高中數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法

1、大風(fēng)起分云飛揚生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內(nèi)部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和 空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。泰戈爾導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1. f(xrx3-3x2在區(qū)間I-1,11上的最大值是222 .已知函數(shù)y =f(x) =x(x_c)在x=2處有極大值，則常數(shù) c= 6;33 .函數(shù)y T S-x有極小值1 ,極大值 3題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切

2、線方程1 .曲線y = 4x _ X3在點-1, _3處的切線方程是y = X _ 23x_y =0，則p點的坐標(biāo)為 (1, 0)2 若曲線f(x) MX4 _x在p點處的切線平行于直線43若曲線y =x的一條切線|與直線x 4y -8 =0垂直，則|的方程為4x- y-3 = 04 .求下列直線的方程:(2)曲線y =x2過點p,5)的切線;(1)曲線y =x3 x2 1在P(-1,1)處的切線;解.(1)叮點P(7,1)在曲線 y=x3+x2十 1 上，二y/=3x2+2x二 k=y，|x =32=1所以切線方程為y 一1 =x 1，即x -y暇=0y/ 二 2x所以有2(2)顯然點P(3

3、,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點為 Ado,%)，則yo =xo又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為所以過A(X0,y0)點的切線的斜率為k *1=2勺,又切線過A(X0,y0)、P(3,5)點,2X0 =注X。3，由聯(lián)立方程組得,X0 二1 或 0，即 3x2 -bx b - 0.bX 一 _1時，f (x)min = f (1) =3 -b b 0, b - 6 當(dāng) 6；大風(fēng)起今云飛揚bx 二一一 -2時,f (x)min 二 f (-2) =12 2b b _0,. b 當(dāng)6;2-2 _6 _1 時，f (x)min = 12b b - 0,則 0 _b _6. 當(dāng)b12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是322 .已

4、知三次函數(shù)f(x)二xax bx c在x=1和x -1時取極值，且f(-2)=-4.(1) 求函數(shù)y = f(x)的表達(dá)式； 求函數(shù)y =f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 若函數(shù)g(x) = f(x-m) 4m(m 0)在區(qū)間m-3, n上的值域為-4,16，試求m、n應(yīng)滿足 的條件.2解： f (x) =3x2ax b ,由題意得，1, _1是3x22axb=0的兩個根，解得，a=0, b = -3 .3再由 f ( 2) - 4 可得 c - _2f (x)二x -3x -2 .(2) f (x) =3x2 -3 =3(x 1)(x -1)當(dāng) xc_1 時，f(x)0 ；當(dāng) x=_1 時，f(

5、x)=0 ；當(dāng)1 ex c1 時，f(x)c0 ；當(dāng) x=1 時，f(x)=0 ；當(dāng)x 1時，f (x)0 .函數(shù)f(x)在區(qū)間(：，-1上是增函數(shù)；在區(qū)間-hl上是減函數(shù)；在區(qū)間1, 上是增函數(shù).函數(shù)f(x)的極大值是f(j)=，極小值是f(1)=Y .(3) 函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 m個單位，向上平移 4m個單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間3，n 一呵上的值域為Y-4m，16-4m( m 0 ).而 f ( ) =一20Y 4m = -20，即 m =4 .于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間一3,門一 4上的值域為-20,0.令f(x) =0得x =-1或x =2 .由f(

6、x)的單調(diào)性知，T剟n-4 2，即3剟n 6綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是： m=4，且3剟n 6 .3設(shè)函數(shù) f(x) =x(xa)(xb).(1若f(x)的圖象與直線5x - y -8 = 0相切，切點橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x = 1處取極值，求實數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)b=1時，試證明：不論 a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.2解：(i) f (x) =3x2(a b)x ab.由題意f (2) =5, f二0，代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)當(dāng) b=1 時，令f(x)=0得方程 3x2 2(a+1)x + a = 0.因厶=4(a _a 1)0,故方程有兩個不同實

