小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《數(shù)與形》教學(xué)實(shí)錄

1、數(shù)與形課堂實(shí)錄、談話導(dǎo)入1、師：同學(xué)們，我們學(xué)過了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？ 生：分?jǐn)?shù)乘法。師：這是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。生：我們學(xué)過小數(shù)乘法。師：這也是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。 生：我們學(xué)過長方體正方體的體積。師：這是關(guān)于形的知識(shí)。生：我們學(xué)過比。師：這是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。生：我們還學(xué)過奇數(shù)偶數(shù)。師：這也是關(guān)于數(shù)的知識(shí)。（將以前學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行整理，都可以分為 “數(shù)”和“形”兩類）2、圖片欣賞。師：讓我們來看一幅圖片，圖片中有什么？ 生：花壇。師：說具體點(diǎn)。生：一個(gè)正方形花壇。 師：在這句話中就既有數(shù)、又有形。（演示：數(shù)：一個(gè) 形：正方形 物： 花壇） 師小結(jié)：（錄音中不包括）二、探究新知。1、從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和是

2、多少？師：n個(gè)是幾個(gè)？生：無數(shù)個(gè)。師：這個(gè)n代表多少？可以代表300嗎？生：可以。師：有可能是300個(gè)，有沒有可能是30個(gè)？有沒有可能是3個(gè)？也 就是說，它的個(gè)數(shù)是不固定的。那它的個(gè)數(shù)不固定，它的和呢？ 生：也不固定。師：可見這個(gè)和必定和這個(gè)n有關(guān)系。那它到底有什么聯(lián)系呢？怎么 才能知道它有什么聯(lián)系？師：你有方法嗎？想一想你有沒有好的思路？ 生：可以自己先算一算。師：怎么算？生：先算出10個(gè)，然后再進(jìn)行推算。師：真好。他的意思是把n先假定在10個(gè)以內(nèi)，對(duì)嗎？很好的策略。 復(fù)雜的問題往往要從簡單的開始。 那我們就聽你的， 把n的個(gè)數(shù)假定 在10個(gè)以內(nèi)，舉一些例子來看一看他們有什么聯(lián)系。幾個(gè)最簡單

3、？ 生：1個(gè)。師：1個(gè)最簡單，那我們來看。如果有1個(gè)這樣的奇數(shù)那算式也只能 是1，和也是1。師：如果有兩個(gè)這樣的奇數(shù)相加，那算式應(yīng)該是什么樣子的？生：1+3師：對(duì)嗎？和呢？生：4師：它們是不是有聯(lián)系？繼續(xù)。3個(gè)。生：1+3+5師：同意嗎？和呢？生：9師：再來一個(gè)。生：1+3+5+7師：同意嗎？和是？生：16.師：我想是不是有同學(xué)觀察到了什么？你有什么發(fā)現(xiàn)？先在小組說說 你的發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是下面的算式是不是都有這個(gè)規(guī)律？任選一個(gè)驗(yàn)證一 下。師：（巡視指導(dǎo)）任選一個(gè)驗(yàn)證一下，看看下面的算式是不是也有這樣的規(guī)律，規(guī)律應(yīng)該是有連續(xù)性的。2、小組匯報(bào)交流。 師：同學(xué)們有發(fā)現(xiàn)嗎？誰來說一下你有什么發(fā)現(xiàn) 生：每

4、個(gè)后面的數(shù)都是加2，而且都是奇數(shù)。 生：后面得的這個(gè)數(shù)都是前面這個(gè)數(shù)的平方倍。師：你能找一個(gè)數(shù)解釋一下嗎？生：5，算式是1+3+5+7+9=25師：那你說一下5和25的關(guān)系 生：25是5的平方倍。師：25是5的平方。你們有沒有這樣的發(fā)現(xiàn)？你們驗(yàn)證的是哪一個(gè)？ 生：我們驗(yàn)證的是6.師：6，6個(gè)這樣的奇數(shù)相加是多少？生：36.師：算式是1+3+5+7+9+11=36，也有這個(gè)規(guī)律。 那大家再來看這些是 不是都有這個(gè)規(guī)律？為了便于觀察， 我們可以將算式先隱藏起來， 大 家看一看，確認(rèn)一下，有這個(gè)規(guī)律嗎？3、小結(jié)。師： 按照剛才這個(gè)同學(xué)的說法， 當(dāng)有1個(gè)這樣的奇數(shù)相加的時(shí)候， 它 的和就是1X1;也就

