行列式的計算方法與技巧

1、行列式的計算方法與技巧學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師：【摘要】在高等代數(shù)中后列式的求解是非常重要的，直接計算行列式往往是困難和繁瑣的，特別當(dāng)行列式的元素是字母時更加明顯，因此熟練的掌握行列式的計算技巧是非常有用的，不同的行列式有不同的計算方法，本文根據(jù)行列式的特點，通過例題的形式列舉了行列式的幾種計算方法:三角形法、遞推法、拆行（或列）法、加邊法、數(shù)學(xué)歸納法。并指明了這些方法的使用條件。同時指出求行列式時需要分析行列式的特點選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ员愫喕嬎?。關(guān)鍵字：行列式計算方法技巧ThecalculatingmethodsofdeterminantandskilStudentname:Guidancetea

2、cher:Abstract:determinantcomputationalmethodskillsInAdvancedAlgebra,thesolutionstodeterminantareveryimportant.Directlyworkingoutthethedeterminantisusuallydifficultandfinicky,especiallywhentheelementsofdeterminantaregraphemes.Soskilfullymasteringthecomputationaltechniquesindeterminantisfairlyuseful.D

3、ifferentdeterminantshavedifferentconputationalmethods.Accordingtodifferentdeterminantalcharacteristics,thispaperhaslistedseveralcomputationalmethodsbyuseingexamples,suchastriangularmethodrecurrencemethodopenlinemethodorcolumnlinemethod、addadgemethodandmathematicalinductionmethodandclearlyfiguredoutt

4、heiruseingrequirements.Meanwhile,ithasfiguredoutthatthepropermethodshouldmeettheanalysedcharacheristicsofdeterminantswhenfindingtheirsolutions,soastosimplifythecomputation.一定義法a11a12D=a21a22an1an2a1na2n(jjjn)1)ajanjann)ai1j1aijn=、:(_1)(i1in)(j；ji1in按定義計算行列式是最原始的，最基本的方法，理論上，按定義可以計算一切行列式但是由于計算量大，我們一般用

5、在4階或4階以下的行列式的計算中，但是在多階行列式中零比較多的情況下也可以用列1計算行列式121371852D=58213024的結(jié)果解18510-240-613-2-19_3-14-1512130-2-37404-2-190一6-1一510002-2001-3-883-14-473710002-2001-3-803-14-47-10化三角法化三角法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切蔚男辛惺接嬎愕囊环N方法是計算行列式的基本方法之一，因為利用行列式定義已求的上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算，原則上每個行列式都能利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式，但是由

6、于高階行列式計算比較繁，因此在很多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。列2求n階行列式a1xxxxa?xxxxa3x-»-xxxan的值a1xxxa2xxxa3,xxxaixxxa2xxxa3-.W-xxxanan-x00x0a2-x0x00a3-xx.W-.-anx-anxananai1000x(ai-x)3-x)2-x)=(a1-x)(a2-x)(an-x)(am-x)n-4i-x)n-x)1x=(a1-x)(a2-x)(an-x)(xX-X(ai-x)(a2-x)(ani-x)n-X）注意能夠利用化為三角形法則進(jìn)行計算的行列式的共同特征是

7、每行（列）有盡可能多的相同的元素.我們利用行列式的性質(zhì)把某行（列）的倍數(shù)加到其它行（列）,出現(xiàn)更多的零，進(jìn)而化為三角形.11a1a2.22Dn=aia2nAn1aia2an2ann.1an=:(aj-ai)1<i<J<n三利用范德蒙行列式計算n階行列式的值Dn12222nJ1n-1(n-1)2n1(n-1)1XX2xnA令a1=1,&=2,，an/二門-14=X則有上述公式可得Dn(X-1)(X-2)(X-(n-1)(n-2)(n-3)1(n-3)(n-4)1f(3-2)(2-1)23n工2-1=(X-1)(X-2)(X-(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)2四拆

8、行（列）法由行列式的性質(zhì)可得由已知的行列式拆成若干個行列式之積計算其值再得原行列式值有行列式性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和,該行列式可拆成兩行列式和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他個行（列）的元素與原行列式的對應(yīng)行（列）相同，利用行列式這一性質(zhì)，就可以容易求得其值。列4解n階行列式-aaxaaaaa-3lxaa-axDn=-3l-ax-a=-a-a-,.-a-a-a-x-a-an1_=a(xa)(x-a)Dnj(1)xa-ax-aaax-a.aaax+x-a-a-a-aax-a-aaax-a.*aaaxaa-ax+aaa一.axa-a一a

9、xaa-ax-a+-a-ax.a-一-a-a-.x-a-a-a一.x-an_1_=-a(x-a)(xa)Dn(2)(1)(xa)=(xa)Dn=a(xa)'(x-aDn/_n22_(x-a)=(x-a)Dn-a(x-a)(x-a)DnDna(xa)a(x-a)1nzAn,=(xa)-(x-a)(xa)(xa)設(shè)Dn=aj為n階行列式，根據(jù)行列式按行（列）展開有Dn=ai1AJ+a，nAinO=Tn)或Dn=a1A+2川人川(尸n此種方法旨在降低行列式的階數(shù)，在一般情況下運算量不會減少很多，但是在當(dāng)某一行或某一列出現(xiàn)零元素比較多時它才能發(fā)揮真正的作用列5計算n階行列式xy000xy-0.

