野兔生長(zhǎng)問題數(shù)學(xué)建模論文

1、精選文檔課程設(shè)計(jì)報(bào)告課程設(shè)計(jì)題目：野兔生長(zhǎng)問題 目 錄摘要03問題重述05模型假設(shè)06建立模型07模型求解09模型誤差分析13摘要假設(shè)野兔生長(zhǎng)的條件是在無(wú)外界干擾的完善條件下（即不考慮外界因素對(duì)野兔繁殖的影響），該種群的成長(zhǎng)曲線應(yīng)當(dāng)為對(duì)數(shù)型增長(zhǎng)。但依題意可知，野兔增長(zhǎng)先是成對(duì)數(shù)增長(zhǎng)后來(lái)趨于平緩，變化幅度不斷降低，這說明野兔生長(zhǎng)并不是處于抱負(fù)的狀況下的，考慮到自然的各種緣由，諸如，環(huán)境條件由于兔群激增而變得惡劣，天氣的變化，天敵的增多等等。對(duì)于這種種群生態(tài)學(xué)問題，我們可以用Logistic（規(guī)律斯蒂方程）模型來(lái)模擬。Logistic模型是種群生態(tài)學(xué)的核心理論之一，它可以很好的表示生物種群的生長(zhǎng)規(guī)

2、律，動(dòng)態(tài)的表示生物種群的增減狀況，例如兔子。由于野兔生長(zhǎng)問題相對(duì)簡(jiǎn)潔，其涉及的內(nèi)容和有求也相對(duì)較少，并且該問題概過了種群在生態(tài)中生長(zhǎng)問題。依據(jù)規(guī)律斯蒂方程，以及建立一只雙曲線右支可以猜測(cè)出在T=10時(shí)，野兔數(shù)量為10.8156十萬(wàn)只。在此，我們結(jié)合過去九年野兔數(shù)量的歷史數(shù)據(jù)，建立了規(guī)律斯諦增長(zhǎng)模型，得到野兔的生長(zhǎng)規(guī)律如下：野兔初始于該地方生存時(shí)，野兔的生長(zhǎng)繁殖有充分的保障，數(shù)量增多。隨著野兔的不斷繁殖，其有限生存空間日趨減小，其數(shù)量趨向于某一極值。而當(dāng)野兔數(shù)量超過環(huán)境容納量時(shí),野兔種群的增長(zhǎng)受到抑制，數(shù)量下降。當(dāng)野兔種群數(shù)量降低到環(huán)境容納量以下時(shí),野兔種群的誕生率上升，死亡率下降，自然資源與食

3、物資源較為充裕，種內(nèi)與種間競(jìng)爭(zhēng)有所緩解，從而野兔種群增長(zhǎng)加快。通過建立Logistic模型，我們小組得出當(dāng)T=10時(shí)，野兔數(shù)量為10.8156（十萬(wàn)）只左右。該結(jié)果比較符合客觀規(guī)律。利用Logistic模型可以表征種群的數(shù)量動(dòng)態(tài)；如昆蟲類種群的增長(zhǎng)，收獲與時(shí)間關(guān)系的確定。描述某一爭(zhēng)辯對(duì)象的增長(zhǎng)過程如生態(tài)旅游區(qū)環(huán)境容量的確定，森林資源的管理以及耐用消費(fèi)品社會(huì)擁有量的猜測(cè)、國(guó)民生產(chǎn)總值的猜測(cè)等；也可作為其它簡(jiǎn)單模型的理論基礎(chǔ)如Lotka-Volterra兩種群競(jìng)爭(zhēng)模型；以上的大多數(shù)的工作都是拿規(guī)律斯蒂模型來(lái)用，但也由此可看出規(guī)律斯蒂方程不管在自然科學(xué)領(lǐng)域還是在社會(huì)科學(xué)中都具有格外廣泛的用途。關(guān)鍵字

4、:分析數(shù)據(jù) 特別現(xiàn)象 猜測(cè) 數(shù)量 規(guī)律斯蒂方程模型問題重述野兔生長(zhǎng)問題：在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)數(shù)量(單位十萬(wàn))如下：T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長(zhǎng)規(guī)律。 并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長(zhǎng)有特別現(xiàn)象，猜測(cè)T=10 時(shí)野兔的數(shù)量。首先，野兔是生長(zhǎng)在自然環(huán)境中的。自然很簡(jiǎn)單，存在著很多影響種群進(jìn)展的因素。我們知道，假如給野兔一個(gè)抱負(fù)的環(huán)境，野兔數(shù)量是呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的。現(xiàn)實(shí)狀況中，種群一般是呈S型增長(zhǎng)的，從題中表格看出，野