7、根x-X2 I I不妨設(shè)x1 ：x2，由f(X)=3(X - x1)(X - x2)可判斷f (x)的符號如下：當(dāng) X :：捲時，f (x) 0 .當(dāng) 為：:：x : X2時，f (x) V0.當(dāng) x - X2時，f(X)0因此X1是極大值點，x2是極小值點.，當(dāng)b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的 極值點。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象fD ）大風(fēng)起今云飛揚大風(fēng)起今云飛揚y =丄x3 4x +1的圖像為2 .函數(shù) 3（ A ）大風(fēng)起今云飛揚大風(fēng)起今云飛揚y-4-22(B )xo-2-43 方程2x3 _6x2 +7 =0在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情

8、況，求參數(shù)取值范圍1322f(x) x 2ax -3a x b,0 ： a 1.1 設(shè)函數(shù)3(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值(2)若當(dāng)x a 1, a 2時，恒有丨f (x)a，試確定a的取值范圍2 2解：(1) f(x)=-x +4ax -3a =-(x-3a)(x-a)令 f(x)=0得 x a, x 3a列表如下：x(-a) a(a，3a)3a(3a，+7f (x)- 0+0-f(x)匸極小極大 f(x)在(a，3a) 上單調(diào)遞增，在(-m，玄)和(3a，+8)上單調(diào)遞減X =a 時，f極小(x) =b a33x = 3a 時，f極小(x)二 b(2) f (x) - -x2 4ax

9、 -3a2 . 0 ： a : 1，對稱軸x = 2a ： a 1， f (x)在a+1 , a+2上單調(diào)遞減 fMax = (a +1)2 +4a(a +1) 3a2 =2a T 幕山=(a 十2)2 +4a(a 十2) 3a2 = 4a 4依題丨 f(X) - a U | fMax | - a ,1 fmin |-a 即 |2_1Ha,|4_4Ha4 a _ 1 a的取值范圍是解得 5，又 0 ： a ： 122 .已知函數(shù)f (x) = x3 + ax2 + bx+ c在x= 3與x= 1時都取得極值(1 )求a、b的值與函 數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對xw 1 , 2，不等式f (

10、x) c2恒成立，求c的取值范圍。解：(1) f (x) = x3 + ax2 + bx+ c, f (x)= 3x2 + 2ax + b2 1241a+ b = 0由 f (3 ) = 93, f (1) = 3+ 2a+ b = 0 得 a =2 , b = 2f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表：x2(oO, 3 )232(3 , 1)1(1 ,+ 0)f (x)1+0一0+f (x)極大值極小值2 2所以函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間是(一：，一3)與(1 ,+：),遞減區(qū)間是(一 3 , 1)1 2 22(2) f (x)= x3 2

11、 x2 2x + c, 一 1, 2，當(dāng) x= 3 時，f (x) = 27 + c為極大值，而f (2)= 2+ c,貝U f ( 2)= 2 + c為最大值。要使 f (x) f (2) = 2 + c,解得 x 1 或 c2題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1 V3 / 1.已知平面向量a=( 3 , 1). b=( 2,2 ).IIIIIlli (1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x = a+(t2 3) b , y =-k a +t b , x丄y ,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t); 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t) k=0的解的情況.11解: (1) x 丄 y , x y =0

12、即a +(t2-3)b (-k a +t b )=02 2整理后得-k a +t-k(t2-3) a b + (t2-3) b =0=12 b4=2 a1上式化為-4k+t(t2-3)=0 ，即 k=4t(t2-3)11討論方程4 t(t2-3)-k=o的解的情況，可以看作曲線f(t)=4 t(t2-3)與直線y=k的交點個數(shù)33于是 f (t)=4 (t2-1)=4(t+1)(t-1).令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時，f、f(t)的變化情況如下表：t(-m, -1)-1(-1,1)1(1,+ m)f (t)+o-o+F(t)/極大值極小值/1 當(dāng)t= 1時，f(t

