古諾均衡及其擴(kuò)展

1、古諾均衡及其拓展假設(shè)市場(chǎng)反需求函數(shù)為p(Q)aQ，企業(yè)的生產(chǎn)成本為C(Q)cQ,求：(1)完全壟斷市場(chǎng)結(jié)構(gòu)下的均衡產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)；(2) 完全競(jìng)爭(zhēng)結(jié)構(gòu)下的均衡產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)；(3) 雙寡頭結(jié)構(gòu)下的古諾均衡的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)；(4) n家同質(zhì)企業(yè)結(jié)構(gòu)下的古諾競(jìng)爭(zhēng)的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)，并證明這一結(jié)果包含了上述三種情形下的結(jié)果。(5) 雙寡頭勾結(jié)下的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)；(6) 如果雙寡頭中有一方遵守配額協(xié)議，另一方違反協(xié)議時(shí)，各自的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)；(7) 比較(3)(6)的結(jié)果證明古諾均衡是一個(gè)納什均衡，而勾結(jié)的配額是不穩(wěn)定的；(8) 求雙寡頭產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)在重復(fù)博弈結(jié)構(gòu)下，選擇合作的條件是什么？(9)

2、 求n家企業(yè)產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)在重復(fù)博弈結(jié)構(gòu)下，選擇合作的條件是什么？比較結(jié)果(8)(9),你會(huì)得出什么結(jié)論。(10) 求雙寡頭在序貫行動(dòng)情形下的stackelberg均衡解。并與古諾競(jìng)爭(zhēng)均衡解對(duì)比，說明first-moveradvantages,并通過反應(yīng)函數(shù)圖來解釋這兩個(gè)均衡。(1)完全壟斷結(jié)構(gòu)下，只有一家企業(yè)，Maxp(Q)QC(Q),Q利潤(rùn)最大化的一階條件為：a2Qcqmac2ac2(2)完全競(jìng)爭(zhēng)結(jié)構(gòu)下，有n家相同企業(yè)，總需求函數(shù)p(Q)aQa“q,每一家的邊際成本為c，而且完全競(jìng)爭(zhēng)情形下價(jià)格是給定的(price-taker),對(duì)家企業(yè)來說，邊際收益就是p,根據(jù)利潤(rùn)最大化的條件MR=M,C這時(shí)最

3、優(yōu)的價(jià)帶入總需求函數(shù)p(Q)aQ,可以得到根據(jù)對(duì)稱性假設(shè),每家企業(yè)的均衡產(chǎn)量為acqin每一家的利潤(rùn)(3)雙寡頭結(jié)構(gòu)下，p(Q)aQa(qiq2)，邊際成本都為c。企業(yè)1的利潤(rùn)函數(shù)為ip(Q)qicqi(a(qiq2)qicqiMaxip(Q)功利潤(rùn)最大化的條件為acq2qi容易看出，這一結(jié)果表明,企業(yè)2i的最優(yōu)產(chǎn)量取決丁企業(yè)2的產(chǎn)量，這也正是博弈論中戰(zhàn)略依存(strategic-interdependence)這一核心理念的反映。我們把這一結(jié)果稱為企業(yè)i的反應(yīng)函數(shù)。同樣道理，我們可以得出企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)q2ac勺2若存在一個(gè)戰(zhàn)略組合(q：,q；)同時(shí)滿足這兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)，則這個(gè)博弈存在一個(gè)古諾

4、-納什均衡解(Cournot-NashEquilibrium)2ccaccacccacqiq2十p十i2339(4)n家企業(yè)結(jié)構(gòu)下，總需求函數(shù)p(Q)a,每一家的邊際成本為c。企業(yè)i的利潤(rùn)函數(shù)為Nipqicqi(aqi)qcqii利潤(rùn)最大化的一階條件:qiqi家企業(yè)存在一個(gè)類似的反這就是企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)。根據(jù)對(duì)稱性假設(shè)，應(yīng)函數(shù)。如果存在一個(gè)納什均衡的戰(zhàn)略組合，那么qcAi1,.,i,.,NpCn1n1當(dāng)門分別等丁1、2時(shí)，這一結(jié)果等同丁壟斷和雙寡頭的結(jié)果，當(dāng)n時(shí),cacanccac2limqlim0limplimclimilim()0nnn1nnn1nnn1這一結(jié)果和完全競(jìng)爭(zhēng)情形下結(jié)果相同。由

