第3講充滿活力的韋達定理

1、第三講 充滿活力的書達定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的.韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值；運用韋達定理，求代數(shù)式的值；利用韋達定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；利用韋達定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等韋達定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法【例題求解】【例1】已知支、P是方程x2 x1 =0的兩個

2、實數(shù)根，則代數(shù)式 口2+ot(P2 2)的值為.思路點撥：所求代數(shù)式為a、P的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果a、b都是質(zhì)數(shù)，且a213a+m=0, b213b+m =0 ,那么B fa的值為()a bA、123 B、125或 2 C. 125 D、或 222222222思路點撥：可將兩個等式相減，得到a、b的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視a、b為方程x2 -13x+m =0的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件注：應(yīng)用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于x1、x2的對稱式，這類問題可通過變形用 x1+x2、x1x2表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧

3、：(1)恰當組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對稱式.2【例3】 已知關(guān)于x的方程：x2 (m2)xm=04(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根.(2)若這個方程的兩個實根 x1、x2滿足x2 = x1 +2,求m的值及相應(yīng)的x1、x2.思路點撥：對于(2),先判定不、x2的符號特征，并從分類討論入手.【例4】 設(shè)x1、x2是方程2x2 -4mx+2m2 +3m-2 =0的兩個實數(shù)根，當 m為何值時，x12+x22有最小值？并求出這個最小值.思路點撥：利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(刃)進行的.注：應(yīng)用韋達定理的

4、前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應(yīng)用韋達定理解題時，須滿足判別式用這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性1 c 7【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB /CD ,且AB、CD的長是關(guān)于x的萬程x2 2mx+(m)2+=02 4的兩個根.(1)當m=2和m2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形？并說明理由.(2)若M、N分別是 AD、BC的中點，線段MN分別交 AC、BD于點P, Q, PQ= 1,且ABCD，求AB、 CD的長.思路點撥：對于(2)，易建立含AC、 BD 及 m 的關(guān)系式，要求出m 值，還需運用與中點相關(guān)知識找尋CD 、 AB 的另一隱含關(guān)系

5、式.形 ”向注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“數(shù) ”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負性2充滿活力的韋達定理學(xué)歷訓(xùn)練1、已知x1和x2為一元二次方程 2x2 2x+3m1 =0的兩個實根，并應(yīng)和*2滿足不等式 竺2一1 , X1 x2 - 4則實數(shù)m取值范圍是.(2)已知關(guān)于 x的一元二次方程8x2+(m+1)x+m 一7 =0有兩個負數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是.2、已知a、P是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式a3+u2pWB2+P2的值為.3、CD是RtA ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程x2 6x+4 =0的

6、兩根，則4ABC的面積是.4、設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程x2 +px+q =0的兩根，x1+1、x2 + 1是關(guān)于x的方程x2+qx+p =0的兩根， 則 p、q 的值分別等于() A. 1, -3 B. 1, 3 C. -1, -3 D . -1 , 35、在 RtA ABC 中，/ C=90, a、b、c 分別是/ A、/B、/ C 的對邊，a、b 是關(guān)于 x的方程x2 7x+c+7=0的兩根，那么 AB邊上的中線長是()A. 3 B. 5 C. 5 D. 2 226、方程x2 +px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根 xi、x2,則 p的值是()(x1 1)(x2 1)A. 1 B. -l

7、C. -1D. 1227、若關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式：Xi(Xi +1)+x2(X2 +1)=(Xi +1)(x2 +1),判斷2(a +b) BC)的長是關(guān)于x的方程的兩個根(1)求rn的值；(2)若E是AB上的一點，CFXDE于F,求BE為何值時，4CEF的面積是4CED的面積的1 ,請說3明理由.16、設(shè)m是不小于-1的實數(shù)，使得關(guān)于x的方程工x2 +2(m-2)x+m2-3m+3 =0有兩個不相等的實數(shù)根C(第17題)x1 x2.22 若x12 +x22 =6,求m的值.（2）求 mJ+UM 的最大值.1 x11 f217、如圖，已知在 4ABC 中，/ ACB=90

8、 ,過 C 作 CD LAB 于 D,且 AD = m, BD=n , AC2： BC2=2:一 一 、一 12_21;又關(guān)于x的方程-x -2(n -1)x+m -12 =0兩實數(shù)根的差的平方小于192,求整數(shù)m、n的值.418、設(shè)a、b、c為三個不同的實數(shù)，使得方程和x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一個相同的實數(shù)根，并且使方程x2+x+a =0和x2+cx+b =0也有一個相同的實數(shù)根，試求a+b+c的值.參考答案HI充滿活力的韋達定理【例題求解】例 l 0 摩式二江 + 1-3一24-1-*9=1一1二0例2 選B 當&=占時，厚式=2,當門工乩;3、&為方程工*-13工+盟=。

9、的兩個根，。4&=13+*占只能為2成11.原式*?*2 _ 125 n22例3 tl）d式刖-1產(chǎn)+。（2）為6一一9/0，則不即網(wǎng)?0,或力。，為0.若 4 0閉多0,則 r? - - Xj +2.，_t +j工=2y Am-2= 2.得 m = 4,x= 士而：若 h1。0.工?0.則一工士 =xi +2t Axi +xr = - 2.二，舞一2 = 2.得 njOr Ji Ctxi = -2.2例 4 由=( - 4wi)i-4X2X(2m3 + 3m-2)0, m工告2m1 + 3m-2,w二Xi2=(jTr +xt)z 2j| jz 2(-7m)2 +4,40當E=4時/十丁1取得

10、最小值，且最小值為泉 3M例5 當時必=。gCD.故四邊形八捌70是平行四邊形.當2時,d =相-20,又AE+CU = 2eAB*匚口一所一十好十 .二港叱匚口而力日外以故四邊形ARCH是梯形. PQ=yDC-1-ABl,.DC-AB = 27 ( DC-ABY = (D(：+AB)1 -4DC * AH ，印二(2加/一4(m* 一切 + 2),制得加=3 .從而 AH=2,CD=4.【學(xué)力訓(xùn)練】1. ( 1) (2)m7 sj6. C Ji xj = 1997 tXi =1 tJi 1997t= (jti +j-2 )= -1998.7.由條件得（力+色尸一3上|立一】=0 A（u+6）

11、s=4a6+1又=90 +匕尸-4 X 3乂 4&6。0二（u+b）2即4“右十竽白方*.4必石3從而4社+10知為血同號，分4050及上口在工0情況討論，得人也 J U丸 3。,210.5 設(shè),4 = /+3田8=用! 3% 由 4+*=10 及 4一出=0,得 A=5.II.wa 18 設(shè)另兩邊為兒j即由lrl = V(tr r-c)1 4frt；5及自營口，解得B p+q = 99 ,由兇為 2.97,wt = pg=jm*. 13* C4 -4惘)0gIti解得*2I心。C 設(shè)三根為1,工一則11廠410?7 m I,結(jié)合題設(shè)知：-lqmL(1)if + 元=Qi +為尸25工* =2m1 1。桁 + 10=6.解得5 VTy 由于一1用1,故 m 18.設(shè)工；十日箱 4-1 =o,j? +百丁.十二一0,降 J, =一同理+由 +jz +&=o*冠 +5 +占=0,得 j-2-故-tz =.。，把代人得工乂 Ji +.r2 =S(?ii 1) fJTi jtz =4(m2