13、)有極大值，f(t)極大值=2 .1當(dāng)t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=21函數(shù)f(t)= 4 t(t2-3)的圖象如圖13 2 1所示,可觀察出：1 丄(1)當(dāng)k 2或kv 2時，方程f(t) k=0有且只有一解;1 1當(dāng)k= 2或k= 2時，方程f(t) k=0有兩解；1 1 當(dāng)一2 v kv 2時，方程f(t) k=0有三解.題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合31設(shè)a O函數(shù)f(x)=x -ax在1/:)上是單調(diào)函數(shù).(1) 求實數(shù)a的取值范圍；(2) 設(shè) Xo 1, f (x) 1,且 f (f (Xo) = Xo，求證：f (Xo) = Xo .解: (1) y=f(x)=3x -

14、比若f(x)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，貝y須y :：o,即a3x,這 樣的實數(shù)a不存在.故f (x)在町上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)在 r上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a 3x?,由于1，故3x2 一3.從而oaw 3.(2)方法1、可知f(X)在1 上只能為單調(diào)增函數(shù)若1 3,又0caE3 二 x：+ xu +u2 +1 a023f (x) =(x +；)(x+a)2 已知a為實數(shù)，函數(shù)2(1) 若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求 a的取值范圍(2) 若fO , (i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(n)證明對任意的人、X2(J0)，不等式lf(X1) f(X2)l詩恒成立f(xx3ax2-X3

15、a . f (x)二3x22ax 3解:22, 2；函數(shù)f(x)的圖象有與X軸平行的切線， f(x)=o有實數(shù)解23.: =4a-4 30 a22，所以a的取值范圍是22丄33 -2a0,f(1)=0 3 2a 2 0,厶a=9f(x)=3x24 ,9x - -3(x -)(x 1)2 2 21X A 由 f(x) Ox，1 或 x 2 ； 由1f (x) ： 0, T :： x :21f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(2，單調(diào)減區(qū)間為1(丫)25易知f(x)的最大值為f(_1)=1f (_)8 , f(x)的極小值為24916,27JUMf (x)在1,0上的最大值2749m 8，最小值1

16、6-對任意Xl，x2 (-1,0)，恒有| f (xj - f (x2) I： M -m49_58 16 一 16題型八：導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用1 .請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點 0到底面中心01的距離為多少時，帳篷的體積最大?32 -(x-1)2*8 + 2-,(單位:m 33.36 T ( 8 2x-x2)2 = T(8 2x-x2)5帳篷的體積為：332 1V33V (x)=1 (8 2x -x2) (x -1) 1(16 12x-x)3232(單位：m)故底面正六邊形的面積為:(單位:2m )解軍：設(shè)

17、 001 為 x m ，貝y 1 ： x ： 4 由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：大風(fēng)起今云飛揚大風(fēng)起今云飛揚2 統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y (升)關(guān)于行駛速度x (千米/ 3V(x)(12 -3x )求導(dǎo)得令V(x)二0，解得x=-2 (不合題意，舍去)，x = 2 ,當(dāng) 1：x：；2 時，V(x) 0 , V (x)為增函數(shù)；當(dāng) 2 x : 4時，V(x) ： 0 , V (x)為減函數(shù)。.當(dāng)x = 2時，V (x)最大。答：當(dāng)OO1為2 m時，帳篷的體積最大，最大體積為163 m3。(II )當(dāng)速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了依題意得h(x)=(112

18、8000?x 8)型80x112802800xh(x)二x6408002_xx3 -803640 x2(0 ： x20).大風(fēng)起今云飛揚133y =x3 x + 8(0 v x 蘭120).小時)的函數(shù)解析式可以表示為：12800080解:100 =2.5(I )當(dāng)x =40時，汽車從甲地到乙地行駛了40小時，13(40340 8) 2.5=17.5要耗沒 12800080(升)。已知甲、乙兩地相距 100千米。(I )當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ (II )當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？100x小時，設(shè)耗油量為h(x)升,令 h (x) = 0,得 x = 80.當(dāng) X (，80)時，h(x) 2h(x)是減函數(shù)；當(dāng) x (80,120)時，h(x)0,h(x)是增函數(shù)。當(dāng)x =80時，h(x)取到極小值h(80)- X.25.因