5、此可見，古諾競(jìng)爭(zhēng)模型是刻畫市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)模型的更加一般的方法。(5)雙寡頭勾結(jié)情形下(申謀、卡特爾),相當(dāng)丁兩家企業(yè)像一家獨(dú)占企業(yè)一樣行事，分配壟斷產(chǎn)出配額和利潤(rùn)，維持壟斷價(jià)格，所以collusionq1,.qmcollusionQq1collusionpcollusion1collusion2(6)假設(shè)企業(yè)遵守卡特爾協(xié)議，則-McollusionQacq2而企業(yè)1則把企業(yè)2這一產(chǎn)量看做給定,去生產(chǎn)自己利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量，所以企業(yè)1背叛情形下的利潤(rùn)最大化為cq1betray3(ac)q1丁betraycollusion1pqcq(aqq2)q可以看出，這一產(chǎn)量大丁遵守勾結(jié)協(xié)議下的產(chǎn)量，而總產(chǎn)量的增加必

6、然會(huì)導(dǎo)致均衡價(jià)格低丁壟斷價(jià)格，容易知道pbetray3a5cbetraycollusioncapp0。因?yàn)槭袌?chǎng)存在的前提是保留價(jià)格大丁邊際成本，所以上式小丁betray19(ac)264而此時(shí)企業(yè)2的利潤(rùn)會(huì)因?yàn)榫鈨r(jià)格的下降而減少，所以被欺騙的的企業(yè)的產(chǎn)出和利潤(rùn)為fooledq2collusionq2八MQac2fooled3(ac)24232比較得,fooled3(ac)2collusion.Mac2.9()2collusionacbetray9(ac)23221_12864(7) 利用雙寡頭古諾競(jìng)爭(zhēng)、勾結(jié)和背叛情形下的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)NormalForm的博弈框架如下回CollusionBet

7、rayCollusioncollusion1collusion2fooled1betray22ac2ac3(ac)29(ac)2883264Betraybetray1fooled2cournot1cournot29(ac)23(ac)22ac2ac643299假如兩家企業(yè)都假設(shè)對(duì)方遵守協(xié)議的情況下會(huì)背叛，而且這是一個(gè)commonknowledge,那么雙方的均衡就是古諾均衡?？梢钥闯觯?Betray,Betray)的古諾競(jìng)爭(zhēng)均衡是這個(gè)博弈的納什均衡，而(Collusion,Collusion)不是納什均衡的結(jié)果。這個(gè)均衡說明給定對(duì)方遵守協(xié)議的情形下，每個(gè)企業(yè)都有背叛的積極性。這也就是現(xiàn)實(shí)中卡特

8、爾協(xié)議難以穩(wěn)定存在的原因。從反應(yīng)函數(shù)圖上看，古諾產(chǎn)量組合(偵，號(hào))是納什均衡，而產(chǎn)量組合(EW)不構(gòu)成納什均衡，因?yàn)榻o定企業(yè)1生產(chǎn)獸M，企業(yè)2的反444應(yīng)函數(shù)表明他的最優(yōu)產(chǎn)量是大丁克亳的。4q2從EvolutionaryGame勺角度看，古諾均衡的產(chǎn)出是在博弈雙方頭腦中理性計(jì)算多次互動(dòng)后產(chǎn)生的。就是首先給定企業(yè)生產(chǎn)一個(gè)任意產(chǎn)量q11，企業(yè)2會(huì)把這一產(chǎn)量帶入自己的反應(yīng)函數(shù)，尋找自己的最優(yōu)產(chǎn)出q2(q1),依次類推，收斂丁(號(hào)，S)。這就是古諾-納什均衡在動(dòng)態(tài)意義是價(jià)值。這說明，即使初始的產(chǎn)量決策沒有完全的理性，但是通過多次的互動(dòng)、學(xué)習(xí)、適應(yīng)調(diào)整，古諾均衡產(chǎn)量一定會(huì)出現(xiàn)。在雙寡頭重復(fù)博弈的架構(gòu)下，

