(*)；因?yàn)?P, Q兩點(diǎn)在圓上,所以x；x22y； =1把(*)代入，得7廠一士15x12 y； =1224(x1 1) 4yl =1所以 直線l的斜率k=kMP =±或5,9即譚13分類型二：與圓的知識(shí)結(jié)合_例2:已知橢圓 +=1但Ab >0)的長(zhǎng)軸為4,且點(diǎn)(1,吏)在該橢圓上。(I)求橢圓的方程；b2(II)過橢圓右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A, B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn), 求直線l的方程。22例2：解：(I

37、)由題意：2a =4, a = 2.所求橢圓方程為 +-y2=l .4 b又點(diǎn)(1,g 在橢圓上，可得b=1 .所求橢圓方程為 亍+ y2=1 . -巧分(n)由(I)知a2 =4,b2 =1,所以c = J3,橢圓右焦點(diǎn)為(J3,0) .因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)，所以 OA OB = 0 .若直線AB的斜率不存在，則直線 AB的方程為x =邪.直線AB交橢圓于(73, 1),( 73,兩點(diǎn)，OA OB = 3-1#0,不合題意.224若直線AB的斜率存在，設(shè)斜率為 k ,則直線AB的方程為y = k(x-J3).由y =k(x-a 可得”4卜2)*2 -8T3k2x+12k2 -4 = 0

38、. x2 4y2 -4 =0,由于直線AB過橢圓右焦點(diǎn)，可知 A>0.設(shè) A(x1, y-)，B(x2, y2),則 xI +x?=8.3k212k2 -42 , x1 x2 =2 ，1 4k1 4ky1y2 =k2(x1 i：；3)(x2 - - 3) =k2x1x2 -$'3(x1-k2x2) 321 4k2-12k2-4所以 OA OB =x1x2 y1y2 =2(1 4k1 4k2、11k -4萬(wàn))一2-21 4k2由 OA QB = 0 ,即11k2 -421 4k942 11=0,可得 /=3*=±21111L14分所以直線l方程為y=±M1(x-

39、73)11練習(xí)2:已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2,短軸長(zhǎng)為273.(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)若直線l： y =kx + m(k *0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、N (M、N不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn) A.求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).練習(xí)2：解：（I）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為 a ,短半軸長(zhǎng)為b ,半焦距為c ,則'2c = 2,2b = 2r3 , 解得222a = b c,I22x y八十匚=1 4分43a =2,b = 3,橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為- 22x yn)由方程組$7+§=1消去丫，得(3 + 4k2 )x2+

40、8kmx+4m212 = 06 y = kx m分22222由題意 =(8km) 4(3+4k X 4m 12)>0,整理得：3 + 4k -m >0 28km4m -127 分設(shè) M (x1,y1 卜 N (x2,y2 )，則 +x2 = 2 ， xx2 =23 4k23 4k2由已知AM _L AN ,且橢圓右頂點(diǎn)為 A （2,0）(x1 -2 X x2 2 )+y1y2 =0 10 分22即 (1+k )x1x2+(km2 X Xi+x2)+m +4 = 0,2黃正+("一2)邦 + “ = 0，2k整理得7m +16mk+4k =0.解得 m = -2k 或 m

41、=-，均滿足一 11分7當(dāng)m = -2k時(shí)，直線l的方程為 y = kx-2k ,過定點(diǎn)（2,0）,不符合題意舍去;2k當(dāng)m = -2k時(shí)，直線l的方程為72,過定點(diǎn)（；0）,2故直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（工,。）,713分類型三：中點(diǎn)問題例3:若橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與左右焦點(diǎn) F1、F2組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為#.(I )求橢圓C的方程；(n )過點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M ,求直線MF1 的斜率k的取值范圍.22例3:解：（I）設(shè)橢圓C的方程為 S+=1（abA0）1分a ba =2c由 < a -

42、c = 33 a a =2 w'3,c = V3, b = 3.4 分a2 =b2 +c222所以，橢圓C的方程為 二+L=1.O5分129（n） F1（潟0）、F2（Qo）,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)， AB的中點(diǎn)為F2 ,直線MF1的斜率k = 0 ；6分當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為 m,直線AB的方程為y=m(x-J3)7分由聯(lián)立消去y并整理得：（3+4m2）x2 8j3m2x+12m2 36 = 0設(shè) M (x。，y0)，則 Xo =_ 24 3m23 4m,y。=m（x。- . 3）- 3 3m""23 4m10分當(dāng)m=0時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 M

43、F1的斜率k = 0；11分V。一 3m|k|=w=1士8m 3 3問 48182.| m | -3|m |.、6、613分<k <且k#0.886 , 6綜上所述，直線MFi的斜率k的取值范圍是,.14分881 練習(xí)3:在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F (0,)的距離比點(diǎn)P到x軸的距 4、一 1離大,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C ,直線l : y = kx + 1交曲線C于A,B兩點(diǎn)，M是4線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn) M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N .(I)求曲線C的方程；(II)證明：曲線 C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；(田)若曲線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，求k的取值范圍.1.1.