10、-.-.000-xy000以第一列展開的00yxDnyDn(T)1y.x.(n-1)nn1=x(-1)y六遞推法利用行列式性質(zhì)，把n階行列式表示為有相同結(jié)構(gòu)的較低行列式（比如n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式列6求行列式a+PaP001a+PaP001a+P0-一-000a+PDn（n）的值Dnot+P1000(Pa+Pa+Pa300aP0001a+PaP01C(+Po(P0=(a+P)01a+P0+(-1)01C£+P0-,-,-',-,000a+P（n）0000a+000）(n_l)C(+P=（：）DnJ：Dn/(nDn-Dn(Dn-D

11、n/)以此類推DnDn?=：(Dn工-二Dn工)D3-：D2=B(d2-1D1)Dn-Dn：2(DnN-二口引=”(Da-：Di)并有D1D2otPa+PDnIDn'="(，W)2-F，")，"_"n若a=0使得Dn=H否則除以an后移項n1n(-)aA二(二)2naaa33ncta，一(一)(-)如"P則0一j=(n1)、n七開階法（加邊法）加邊法一般做法是anai2ai3Dn"an1an2an3anna1anaan10an_ba1a-aa0an-0an1annbnan1ann特殊情況下取a1=a2=i=an=1或b1=b2

12、=i=bn=1加邊法不是隨便加一行或一列就可以，關(guān)鍵要觀察每行每列是否有相同的因子。利用行列式按行（列）展開的性質(zhì)，把n階行列式通過加行（列）變成與之相等的n+1階行列式，利用行列式的性質(zhì)把添加進(jìn)去的行（列）的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行（列），使其它行（列）出現(xiàn)更多為零的元素后再進(jìn)行計算.添加的行與列一般有四種方式，分別是添加在：（1）首行首列、（2）首行末列、（3）末行首列、（4）末行末列.當(dāng)然有時也添加在行列式的一般行與列的位置列7計算行列式n1n2nnaa:a+11121222naaa+11112naa:a+11112nnanana+11112na2a2a+11112naa:a+1111001

13、1十a(chǎn)112+a1201十a(chǎn)21+a2211+a1n+an200一,012na1aia112na2a2a21ana：一,nan200-01a12a1W-na112na2a2a212nananan21002a1一,0na1a112na2a2a212nananan十2naia1a1-11-1-1n112a1a1n2=12a2a2n1n2anan00a1一12a1a1a212a2a2an-1a2-an-1-1-12a1a1a-na12a2a2a-na22anan.-nana1-1a1a2ana1a2ana12-12一an0-1a201a1a2an0-1a1a2-100a1(a1-1)（a一）a2(a

14、2-1)a2n(a2-1)an(an-1)nan(an-1)nan-1a1a12a2a2a2-(a1-1)(a2-1)(an-1)a2a2n-1ananananana1a1=2a1a2ana2a2-(a1-1)(a2-1)(an-1)an1a1-na11a2-na21an-nan二2aa2an-(a1-1)(a2-1)-(an-1)11(aj-ai)1<i<j也八數(shù)學(xué)歸納法般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再利用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想證明cos:1012cos=1012cos工列8證明0證明對二級行列式有cos工112cos二:2二2cos二一1二cos2.此時結(jié)論成立0000

15、00=cosna1 2cosot假設(shè)對階數(shù)小于n的行列式也成立對于n階行列式Dn按最后一列展開后的d=1T-D22costrn-)ct-c。*n2)£r=2cus<ar<；os(HIJar-cos(，j-l)acosa+sin("一l)asina*=cos</<os(7>一Isina,sin(rtI)orcos|rz+l，7l)<r=cosnet故對一切n結(jié)論成在九利用拉普拉斯定理拉普拉斯的四種情形3)列9AnnCmn0Bmm0BmnAnnCmn=Ann*Bmn2)mn=(T)Ann,BmmmnAnnCnm0BmmCnmAnnBmm0An

16、n*Bmmmn=(-1)Ann*Bmm210-121013解：在行列式。中取定第一、六個子式：M,二二行，得到140I*升它們對應(yīng)的代數(shù)余子式為白蘆)"加*啊NM1K=(T尸仔fl宴-MA產(chǎn)(T產(chǎn)刈飛，尸時內(nèi)尸J1/3仙知'二M'AU-lp鐳f仁-M'露儀一1例f根據(jù)拉普拉斯定理D=M曰】十MiArbL+MoA*二:-J-l:擾加=(-1)x(-S)-2x(-3)+lx(-l)+5x16x3+17)x1=S+61+5-IS7=7行列式計算方法除上述方法外還有許多別的方法只是上述方法常用而已.在計算行列式時，要根據(jù)行列式自身的特點選擇待定的方法進(jìn)行計算，而且不僅僅局限于某一種算法，而是多種方法綜合運用，求出其值.參考文獻(xiàn)：1楊立英，李成群.n階行列式的計算方法與技巧J.廣西師范學(xué)院學(xué)報,