四邊形知識(shí)點(diǎn)和題型歸納

1、四邊形知識(shí)與題型總結(jié)一.本章知識(shí)要求和結(jié)構(gòu)1 .掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形用璃形的概念，了解它們之間的內(nèi)在關(guān)系.(1)演變關(guān)系圖:(2)從屬關(guān)系(依據(jù)演變關(guān)系圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關(guān)系圖中，其中每一個(gè)圓代表 一種圖形)1T2 .探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法，并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算名稱(chēng)平行四邊形矩形正方形定義的四邊形是平行四邊形的平行四邊形是矩形的平行四邊形是菱形的平行四邊形是正方形邊對(duì)角:線對(duì)稱(chēng)性判邊角對(duì)角線止UR后33.(1)平行四邊形的面積等于它的底和該底上的

2、高的積 .如圖 1, Sabcd =bc- ae=cd bfA7 DADE FbB CF圖1圖2正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等(正方形中可得：四大四小等腰直角三(2)同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.如圖2,S|_ ABCD - S|_ BCFE4 .三角形中位線定理定義：叫做三角形中位線(與中線的區(qū)分)；定理：作用：可以證明兩條直線平行；線段的相等或倍分.拓展：三角形共有三條中位線，并且它們將原三角形分割成四個(gè) 的小三角形，其面積和周長(zhǎng)分別為原三角形面積和周長(zhǎng)的 和(4)直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線 5 .正方形：(1)對(duì)角線：若正方

3、形的邊長(zhǎng)為 a,則對(duì)角線的長(zhǎng)為 2a ；(3)面積：正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方；等于兩條對(duì)角線的乘積的 一半.周長(zhǎng)相等的四邊形中，正方形的面積最大.6 .梯形的中位線(1)定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線(2)梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半.(3)梯形白面積SJ X (上底+下底)乂高=中位線高27 .幾種特殊四邊形的對(duì)角線r-76060 sx矩形對(duì)角線交角為60 (120)時(shí),可得：等邊三角形和含30 角直角三角形圖) 菱形有一個(gè)角為60 時(shí)，可得：含30 角的四個(gè)全等直角三角形角形(圖)對(duì)角線互相垂直的梯形梯形(圖)對(duì)角線互相垂直的等腰可得：等腰直

4、角三角形平移腰可得：雙垂圖(圖)(圖)8.中點(diǎn)四邊形：(頂點(diǎn)為各邊的中點(diǎn)，需討論對(duì)角線 &中位線)(1)順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 (2)順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形是(4)順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 二.典型題型歸納(一)概念題1. OABCD中，ZA的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，貝UQ ABCD的周長(zhǎng)為.2. 在OABCD 中，Z C=6G0,DE± AB于DE，

5、DF，BCT F.(1)則 NEDF=;/(2)如圖，若 AE=4 CF=7 A E B貝Q ABCD周長(zhǎng)二 ； 若AE=3 CF=7請(qǐng)作出對(duì)應(yīng)圖形，并求。ABCD周長(zhǎng).(3)順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是C.等腰梯形的兩條對(duì)角線相等3. (1)在平行四邊形 ABC前，若/ C=Z B+/ D,貝A= A=.(2)已知在 OABCD, / A比/ B小200,貝U/C的度數(shù)是(3)在OABCD 中，周長(zhǎng)為 100cm, AB-BC=20cm 貝U AB= ,BC= .(4)在OABCD 中，周長(zhǎng)為 30cm <ABk BC=3 2,貝U AB= cm.(5) (2

6、007河北省)如圖，若口ABClDKX EBC慶于BC所在直線對(duì)稱(chēng)，cZABE= 90° ,則/F =° .4. （2007福建福州）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A.矩形的對(duì)角線互相平分且相等B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D.等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等5. （2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（）A. 一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形6. （2007甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）A.平行四邊形B .菱形 C .矩形 D .正方形

7、7. （2007四川眉山）下列命題中的假命題是（）A . 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B . 一組鄰邊相等的矩形是正方形C . 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊啄D. 一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊耍8. （2007四川成都）下列命題中，真命題是（、/）CA.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形B.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形9. （2007浙江嘉興）如圖，在菱形 ABC沖，不一定成立的（A. QABCD B . ACL BD C.等邊 ABD D. Z CAB= /CAD（二）圖形的性質(zhì)和判定方法10