44、1 1由拋物線定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以(0,1)為焦點(diǎn)，直線y = 為準(zhǔn)線的(I)解：由已知，動(dòng)點(diǎn) P到定點(diǎn)F(0,)的距離與P到直線y = 的距離相等. 4444拋物線.所以曲線C的方程為y=x2. 3分(n)證明：設(shè) A(x1,y1)，B(x2, y2).2y = x ,2由得 xkx1=0.所以 x + x2 = k , x1x2 = -1 .y = kx 1,kk設(shè)M (x0,y0),則x0 =一 .因?yàn)镸N _Lx軸，所以N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一.22r2 一一由y = x ,可得y' = 2xk所以當(dāng)x = 一時(shí)，y' = k .2所以曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率為k,與直線

45、AB平行. 8分1(出)解：由已知， k#0.設(shè)直線l的垂線為l'： y = -1x + b.k221. 八代入 y=x ,可得 x + xb = 0(*)k若存在兩點(diǎn)D(x3, y3), E(x4, y4)關(guān)于直線l對(duì)稱，則x3x4y3y4212k2又(xJl, y3 +y4)在 l 上，所以 4+b = k(2)+1, b=-1222k2k2 2k由方程（*）有兩個(gè)不等實(shí)根1 912所以 =()2 +4b>0 ,即 F +2F A0kk2k2一 1、2.2所以下 < 2 ,解得k < 或k > k22213分類型四：與向量知識(shí)結(jié)合例4:已知中心在原點(diǎn)的橢圓

46、C的右焦點(diǎn)為（J3, 0）,右頂點(diǎn)為（2, 0）.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l : y = kx +J2與橢圓 C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A和B ,且OAOB a 2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍解：（1）由題意可得：a=2,c =03.b = a2 -c2 = 4-3 =12所求的橢圓方程為： y2 =14(2)設(shè) A(x1, y1), B(x2,y2)x221 y =1由4 y、y = kx + V2得:122( k )x 2 2kx 1 = 04-2 . 2kx1 x2 =1 k24, x1 x2 =-:k24*)212:=(2,2k) -4 ( k ) 04由 OA *OB 2可

47、得:xx2 +y1y2 A 2 ,即 xe +(kx +V2)(kx2 +<2) >2整理得：(1 k2)x1x2、. 2k(x1 x2) 0把（*）代入得：（1 +k2） 一1 2一 1 k24十司,國(guó)包0即：上嗎,01. 21 4k-k4解得:, 3.3一：二 k:二k的取值范圍是:,311< k <或一< k練習(xí)4:在直角坐標(biāo)系2xOy中，橢圓G:二十 a2B=1(a >b >0)的左、右焦點(diǎn)分別為 b2Fl、F2.其中F2也是拋物線G: y=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C與C2在第一象限的交點(diǎn),-5且 |mf2 l=r.3(1)求Ci的方程；_f叫平面的

48、點(diǎn)N滿足MN =MF1 +MF2 ,直線l / MN ,且與Ci交于A、B兩點(diǎn), 若OA OB =0 ,求直線l的方程。類型五：最值問題例5:已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率 e =，3 , 一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(J3Q).2(I)求橢圓C方程；1(II)設(shè)直線l : y = x + m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸 2于點(diǎn)T.當(dāng)m變化時(shí)，求ATAB面積的最大值.48,2 2 =1,八M在Ci上，且橢圓Ci的半焦距c = 1 ,于是 9a2 3b2 5分b2 =a2.1.消去b2并整理得 9a4-37a2+4 = 0,解得a=2(a=不合題意，舍去).32 2故橢圓Ci的方程為土十2-=1 . 7分43-1 -(n)由MF1+MF2 =MN知四邊形MF1NF2是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,2.6因?yàn)閘 / MN ,所以l與OM的斜率相同，故l的斜率k =2 = 66 .3設(shè)l的方程為y=J6(xm). 8分H 223x 4y =12, 由iy = . 6( x -m),2210分設(shè) A(x1，y1)，B(x2,y2)， x +x2 =16m_ 28m -4911分因?yàn)镺A_lOB,所以x1x2 + y1y 2 =0 .洎去y并化簡(jiǎn)得 9x 16mx+8m 4 = 0.2x)x2