5、是1的平方；當(dāng)有2個(gè)這樣的奇數(shù)相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平 方。依次這樣下去，看來真的有這樣的規(guī)律。 以此類推， 如果有20個(gè)這樣的連續(xù)奇數(shù)相加， 你覺得它的和應(yīng)該是多少？生：400.師：怎么算的？生：20X20=400師：那如果有100個(gè)這樣的連續(xù)奇數(shù)的和應(yīng)該是多少？生：1 00X1 00= 1 0000.師：以此類推，如果有n個(gè)這樣連續(xù)奇數(shù)相加的和應(yīng)該是多少？ 生：n的平方。師：齊讀 生：從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和是n的平方。 師：這個(gè)規(guī)律有意思嗎？從1開始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)， 它的和竟然可以 用它的個(gè)數(shù)的平方來算。你覺得奇怪嗎？你不奇怪能不

6、能來解釋一 下？為什么這樣連續(xù)奇數(shù)相加是它的和可以用個(gè)數(shù)的平方來算？ 生：比如說5，就是5個(gè)數(shù)相加，它的和就是5的平方。 生：可以用簡便算法來試試。10個(gè)連續(xù)奇數(shù)，可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11，就是5個(gè)20相加。 師：你用了另一種算法， 但是仍然不能解釋為什么它們的和要用個(gè)數(shù) 的平方來算。4、小組交流。 師：說實(shí)話，同學(xué)們，如果這個(gè)道理從數(shù)的道理來解釋，還真的不太 好解釋，那該怎么辦？華羅庚說過： “不懂就畫圖 ”，我們?yōu)榱俗尨蠹?聽得更清楚，老師準(zhǔn)備了一幅畫，我們來拼圖。我來做個(gè)示范。哪個(gè) 最簡單？生：1師：我用1個(gè)紅色的正方形來代表1，1行而且1個(gè)，1乘1還是

7、1，下一個(gè)1+3,你能用這樣的圖形來表示出來嗎？拼出個(gè)1+3行不行？ 大家小組內(nèi)都有這樣的小正方形，拼一拼。（巡視指導(dǎo)）5、小組展示。師：請(qǐng)問，這可以表示1+3嗎？（指著橫排成一排的） 師：“1在”哪里？（紅色）“3呢”？（黃色）這個(gè)是不是可以表示1+3？ 師：這個(gè)正方形可以表示1+3嗎？生：可以。師： “1在”哪里？（紅色） “3呢”？（黃色）。這都表示1+3.關(guān)鍵是我們不光是能夠表示1+3,還要解釋1+3為什么用2X2來算。那哪一個(gè) 圖形既能表示1+3，又能表示2X2呢？師：說一說,2X2在哪里？生：每行有兩個(gè),有兩個(gè)2,就是2X2。師：有兩列，而且有兩行，就表示2X2。看來，拼成正方形，

8、就可以表示從1開始的這樣的連續(xù)奇數(shù)相加, 還可以表示一個(gè)數(shù)的平方。 這樣的1+3是不是也可以用2疋來算？那下一個(gè)，1+3+5又該怎么拼？你來試試看。（學(xué)生拼圖：a1+3+5,教師巡視。）6、師：大家看,你們拼成一個(gè)正方形了嗎？我看到大家拼的正方形的樣子都不太一樣, 顏色的排列不同, 這位同學(xué)排的好不好？好在哪里？ 生：最小的數(shù)量在最里面, 中間的數(shù)量在中間, 最大的數(shù)量在最外邊。 師：對(duì),大家雖然都拼成了正方形,但是我們數(shù)學(xué)上要講究順序、規(guī) 律、條理,這位同學(xué)拼的非常好。這樣, 你能解釋1+3+5用3的平方 來算呢？ 生：因?yàn)樗麄儥M著豎著都是三個(gè) 師：橫著每行有三個(gè)，而且有三行，所以可以用3的

9、平方來計(jì)算。那1+3+5+7你會(huì)拼了嗎？方塊已經(jīng)沒有了， 讓我們來想一想， 如果在這 個(gè)（1+3+5）的基礎(chǔ)上再加上7個(gè)，你覺得這7個(gè)可以怎么擺？ 生：按照原來的方法再擺一層。 師：繼續(xù)想，拼完之后又是什么圖形？ 生：正方形。 師：這個(gè)正方形的每條邊上有幾個(gè)小方塊？有幾行？ （課件演示不同 的顏色），這些不同的顏色分別表示幾？為什么1+3+5+7可以用4的平方來算？ 生：因?yàn)檫@幾個(gè)不同顏色的方塊拼在一起就組成了大大的正方形， 這 個(gè)正方形可以拼成4行，每行有4個(gè)，可以用4的平方來計(jì)算。 師：同學(xué)們，如果繼續(xù)這樣拼下去，再加上一個(gè)奇數(shù)，9，現(xiàn)在有幾 個(gè)奇數(shù)？而且小正方形每條邊上的個(gè)數(shù)也變成5個(gè)，