9、假設(shè)企業(yè)1有一個(gè)觸發(fā)戰(zhàn)略(TriggerStrategies,或稱冷酷戰(zhàn)略，GrimStrategies)：a,開始階段選擇勾結(jié)產(chǎn)量(也即選擇合作)；b,選擇勾結(jié)產(chǎn)量直到企業(yè)2選擇了古諾產(chǎn)量，然后永遠(yuǎn)選擇古諾產(chǎn)量。本質(zhì)上這個(gè)觸發(fā)戰(zhàn)略是個(gè)戰(zhàn)略承諾。通俗的說，就是企業(yè)1會(huì)一開始會(huì)選擇合作，直到對(duì)方出現(xiàn)不合作的行為，然后選擇永遠(yuǎn)不合作我們來分析在這一條件下，企業(yè)2的戰(zhàn)略選擇。如果選擇與企業(yè)1合作，則每-期生產(chǎn)古諾均衡的產(chǎn)出甘,獲得利潤(rùn)2零，設(shè)時(shí)間貼現(xiàn)因子'則合作的長(zhǎng)期收益為:2n)ac8(1)而如果選擇不合作，則第一期獲得利潤(rùn)2由于企業(yè)采取觸發(fā)戰(zhàn)略,企業(yè)2從第二期開始各期利潤(rùn)為不合作的長(zhǎng)期收

10、益為:229(ac)ac2649(22n)9(ac)ac6491企業(yè)2選擇合作的條件是合作長(zhǎng)期收益大丁不合作的長(zhǎng)期受益，即222史上9(ac)史萬解不等式得：-08(1)649117那么這一條件的含義是什么呢？我們來考慮貼現(xiàn)因子的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。貼現(xiàn)因程度，或者按照費(fèi)雪的說法，反映了人們的不耐(impatient)程度。一.1在數(shù)重上，,r為利息率。對(duì)丁一個(gè)普通人來說，如果他愿怠接受1r6%勺利息率而把錢存入銀行，那么他的貼現(xiàn)因子就是子時(shí)間偏綠或者時(shí)間偏好程度的表達(dá)，反應(yīng)了人們?cè)诋?dāng)前和未來之間的財(cái)富替代10.94,所以從16%現(xiàn)實(shí)中的利息率的變動(dòng)范圍來看，正常人的不耐程度都是比較大的。9一.、一.

11、-所以蘭是個(gè)很容易滿足的條件。這也說明了，在正常的時(shí)間眼界條件下，17合作在兩個(gè)人長(zhǎng)期博弈中是容易達(dá)成的。(8) 當(dāng)上述合作結(jié)構(gòu)不僅限丁2家，而是在n家企業(yè)之間展開博弈時(shí)，合作的條件是什么呢?我們來看企業(yè)的1的決策行為。假定其他n-1家企業(yè)都堅(jiān)持觸發(fā)戰(zhàn)略，那么企業(yè)選擇合作的每一期產(chǎn)量為Qn利潤(rùn)為_直，長(zhǎng)期利潤(rùn)為:n4n2ac-(14n背叛情形下的產(chǎn)量和利潤(rùn)。假定其他n-1家企業(yè)分別生產(chǎn)合作的產(chǎn)量QMac斗三盧，那么企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量為Max1pq1cq(aqiq1i1c)q(a(n1)ac虧q1c)q1利潤(rùn)最大化的產(chǎn)出為q1(n1)(ac)4n，此時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為22pna3ncac，企業(yè)1的利潤(rùn)

