數(shù)項級數(shù)的收斂性教學(xué)探討

1、數(shù)項級數(shù)的收斂性教學(xué)討論摘 要：級數(shù)的收斂性是級數(shù)理論的首要概念。對級數(shù)收斂性概念的教學(xué)進(jìn)展討論，通過問題驅(qū)動，給學(xué)生展現(xiàn)級數(shù)概念的形成過程。關(guān)鍵詞：數(shù)項級數(shù);數(shù)學(xué)史;極限級數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)和進(jìn)展數(shù)值計算的有力工具，在多種實際問題上的應(yīng)用非常廣泛。對級數(shù)的研究可追溯至對芝諾悖論的討論，其重要性始現(xiàn)于微積分學(xué)的創(chuàng)立與開展。例如，在求解面積問題時，牛頓最初就是利用將函數(shù)表示成無窮級數(shù)的方法，進(jìn)而逐項求積。另外，牛頓也使用了一樣的方法來處理微分方程的問題。級數(shù)是構(gòu)造非初等函數(shù)的重要方法，例如我們所熟知的積分，無法通過黎曼積分方法求出，而是通過級數(shù)的方法求解的。一旦給出了函數(shù)的級數(shù)表示，對該函數(shù)的分析

2、性質(zhì)進(jìn)展討論就很便利了。級數(shù)理論是以簡馭繁的數(shù)學(xué)思想的重要表達(dá)，以物理學(xué)的觀點看，這就相當(dāng)于把一個復(fù)雜的運動分解為一系列簡諧運動的疊加。級數(shù)理論中的首要概念是收斂性，利用無窮級數(shù)來表示函數(shù)，即逼近問題，最終將歸結(jié)為級數(shù)的收斂問題，因此，級數(shù)收斂性概念的教學(xué)是非常重要的，本文結(jié)合課堂教學(xué)理論，討論級數(shù)收斂性概念的教學(xué)。一、重視級數(shù)概念的形成過程，注重數(shù)學(xué)史的浸透級數(shù)概念建立在極限根底之上，從有限和到無限和之間有了極限運算的參與，超乎學(xué)生的直觀經(jīng)歷，抽象度高。作為級數(shù)教學(xué)的首課時，應(yīng)該讓學(xué)生對整章內(nèi)容的框架有個大概理解，因此，扼要介紹級數(shù)的開展史是很有必要的，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識是理論的產(chǎn)物，源于生

3、活并效勞于生活。為此，我們利用問題驅(qū)動，從芝諾悖論開始，引入級數(shù)概念。第一環(huán)節(jié)：問題提出Aristotle悖論PPT演示問題1：無限個數(shù)相加的結(jié)果是什么？問題2：有限個數(shù)相加的結(jié)合律、交換律對于無限和還有效嗎？第二環(huán)節(jié)：引出定義定義1：給定一個數(shù)列un，對其各項依次用“+號連接起來的表達(dá)式：稱為常數(shù)項級數(shù)或數(shù)項級數(shù)簡稱級數(shù)，其中稱為數(shù)項級數(shù)*的通項或一般項。回到我們的問題：如何判斷級數(shù)*的結(jié)果？先看一個例子：讓學(xué)生自由交流，與同學(xué)分享自己的結(jié)論，教師總結(jié)討論的結(jié)果令S=1-1+1-1+1-1+結(jié)果1：S=1-1+1-1+1-1+=0+0+0+=0結(jié)果2：S=1+-1+1+-1+1+=1+0+0

4、+=1結(jié)果3：S=1-1-1+1-1+=1-S，從而S=從上例可以看到，有限個數(shù)相加與無限個數(shù)相加是不同的，有限到無限之間經(jīng)歷了質(zhì)的變化，有限和的交換律與結(jié)合律不能“平行移植到無限和。在此，數(shù)學(xué)再一次發(fā)揮了其以簡御繁的精神與方法，“簡即有限，“繁即無窮，“御即逼近：以有限項之和去逼近無窮項之和。我們可以看到，所選項數(shù)越多，近似程度越高，由此，引入“部分和的概念：第三環(huán)節(jié)：定義運用例1：解決Aristotle悖論解：由于Si=S+S+S+，而Si=S+S+S=S，因此，Si=S。這說明總路程是一段有限的間隔 ，不可能永遠(yuǎn)也走不到終點，同時指出悖論的錯誤之處。例2：討論S=1-1+1-1+1-1+

5、的斂散性。解：S1=a1=1，因此，Sn不存在，級數(shù)發(fā)散。等比級數(shù)是非常重要的一類無窮級數(shù)，在后續(xù)學(xué)習(xí)級數(shù)斂散性判別中有重要作用。例2能讓學(xué)生體會無限和與有限和的區(qū)別。三、教學(xué)反思極負(fù)盛名的荷蘭數(shù)學(xué)教育學(xué)家Freudenthal曾說：沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它最初被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來。一個問題被解決以后，相應(yīng)的開展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得熾熱的考慮變成了冰冷的美麗。本著這樣的理念，教師的任務(wù)是將這些閃亮的思想過程復(fù)原給學(xué)生，引導(dǎo)其考慮、探究，從而培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的才能。大學(xué)課堂是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入科學(xué)研究領(lǐng)域的前沿陣地之一，能把學(xué)生吸引住的，不是冰冷的定理定義，而是隱藏其后的那些熾熱的考慮與碰撞。參考文獻(xiàn)：2張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)J，高等數(shù)學(xué)研究：2004，73：8-10.3Walter Rudin.Principles of mathematical a