5、兔的數(shù)量并不是單一地增長(zhǎng)，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈類J型增長(zhǎng)，說明兔子數(shù)量不多受內(nèi)外因素的因數(shù)影響不明顯。第四年到第七年，這三年野兔的數(shù)量不增反降呈類S型增長(zhǎng)，說明其間有影響野兔生長(zhǎng)的因素存在。我們探討了其中的因素：（1），兔子的內(nèi)部沖突，兔子之間由于食物的削減而引發(fā)爭(zhēng)斗等。（2），自然環(huán)境的惡化，比如說兔子的激增使糞便數(shù)量大大增加是環(huán)境變得惡劣，不在適合兔子的生存；再如氣候反常，使野兔的產(chǎn)卵，交配受影響。（3），天敵的捕食，狼，狐貍等天敵大量地捕食使野兔生存受到威逼。（4），疾病的侵?jǐn)_，野兔種群中，集中并流行疾病，必定

6、使野兔存活率下降。（5），人類的影響，城市擴(kuò)建，使其棲息地面積削減；捕殺?？紤]到上述因素，野兔的生長(zhǎng)就不能完全用一個(gè)Logistic模型來(lái)模擬 模型假設(shè)由于所學(xué)學(xué)問有限，所以我們做出以下假設(shè)以便利猜想：（1）,假設(shè)它使處于自然的狀況（沒有人的作用）,人類活動(dòng)對(duì)其生存不產(chǎn)生影響。（2），假設(shè)各個(gè)環(huán)境因素對(duì)野兔生長(zhǎng)的影響是互不影響的。兔子種族內(nèi)部生存空間足夠多，不存在對(duì)生存空間需求問題。（3），假設(shè)兔子的內(nèi)部因素對(duì)其生存率的影響不大。（4），假設(shè)野兔在各年齡段中的分布率不變，即年齡結(jié)構(gòu)不變，并接受各種措施維持這一結(jié)構(gòu)；（5）假設(shè)野兔性別比接近1：1，且接受措施維持這個(gè)比列。（6）假設(shè)母兔可以懷孕的

7、年齡為1到6歲，最高年齡為10歲，10歲的死亡率為100%，并且6到10歲的野兔個(gè)數(shù)成線性遞減趨勢(shì)。在以上條件成立的前提下，用Logistic模型來(lái)模擬野兔的增長(zhǎng)狀況。建立模型對(duì)于生物模型，首先考慮的是logistic模型，考慮到logistic模型的增長(zhǎng)曲線是單調(diào)的，而題目所給的數(shù)據(jù)中有一段是下降的，這是反常的狀況，而正常狀況應(yīng)當(dāng)是單調(diào)上升的?？紤]到可能在這段時(shí)間內(nèi)有使野兔削減的因素。不能在整個(gè)時(shí)間段進(jìn)行擬合，我們應(yīng)當(dāng)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行擬合。第一單調(diào)增區(qū)間T=0T=1T=2T=312.319694.508536.90568第一單調(diào)減區(qū)間T=3T=4T=5T=66.905686.005125

8、.564955.32807其次單調(diào)增區(qū)間T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我們把野兔生長(zhǎng)狀況分成了上表三個(gè)區(qū)間，建立野兔生長(zhǎng)的logistic模型。我們先假設(shè)在一個(gè)小的單位時(shí)間間隔內(nèi)新誕生的兔子百分比為 b，類似的兔子死亡率的百分比為 c。換句話，新的兔子數(shù) P(t+ t)是原有兔子數(shù) P(t)加上在 t 時(shí)間內(nèi)新增兔子數(shù)減去死亡兔子數(shù)，即 P(t+ t)=P(t)+bP(t) t-cP(t) t 這樣我們把問題化歸到如何確定 k。一旦 k 被確定，通過已知數(shù)據(jù)，我們解這個(gè)微分方程，就可以得到一個(gè)野兔數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)了rM (t-t )M - p

9、+ p erM (t-t )p MeP(t) =這個(gè)模型就成為logistic模型。模型求解對(duì)于logistic連續(xù)模型，設(shè)微分方程為 ，, （1）其中參數(shù)a，b 需要通過擬合得到。（1） 的解為. （2）設(shè)已知連續(xù)三年的數(shù)據(jù)，其中，則由（2）得方程組 (3) 這三個(gè)方程中有三個(gè)未知量可以解出a,b如下: 將（3）中第一式代入其次、三式消去x0， 得 (4)消去a 后得b 滿足的方程 (5)解得 . (6)代入(4) 的第一式得a 滿足的方程 (3)求參數(shù)a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T)% 輸入單調(diào)的連續(xù)三年數(shù)量p和時(shí)間間隔T(本題T=1), 輸出參數(shù)

10、 a, b和下一年的數(shù)量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一個(gè)上升階段, 對(duì)于連續(xù)三年（0，1，2）和（1，2，3）分別計(jì)算得到二組a，b值0.99999629543280 0.09999899065418 1.00000189673056 0.10000006995945 在下降階段，對(duì)于連續(xù)三年（3，4，5）和（4，5，6）分別計(jì)算得到的二組a，b值0.499999514