10、而且有這樣的5行，所以它的和可以用5的平方來算。那，繼續(xù)這樣拼下去，再增加 一個(gè)奇數(shù)，11，它的總和可以用6的平方來算。再來一行呢？可以用7的平方，以此類推，如果有n個(gè)這樣的連續(xù)奇數(shù)，那就可以用n的 平方來算。 師：這個(gè)規(guī)律你現(xiàn)在弄明白了嗎？我們是怎么弄明白的？ 生：在我們不懂得時(shí)候就可以用形狀來解。 生：形可以很簡便的了解不會(huì)的問題。7、小結(jié) 師：是的，數(shù)是很抽象的，很多道理我們需要借助形的力量來理解， 把數(shù)化成形之后，可以使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得更加的清楚、明白，我 們把這樣的過程叫做 “化數(shù)為形 ”，然后以形來助數(shù)，幫助理解數(shù)量關(guān) 系。8、 師：那數(shù)的規(guī)律可以借助圖形來幫助思考， 那形的變化

11、背后是不是也 隱藏著數(shù)的規(guī)律呢？ 師：我來口述一個(gè)問題，大家來思考。有一種桌子，四面坐人可以坐8個(gè)人， 如果兩個(gè)桌子拼到一起就可以坐12個(gè)人，3張桌子拼到一起 可以坐16個(gè)人，這樣的100張桌子拼到一起可以坐多少個(gè)人？ 師：你聽懂了嗎？其實(shí)這個(gè)事挺簡單的，但是用話說卻說不明白，你 們有沒有好的方法？生：畫圖。師：如果畫出來的話，（課件演示）1張桌子可以坐8個(gè)人，2張桌 子可以坐12個(gè)人，3張桌子可以坐16個(gè)人，100張桌子可以坐多少 人？小組討論交流，把答案寫在作業(yè)紙上。（小組討論交流。） 師：小組同學(xué)來說一說你們的做法。 師：請(qǐng)你借助圖形來說一說你為什么這樣做？ 生：我們組算的是一共有404

12、人。100張桌子拼在一起，這一邊也就 是它的長邊一共有400個(gè)人，再加上兩頭有4個(gè)人，一共有404人。生：它每張桌子的兩邊坐4個(gè)人，他有100張桌子，再加上邊上就是 它的寬分別坐2人，400+4=404人。師：算式就是100,100冶的意思就是每張桌子兩邊都坐4個(gè)人，100張桌子就做400個(gè)人，旁邊還有4人，所以需要在加上4，等于404人。師：還有其他做法嗎？ 生：我們小組是這樣想的， 把第一張桌子去掉的話，每增加一張桌子 就增加4個(gè)人，8+4X99=404人。師：算式是這樣的，8先不看，多了99張桌子，每多一張桌子就多4個(gè)人，所以多了4X99這些人，然后再加上8人等于404人 師：我想問一下

13、，這是一個(gè)圖形的問題，為什么你們不去畫圖，卻用 數(shù)來算呢？生：老師我感覺畫圖太麻煩了，因?yàn)樗?00張桌子。 師：對(duì)，畫圖太麻煩了，這時(shí)候需要借助數(shù)的力量，把形的計(jì)算問題 用數(shù)來做會(huì)更加的快速、 簡便而且準(zhǔn)確。 那我們把這樣的過程叫做化 形為數(shù)，然后以數(shù)來解形。（板書） 師：同學(xué)們，回顧這兩個(gè)例子，在第一個(gè)例子當(dāng)中，數(shù)的問題可以借 助圖形來思考，而第二個(gè)例子當(dāng)中，形的知識(shí)可以借助數(shù)來計(jì)算，數(shù) 和形各有優(yōu)點(diǎn)，它們一一對(duì)應(yīng)而且可以互相轉(zhuǎn)化，互為補(bǔ)充，這就意 味著要求我們?cè)诮鉀Q問題的時(shí)候要把數(shù)和形結(jié)合起來， 這在數(shù)學(xué)上是 一種重要的思想，就叫 “數(shù)形結(jié)合思想 師：對(duì)于“數(shù)形結(jié)合 ”，我國數(shù)學(xué)家華羅庚