8、. 如圖，已知四邊形 ABC虛正方形，分別過(guò) A C兩點(diǎn)作匕/工 作BML J'于M DNL %于N,直線MB ND分別交匕、£ 2于Q P,試判斷四邊形PQMN）形狀.12.如圖，在矩形ABCM, E是CM上一點(diǎn),AE=AB AB=2AD 求 / EBC勺度數(shù)11. 如圖，在正方形 ABC前，E、F、G H分別為正方形邊上的點(diǎn)，而且AE=BF=CG=DH證：四邊形 EFGH正方形.和平行四邊形問(wèn)題.如圖所示:(三)轉(zhuǎn)化的思想一一將梯形問(wèn)題通過(guò)化歸、分割、拼接轉(zhuǎn)化成三角形F公區(qū)O ：)；=形上底長(zhǎng)為3cm,腰長(zhǎng)為4cm,其中銳角等于60o ,則下底長(zhǎng)是 .(2)等腰梯形一個(gè)底

9、角是60o ,它的上、下底分別是8和18,則這梯 形的腰長(zhǎng)是,高是,面積是.(3)在直角梯形中，垂直于底的腰長(zhǎng) 5cm,上底長(zhǎng)3cm,另一腰與下底 的夾角為30o ,則另一腰長(zhǎng)為 ,下底長(zhǎng)為 .(4)等腰梯形兩對(duì)角線互相垂直，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,則高為, 面積為.(5)已知在梯形 ABC前，AD/BC,若兩底AD BC的長(zhǎng)分別為2、8, 兩條對(duì)角線BD=6 AC=8則梯形的面積為 .(四)推理論證的進(jìn)一步鞏固14. (2007恩施自治州)如圖，平行四邊形 ABCD勺對(duì)角線AG BD相交 于點(diǎn)O,E、F是直線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF求證：四邊形BFDE 是平行四邊形.四邊形AEC度平行四邊形.

10、15.如圖，在平行四邊形ABCB, E、F分別是直線AB CD勺中點(diǎn)，AF、 DE相交于點(diǎn)G, CE BF交于點(diǎn)H.求證：四邊形GEH度平行四邊 形.ADGBCE17.求證：正方形的兩條對(duì)角線將之分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.16.平行四邊形ABCM,點(diǎn)E F分別在BG AD上，且AF=CE，求證: A F_18.已知點(diǎn)E、F在正方形ABCD勺邊BG CD上，19. （2007浙江金華）國(guó)家級(jí)歷史文化名城一-e金華，風(fēng)光秀麗，花木（1）若 BE=CF 如圖 13（1）.求證：AE=BF且 AE! BF;蔥蘢.某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫BC / G

11、H / AD ,那么下列說(shuō)法中6種顏色的花.如果有 AB / EF / DC ,錯(cuò)誤的是（）A.紅花、綠花種植面積一定相等B.紫花、橙花種植面積一定相等（2）若E、F分別是BC EF的中點(diǎn)，如圖13（2）,求證：GD=ADC.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等20 . （06鹽城）已知QABCD的面積為4,對(duì)角線交于O,貝 U S»AAOB= .21 .若A,B,C三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（）A.1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D .4個(gè)22 .平行四邊形一邊長(zhǎng)為10, 一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,則它的另一條對(duì)角線a的取值范圍是（）A.4<a<

12、16 B.4< a<26C. 12<a<20D.8<a<3223.平行四邊形中一邊長(zhǎng)為10cm,那么兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可以是( )A. 4cm和 6cm B . 6cm和 8cmC. 8cm和 12cm D . 20cm和 30cm24 . （07北京市23）如圖，已知 AABC. 請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D, E （ BC的中點(diǎn)除外），連結(jié)AD, AE , 寫(xiě)出使此圖中只存在兩對(duì) 面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；25 .如圖已知AABC,過(guò)頂點(diǎn)A作/B、/C的序分線的垂線，ADL BD于D, AE CE于E.求證:F（2）請(qǐng)你根據(jù)使（1

13、）成立的相應(yīng)條件，證明AB十ACaAD+AE.27 . (1)如圖27(1),正方形ABCD E、?分另,為B% CDi上一點(diǎn).26.如圖，已知 BD CE是/ABC勺兩條高EM N分別是BC DE的中點(diǎn)./jD求證：(1) EM=DM(2) MNL DE BMC若NAEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持/EAF=4B A問(wèn)NCEF的周長(zhǎng)是否隨/ AEF位置的變化而變代(2)如圖27(2),已知正方形ABCD勺邊長(zhǎng)BG CD上各有一點(diǎn)E、F,如果/ CEF的周求/ EAF的度數(shù).2.CE圖 27 (2)若/ EAF=40.求證：EF=BE+DF / (五)知識(shí)的聯(lián)系與綜合28 .已知OABCD 的頂點(diǎn) A B