11、70301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在其次個(gè)上升階段，對(duì)于連續(xù)三年（6，7，8）和（7，8，9）分別計(jì)算得到的二組a，b值1.00000508717411 0.10000005796845 1.00000975640180 0.10000014562299當(dāng)取a, b為最終一組數(shù)據(jù)時(shí)，T=10 時(shí)由(2) 得到猜測(cè)數(shù)為10.1（十萬(wàn)）,當(dāng)取a=1，b=0.1 時(shí)，猜測(cè)數(shù)為10.1（十萬(wàn)）.（M為兔子飽和值）結(jié)論是： 在 T=0 到T=3 之間增長(zhǎng)規(guī)律為logistic模型：.在 T=3 到T=6 之間增長(zhǎng)規(guī)律有特別狀

12、況, 但仍為logistic模型；：.在 T=6 到T=9 之間增長(zhǎng)規(guī)律恢復(fù)為logistic模型：.在T=10 時(shí), 在正常狀況下, 野兔數(shù)量為10.8156（十萬(wàn)）只.模型的誤差分析這里我們需要爭(zhēng)辯幾個(gè)造成模型誤差的問題，它們都很有實(shí)際意義。一個(gè)是模型對(duì)初值的依靠性問題，另一個(gè)是模型對(duì)參數(shù)選取的依靠性問題。模型的優(yōu)缺點(diǎn)模型的評(píng)價(jià)與推廣 模型評(píng)價(jià)一開頭我們依據(jù)生物學(xué)的學(xué)問，對(duì)種群數(shù)量的飽和值取了一個(gè)估量值，而事實(shí)上，我們?cè)诠懒苛?M=10 左右的幾個(gè)值后，又分析了不同的 M 值對(duì)模型解的影響，從而得出我們對(duì) M 值的估量具有肯定的現(xiàn)實(shí)性和真實(shí)性。 在考慮初值誤差對(duì)模型解影響過程中，我們接受常

13、微分學(xué)問，考慮解對(duì)初值的依靠性和解對(duì)參數(shù)的依靠性，這種思路對(duì)于實(shí)際爭(zhēng)辯具有極其重大的現(xiàn)實(shí)意義。 該模型的使用范圍是：在肯定的空間區(qū)域內(nèi)，不考慮環(huán)境的重大變化對(duì)生物種群的影響，而是依據(jù)該區(qū)域的一般自然規(guī)律。同樣，這也是本模型的不足之處，由于現(xiàn)實(shí)中，我們爭(zhēng)辯的生物種群可能對(duì)環(huán)境的依靠性很強(qiáng)，那么環(huán)境的影響就是一個(gè)重要的因素，但是我們也意識(shí)到要用一個(gè)很具體的模型，該模型考慮現(xiàn)實(shí)中的每一個(gè)因素，并且表示這些因素的表達(dá)式又是簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式，要找這樣的模型是很困難的，而我們接受的模型在絕大部分同類問題中所體現(xiàn)的優(yōu)越性是易見的，并且我們?cè)谝陨系姆治鲋幸步o出了相對(duì)較好的模型。 模型的推廣 ² 這個(gè)模型

14、是針對(duì)肯定空間區(qū)域內(nèi)，在一般規(guī) 律下，對(duì)生物種群數(shù)量隨時(shí)間的變化范圍作出的估量。這種估量對(duì)于研 究某一區(qū)域內(nèi)的種群有直接的好處，也利于人類爭(zhēng)辯人類自身。 ² 對(duì)于肯定區(qū)域內(nèi)的生物 種群，假如考慮種群生存環(huán)境的一般現(xiàn)象，我們可以從事實(shí)上看到我們應(yīng)用的模型對(duì)于該類 問題的解決有重大的預(yù)見效果。 ² 現(xiàn)在，在關(guān)于生物種群數(shù)量的爭(zhēng)辯中，有很多種方法，而 logistic 模型對(duì)于這類與現(xiàn)實(shí)搭配的事實(shí)更趨于成功。由以 上的分析，我們看到了該模型對(duì)于相對(duì)較小誤差的測(cè)量，是可以得到相 當(dāng)精確的猜測(cè)值的。于是，我們認(rèn)為，在環(huán)境不發(fā)生重大轉(zhuǎn)變的狀況下 ，爭(zhēng)辯生物種群數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系就可以接受我們?cè)诮鉀Q本問題時(shí)的解法。東華理工高校長(zhǎng)江學(xué)院課程設(shè)計(jì)評(píng)分表同學(xué)姓名：郭耀文 、葉協(xié)波、周超太 班級(jí)：1331702班學(xué)號(hào)：201330170223 、201330170231、201330170221 課程設(shè)計(jì)題目：野兔生長(zhǎng)問題項(xiàng)目?jī)?nèi)容滿分實(shí) 評(píng)選題能結(jié)合所學(xué)課程學(xué)問、有肯定的力量訓(xùn)練。符合選題要求（3人一題）5工作量適中，難易度合理10能力水平能嫻熟應(yīng)用所學(xué)學(xué)問，有肯定查閱文獻(xiàn)及運(yùn)用文獻(xiàn)資料力量10理論依據(jù)充分，數(shù)據(jù)精確，公式推導(dǎo)正確10能應(yīng)用計(jì)