12、為(n1)(ac)4n16n而此后其他企業(yè)選擇觸發(fā)戰(zhàn)略，企業(yè)從第2期開始選擇古諾均衡的產(chǎn)量三，獲得利潤(rùn)2ac(n1)2選擇背叛的長(zhǎng)期利潤(rùn)為:222(n1)2(ac)2ac(16n2(n1)2'n)22(n1)2(ac)216n22c(n1)21所以選擇合作的條件為:2ac4n(1)(n1)(ac)216n2(n1)解得:(n1)216n2(n1)216n21(n1)2(n1)2(n1)2161(n一)n容易知，當(dāng)時(shí),趨近于1,所以n家企業(yè)合作的條件隨著企業(yè)數(shù)目的增加而變得越來越嚴(yán)峻,或者說越來越難以滿足0總結(jié)上述結(jié)論，可以看出，合作的達(dá)成受到兩個(gè)方面因素的影響:1. 時(shí)間眼界，越有耐心

13、合作越容易達(dá)成；2. 參與博弈的人數(shù)。人數(shù)越多，合作越困難。(9) 序貫行動(dòng)的博弈和Stackelberg均衡解。假如博弈的順序不是simultaneousmove，而是sequentialmove:企業(yè)1首先選擇產(chǎn)量，然后企業(yè)2根據(jù)企業(yè)1的產(chǎn)量選擇自己的最優(yōu)產(chǎn)量。在這個(gè)博弈結(jié)構(gòu)下，我們看到，企業(yè)2的決策受到了企業(yè)1決策的影響。我們用backwardinduction方法來求解。q2)q2cq2在第二階段企業(yè)2的最優(yōu)決策:Max2p(Q)q2cq2(aq1q2利潤(rùn)最大化的條件為:cq1在第一階段，企業(yè)1在明確企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)(也就是戰(zhàn)略)情形下做出自己的最優(yōu)決策：Max1p(Q)qcq(aqq

14、?)qcqs.t.q?acq1q222解得:sacsq1q2acsa3csacsacP，1-，2一12244816與古諾均衡利潤(rùn)1c:ac2-相比，企業(yè)1獲得更多利潤(rùn),而企業(yè)2所獲利9潤(rùn)減少可以看出，通過率先采取行動(dòng)，可以獲得First-moverAdvantages,這就是戰(zhàn)略承諾(strategiccommitment)或威懾(deterrence)的價(jià)值。戰(zhàn)略承諾有以下的表現(xiàn)形式：a. 率先主動(dòng)采取行動(dòng)，先發(fā)制人，壓縮對(duì)方的戰(zhàn)略選擇空間，使得對(duì)手選擇退讓，避免正面沖突導(dǎo)致兩敗俱傷大規(guī)模投資，造成沉沒成本sunkcostb. 事先發(fā)出聲明；c. 長(zhǎng)期明確堅(jiān)持某一原則。如不承諾放棄武力，(不

15、)承諾不首先使用核武器，不與恐怖分子談判；Leader-Followermatrix回LeaderFollowerF1Leader00,、2,、2(ac)(ac)816Follower22(ac)(ac)168cournotcournot22acac99限止定價(jià)(LimitPricing)和掠奪定價(jià)(PredatoryPricing)和消耗戰(zhàn)假設(shè)在上述的Leader-Follower的Stackelberg模型中，其他條件不變,但是成本函數(shù)是C(q)Fcq就是說，進(jìn)入這一行業(yè)必須首先支付一個(gè)固定成本F,比如建造工廠，租賃店鋪，或者前期的廣告推廣等等。所以這是一個(gè)更加接近現(xiàn)實(shí)的假定。我們?cè)賮砜催@種情形下克爭(zhēng)均衡。不影響均衡產(chǎn)量q：q：122但是成本的改變會(huì)改變利潤(rùn)量。所以由丁利潤(rùn)最大化是邊際條件的決策，所以:a3cP&