2021年高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講義第3章高考專題突破一第2課時

1、第2課時導(dǎo)數(shù)與方程求函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)例1設(shè)函數(shù)f (x)x2mlnx，g(x)x2(m1)x，當(dāng)m1時，討論f (x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)解令F(x)f (x)g(x)x2(m1)xmlnx，x>0，問題等價(jià)于求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個數(shù)F(x)，當(dāng)m1時，F(xiàn)(x)0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，注意到F(1)>0，F(xiàn)(4)ln4<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)當(dāng)m>1時，假設(shè)0<x<1或x>m，那么F(x)<0；假設(shè)1<x<m，那么F(x)>0，所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m，)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單

2、調(diào)遞增，注意到F(x)的極小值F(1)m>0，F(xiàn)(2m2)mln(2m2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個交點(diǎn)將本例條件“m1改為“m0，討論f (x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)解由例題解法知m1時，兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)；當(dāng)m0時，F(xiàn)(x)x2x，x>0有唯一零點(diǎn)；當(dāng)0<m<1時，0<x<m或x>1時，F(xiàn)(x)<0；m<x<1時，F(xiàn)(x)>0，所以函數(shù)F(x)在(0，m)和(1，)上單調(diào)遞減，在(m,1)上單調(diào)遞增，易得lnm<0，所以F(x)的極小值F(m)(m

3、22lnm)>0，而F(2m2)mln(2m2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)思維升華(1)可以通過構(gòu)造函數(shù)，將兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題(2)研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f (x)lnx，mR，討論函數(shù)g(x)f(x)的零點(diǎn)的個數(shù)解由題設(shè)g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得mx3x(x>0)設(shè)(x)x3x(x0)，那么(x)x21(x1)(x1)，當(dāng)x(0,1)時，(x)>0，(x)在

4、(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時，(x)<0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減x1是(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x1也是(x)的最大值點(diǎn)，(x)的最大值為(1).又(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)，可知當(dāng)m>時，函數(shù)g(x)無零點(diǎn)；當(dāng)m時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時，函數(shù)g(x)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)m0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)m>時，函數(shù)g(x)無零點(diǎn)；當(dāng)m或m0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時，函數(shù)g(x)有兩個零點(diǎn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍例2函數(shù)f (x)xlnx，g(x)x2ax

5、3(a為實(shí)數(shù))，假設(shè)方程g(x)2f (x)在區(qū)間上有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由g(x)2f (x)，可得2xln xx2ax3，ax2ln x，設(shè)h(x)x2ln x(x>0)，所以h(x)1.所以x在上變化時，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)極小值又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e<0.所以在上，h(x)minh(1)4，h(x)maxh3e2，假設(shè)方程在上有兩個不等實(shí)根，那么4<ae2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.思維升華方程根或函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，確定參數(shù)范圍時

6、要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出大致圖象，充分利用導(dǎo)數(shù)工具和數(shù)形結(jié)合思想.跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)g(x)x2xlnxb在1,4上有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解g(x)x2xln xb(x>0)，那么g(x).在1,4上，當(dāng)x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下：x(1,2)2(2,4)g(x)0g(x)極小值g(x)極小值g(2)ln 2b2，又g(4)2ln 2b2，g(1)b.假設(shè)方程g(x)0在1,4上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么解得ln 22<b.故實(shí)數(shù)b的取值范圍是.1.函數(shù)f (x)alnx(aR).(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)判斷f (

7、x)的零點(diǎn)個數(shù).解(1)函數(shù)f (x)的定義域是(0，)，f(x)()ln x·，令f(x)>0，解得x>e2，令f(x)<0，解得0<x<e2，所以f (x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，e2)，單調(diào)增區(qū)間為(e2，).(2)由(1)得f (x)minf (e2)a，假設(shè)a>，那么f (x)min>0，f (x)無零點(diǎn)；假設(shè)a，那么f (x)min0，f (x)有一個零點(diǎn)；假設(shè)a<，那么f (x)min<0，f (x)在(0，e2上單調(diào)遞減