14、 C 的坐標(biāo)為(-2,3),(-5,-4),(1,-4),則D點(diǎn)坐標(biāo)為29 .如圖，已知Q ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于平面直角坐標(biāo)系的 原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()圖 27(3)A、(-3 2)B 、(-2,-3) C 、(3,-2) D 、(2,-3).|)第30題圖(3)如圖27(3),已知正方形 ABCD FE為CM上一點(diǎn)，且滿足/ BAF之FAE求證：AE=BC+CE題圖第32那么。ABCD勺周長(zhǎng)是兩次反射后的光線O'B平行于a,則角0等于35.如圖，在矩形ABCDK 過(guò)BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線 MN31.已知矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為13,周長(zhǎng)為

15、34,則這個(gè)矩形的面積為 和PQ那么圖中矩形AMKP勺面積Si與矩形QCNK勺面積&的大小關(guān)系30.如圖，兩平面鏡a、P的夾角為日，入射光線AO平行于P入射到a ,是 S S 2 （填“>”、"=”或“<”）32. （05,濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形OABC& OB對(duì)折，使點(diǎn)A落在Ai處，已知OA=3 ,AB=1,則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)是（）A.（4，3）2 2B.（今3）C （消）（六）面積的問(wèn)題：各種四邊形面積的求法和等積變換33.如圖，E為。ABCD邊CD上一點(diǎn)，QABCD的面積為 S,貝UzABE的面積為（）A、S B36 .如圖，在。ABCD中

16、，點(diǎn)P在BC上，PQZBD交CDW Q 則圖中和 ABP面積相等的三角形有 個(gè)，它們分別是:.37 .如圖，E是平行四邊形ABCD勺邊AB延上線上一點(diǎn)，34.如圖，在。ABCDKADL BD / A=1 / ABC 如果 AD=22DE交 BC于 F.求證：S abf = S efc b ,-FcA AD第37題圖（七）運(yùn)動(dòng)變換的思想在本章中的應(yīng)用.39 .（希望杯第9屆初二第二試）已知OABCD勺周長(zhǎng)為52,自頂點(diǎn)D作DEI AB, DF± BQ E、F 為垂足,若 DE=5 DF=8 求 BE+BF勺值.38.如圖，點(diǎn)E、F分另U在。ABCD的邊DC CB上, 且 AE=AF D

17、GL AF, BHL AE, G H 是垂足.求證：DG=BH40 .在矩形ABC師，AB=3,AD=4,P是ADi上的動(dòng)點(diǎn)，PnAC于E, PF41 . (1)如圖41(1)，已知/ABD/ BCE/ACF是等邊三角形,求證：四邊形ADE呢平行四邊形.如圖41(3),已知/ABC,以AB AC為邊分別作等邊三角形/ ABD/EACF再以AD AF為鄰邊作平行四邊形 DrJ:穴t ADEF求證：三角 形BC唬等邊三角形.'f圖 41 (3)(3)如圖41(4),已知/ABD/ BC虛等邊三角形，A,F是CE EB上一點(diǎn)，且CA=EB求證：四邊形ADF磊平行四邊形.42、(2007浙江臺(tái)

18、州)把正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到 正方形AEFG,邊FG與BC交于點(diǎn)H (如圖).試問(wèn)線段HG與線段HB 相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想.43、如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)吊后得到正方形AEFG ,邊EF 與CD交于點(diǎn)O .(1)以圖中已標(biāo)字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段 (正方形的對(duì)角線除外)， 要求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說(shuō)明這兩條線段互相垂直的44.四邊形ABCD DEFGfB是正方形，連接 AE CGG理由;(1)求證：AE=CG(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2cm,重疊部分(四邊形44題圖 觀察圖形，猜想AE與CG之間的日賀關(guān)系第CAEOD)的面積為

19、速cm2 ,求旋轉(zhuǎn)的角度n3并證明你的猜想.第43題圖第45題圖45. (2007 淄博)已知：如圖，在 ABB, AB=AC ADL BC垂足為點(diǎn)D, ANAABa卜角/CAM勺平分線，CH AN垂足為點(diǎn)E,(1)求證：四邊形ADC的矩形；(2)當(dāng)ABO足什么條件時(shí)，四邊形 bADC段一個(gè)正方形？并給出證明.46. (05,青島)如圖，在等腰梯形 ABC師，AD/ BC M N分別為ADBC的中點(diǎn)，E、F分別是BM CM勺中點(diǎn).求證： AB陣DCM;四邊形MEN匿什么圖形？請(qǐng)證明你的結(jié)論；若四邊形MEN層正方形，則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由.A,. M . d第47題圖1第