14、先生有一段話非常好。讓我 們一起讀一遍： 生：數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家 萬事休。 師：數(shù)形結(jié)合百般好，可是怎樣做到數(shù)與形的結(jié)合呢？我想，這既然 是一種思想，那我們還是要落腳到這兩個(gè)數(shù)上， “思”和“想”，也就是 要見 “數(shù)”思“形”，見“形”想“數(shù)”。 試試你能不能夠做到。9、鞏固練習(xí)師：有這樣一道算式（3X2），你能夠想到什么圖形？ 生：我能想到一個(gè)長方形。師：為什么？ 生：因?yàn)榭梢韵胂笏拈L是3，高是2,6就是他們的面積。 師：大家說有沒有道理？可見數(shù)的變化背后卻是隱藏著形。 師：再來看，這是一位同學(xué)畫的一副圖形，它用來表示一個(gè)數(shù)，你覺 得它是那一個(gè)數(shù)呢？生

15、：我覺得是3.5，因?yàn)榍懊嫠嫷娜粯拥木€表示3個(gè)整數(shù)，后 邊畫了前面一根線的二分之一，所以變成3.5師：有沒有道理？它可以表示35嗎？生：可以 師：為什么可以？ 生：比如說他前面三個(gè)整數(shù)可以想象一個(gè)整數(shù)為10，然后就是35.師：有這樣一個(gè)數(shù)量關(guān)系，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你 能夠想到用什么圖形來表示它？生：我想到用一個(gè)邊長為4厘米的的長方形來表示。 生：把一個(gè)長方形平均分成四份，每份是1厘米。 師：那即是說把它平均分成4份，吃了的是3份。10、 師：這樣一個(gè)圖形，你會(huì)想到是幾的平方？為什么？ 生：因?yàn)檫@個(gè)正方形邊長均為3， 師：邊長為3可以用3的平方來表示， 我們把3的平方還原成

16、像第一 張那樣幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的相加這個(gè)算式，這應(yīng)該是什么樣子的？ 生：1+3+5師：那這樣的一個(gè)算是又可以用幾的平方來表示？生：應(yīng)該是4的平方，因?yàn)榘阉惯^來后就等于1+3+5+7,所以可以 用4的平方來表示，師：那4的平方你又能想到什么圖形？ 生：可以想象出一個(gè)正方形。師：多大的正方形？ 生：邊長為4的正方形。 師：如果把上邊的算式合起來，和應(yīng)該是多少？ 師：想一想，3的平方等于幾？4的平方等于幾？9+16=25，是5的平 方 師：5的平方你又能想到什么圖形？ 生：邊長都是5厘米的正方形 師：大家看，一個(gè)有趣的算式出現(xiàn)了，3的平方加4的平方等于5的 平方，這個(gè)有趣的算式背后還隱藏著有趣的圖形，

17、大家看，直角三角 形它的一條直角邊如果是3，另一條直角邊是4，那他的斜邊就一定 是5，這是我們初中要學(xué)的一個(gè)重要的定理，叫做勾股定理。 師：大家看，數(shù)形結(jié)合的思想不但從小學(xué)階段一直在陪伴著我們， 更 重的是對(duì)于我們初中乃至以后的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義，我想，這 也正是我們?yōu)槭裁匆谶@里講這樣一節(jié)課的目的和價(jià)值所在。 下面給 大家介紹一些有意思的數(shù)。 像當(dāng)中的這些書化成圖形都是正方形，我們就把這樣的數(shù)叫做 “正方 形數(shù)”；按照這樣的叫法，這些數(shù)叫做 “三角形數(shù)”；這些可以叫 “梯形 數(shù)”這些呢？ “五邊形數(shù) ”，像這樣的數(shù)還有很多。我們現(xiàn)在再來感受 一下這些數(shù)。你覺得這些數(shù)它還只是數(shù)嗎？它有形狀嗎？這些形它還 只是形嗎？它有數(shù)嗎？數(shù)和形， 形和數(shù)能分得開嗎？所以數(shù)學(xué)上也沒 把他們分開，我們就把這樣有形狀的數(shù)叫做 “形數(shù) ”，知道形數(shù)是誰發(fā) 現(xiàn)的嗎？他叫 “畢達(dá)哥拉斯 ”，他有一個(gè)著名的理論，他認(rèn)為世界上萬 事萬物的背后都隱藏著數(shù)的規(guī)律，它還舉了一個(gè)例子，1可以用1個(gè) 點(diǎn)來表示，2用兩個(gè)點(diǎn)來表示，那它就可以練成一條線，3個(gè)點(diǎn)就可 以煉成一個(gè)平面，不同平面的4個(gè)點(diǎn)連在一起，他就是一個(gè)立體圖形。 大家想，世界上的萬事萬物背后，是不是都是以或點(diǎn)、或線、或面、 或體這樣的形