8、，在e2，)上單調(diào)遞增，當(dāng)a0時，在(0，e2上有f (x)aln x<a0，f (x)在區(qū)間(0，e2上無零點(diǎn)，在e2，)上有f (e2a)a(12ea)0，f (x)在區(qū)間e2，)上有一個零點(diǎn)；當(dāng)0<a<時，有0<<e2，易證當(dāng)x>0時，ex>x2成立，>a0，又f (e2)<0，f (1)a>0，f (x)在(0，e2上有一個零點(diǎn)，在(e2，)上有一個零點(diǎn).綜上，當(dāng)a>時，f (x)無零點(diǎn)，當(dāng)a0或a時，f (x)有一個零點(diǎn)，當(dāng)0&l

9、t;a<時，f (x)有2個零點(diǎn).2函數(shù)f (x)x3x22xc有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍解f(x)x2x2(x1)(x2)，由f(x)>0可得x>2或x<1，由f(x)<0可得1<x<2，所以函數(shù)f (x)在(，1)，(2，)上是增函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，所以函數(shù)f (x)的極大值為f (1)c，極小值為f (2)c.而函數(shù)f (x)恰有三個零點(diǎn)，故必有解得<c<，所以使函數(shù)f (x)恰有三個零點(diǎn)的實(shí)數(shù)c的取值范圍是.3函數(shù)f (x)x2a

10、lnx，aR.(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(2)假設(shè)a>0，函數(shù)f (x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)f (x)x2alnx的定義域?yàn)?0，)，f(x)x.a0時，f(x)>0，所以f (x)在(0，)上單調(diào)遞增；a>0時，由f(x)>0，得x>，f(x)<0，得0<x<.即f (x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時，f (x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，f (x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增(2)當(dāng)

11、a>0時，由(1)知f (x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，假設(shè)1，即0<a1時，f (x)在(1，e)上單調(diào)遞增，f (1)，f (x)在區(qū)間(1，e)上無零點(diǎn)假設(shè)1<<e，即1<a<e2時，f (x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(，e)上單調(diào)遞增，f (x)minf ()a(1lna)f (x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個零點(diǎn)，e<a<e2.假設(shè)e，即ae2時，f (x)在(1，e)上單調(diào)遞減，f (1)>0，f (e)e

12、2a<0，f (x)在區(qū)間(1，e)上有一個零點(diǎn)綜上，f (x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個零點(diǎn)時，a的取值范圍是.4.函數(shù)f (x)(2a)(x1)2lnx(aR).(1)當(dāng)a1時，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)函數(shù)f (x)在上無零點(diǎn)，求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a1時，f (x)x12ln x，x>0，那么f(x)1，由f(x)>0，得x>2，由f(x)<0，得0<x<2.故f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，).(2)因?yàn)楫?dāng)x0時，f (x)，

13、所以f (x)<0在區(qū)間上不可能恒成立，故要使函數(shù)f (x)在上無零點(diǎn)，只要對任意的x，f (x)>0恒成立，即對x，a>2恒成立.令h(x)2，x，那么h(x)，再令m(x)2ln x2，x，那么m(x)<0，故m(x)在上為減函數(shù).于是m(x)m42ln 30.從而h(x)0，于是h(x)在上為增函數(shù)，所以對x有h(x)<h23ln 3，所以a的取值范圍為23ln 3，).5.(2022·天津河北區(qū)模擬)函數(shù)f (x)x33axe，g(x)1lnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).用maxm，n表示m，n中的較大者，記

14、函數(shù)h(x)maxf (x)，g(x)(x>0).假設(shè)函數(shù)h(x)在(0，)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)?0，)，所以g(x)<0.所以函數(shù)g(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)x(0，e)時，g(x)>g(e)0，依題意，h(x)g(x)>0，那么函數(shù)h(x)無零點(diǎn).當(dāng)xe時，g(e)0，f (e)e33aee，假設(shè)f (e)e33aee0，即a，那么e是函數(shù)h(x)的一個零點(diǎn)；假設(shè)f (e)e33aee>0，即a<，那么e不是函數(shù)h(x)的零點(diǎn).當(dāng)x(e，)時，g(x)<0，只需考慮函數(shù)f (x)在(e，)內(nèi)零點(diǎn)的情況.因?yàn)閒(x)3x23a>3e23a，所以當(dāng)ae2時，f(x)>0，函數(shù)f (x)在(e，)內(nèi)單調(diào)遞增.又f (e)e33aee，當(dāng)a時，f (e)0，函數(shù)f (x)在(e，)內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)<ae2時，f (e)<0，又f (2e)8e36aee8e36e3e