20、47題圖247. (2007四川資陽(yáng))如圖47(1),已知P為正方形ABCD勺對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PE! BC于點(diǎn)E, PH CDT點(diǎn)F.(1)求證：BeDP如圖47(2),若四邊形PEC嘮點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程 中是否總有BF=DP若是，請(qǐng)證明之；若不是，請(qǐng)舉出反例；(3)試選取正方形ABCD兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF勺兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明之 .(八)函數(shù)的思想在本章中的運(yùn)用48、(2007南充改編)等腰梯形 ABC沖，AB= 15, AD= 20, / C= 30o. M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn) A、點(diǎn)D開(kāi)始在AB AD(包括

21、端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng).(1)設(shè)ND為x,用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫(xiě)出x的取值范圍.(2)設(shè)t=10-x,用t表示 AMN勺面積.(3)求AAMN勺面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)/ AMN勺形狀.D與x之間是否仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系，若滿足，請(qǐng)證明之;若不滿足，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.49 . (2006泰州)將一矩形紙片OAB微在直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，C在 x 軸上，OA=6 OC=10.(1)如圖1,在OA上取一點(diǎn)E,將 EOg EC折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2,在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E'、F,將£' OF沿E F折

22、疊，使O點(diǎn)落在A B '邊上的D'點(diǎn)，過(guò)D'作D'G/A ' O交E' F 于T點(diǎn)，交OC '于G點(diǎn)，求證：TG=A ' E'.(3)在(2)的條件下，設(shè)T(x, y),探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.并指出變量x的取值范圍.(4)如圖3,如果將矩形OABC為平行四邊形OA B"。，使 00 =10,0C邊上的高等于6,其他條件均不變，探求：這時(shí)T (x, V)的坐標(biāo)y50 . （08 通州 22 改編）如圖，在 OABCD 中，AB=8 cm1 AD=6 cm /DAB=60，點(diǎn) M是邊AD上一點(diǎn)，且 DM=2

23、crm點(diǎn)E、F分別是邊 AB BC上的點(diǎn)，EM CD勺延長(zhǎng)線交于 G, GF交AD于O,設(shè)AE=CF=x試用含x的代數(shù)式表示 CGF勺面積；當(dāng)GFLAD時(shí)，求AE的值.（九）翻折問(wèn)題（特殊四邊形的折疊問(wèn)題）51 .沿特殊四邊形的對(duì)角線折疊（06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片 ABCD AB=2, /ADB=30 ,沿對(duì)角線BD折疊（使 AB麗zEB騎在同一平面內(nèi)），則A E兩點(diǎn)間的距離為第51題圖第52題圖52 .沿特殊四邊形的對(duì)稱(chēng)軸折疊如圖，已知矩形 ABCD勺邊AB=2 A*BQ矩形ABCD勺面積為S,沿矩形的對(duì)稱(chēng)軸折疊一次得到一個(gè)新的矩形，則這個(gè)新矩形對(duì)角線長(zhǎng)為53 .使特殊四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)

24、重合折疊（05,山東威海）如圖，梯形紙片ABCD /B=60° , AD/ BC AB=AD=2BC=6將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為AE則CE=.54 .使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊如圖，折疊矩形的一邊 CD使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)F處，已知AB=10cmBC=8cm貝U EC的長(zhǎng)為.55 .使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊（崇文）如圖，在梯形 ABCM, DCZAB,將梯形對(duì)折，使點(diǎn) D C分別落在AB上的D、C處，折痕為EF,若CD=3cm EF=4cm則AD +BC =cm.56 .使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱(chēng)軸上而折疊（1）如圖，已知EF為正方形ABCD勺對(duì)稱(chēng)

25、軸，將/A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)處，則/ DKG=.第53題圖第54題圖第56題圖第57題第55題圖57.使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱(chēng)軸上而折疊（2）則/ CBD勺度數(shù)為（如圖，有一塊面積為1的正方形ABCD M N分別為AD BC邊的中點(diǎn),A.大于90° B. 等于90° C.小于90° D.不能確定將C點(diǎn)折至MN±,落在點(diǎn)P的位置，折痕為BQ連結(jié)PQ.59.三次不同方式的折疊（1）求MP勺長(zhǎng)度；求證：以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于（03,山西）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下第一步：先把矩形ABCD寸折，折痕為MN如

26、圖； 第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕MN±,折痕為AE點(diǎn)B在MN±的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',得RtAAB E,如圖;第三步：沿EB'線折疊得折痕EF,如圖.利用展開(kāi)圖探究：4AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論；MA 對(duì)于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形 ？并證明之.58.兩次不同方式的折疊（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊,BG BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上，61. （05棗莊,9分）如圖1,四邊形ABC匿等腰梯形,AB/ DC,由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形.(1)求出梯形ABCD9個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；(2)(3)試探究梯形ABCD3條邊之間存在的等量關(guān)系，并證