因式分解培優(yōu)題

1、因式分解專(zhuān)題培優(yōu)把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結(jié)如下：因式分解的一般方法及考慮順序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法.2、常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、配方法、待定系數(shù)法.3、考慮順序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分組分解法.一、運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1) a2b2=(a+b)(ab)；a2坦ab+b2=(a生)2;a3+b3=(a+b)(a2ab+b

2、2)；a3b3=(ab)(a2+ab+b2).下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(2) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)，其中n為正整數(shù)；anbn=(a+b)(an1-an2b+an3b2+abn2-bn1)，其中n為偶數(shù)；an+bn=(a+b)(an1-an2b+an3b2一abn2+bn1),其中n為奇數(shù).運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.例題1分解因式：(1) -2x5n1

3、yn+4x3n1yn+2-2xny+4；x38y3z36xyz;a2+b2+c22bc+2ca2ab;a7a5b2+a2b5b7.例題2分解因式：a3+b3+c33abc.傷Hip頁(yè)3今四因工匚,x15+y14+乂13+,+乂2+v+1u/J/tj十m少。x+x+x+x+x+1.對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:2nn121xx9y4(2)x10+x52(3)x42x2y24xy34x3yy2(4x2(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5(5)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(6)(a-b)2-4(a-b-1)(7)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1二、分組分解法（一）分組后

4、能直接提公因式例題1分解因式：amanbmbn分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a,后兩項(xiàng)都含有b,因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系.此類(lèi)型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提例題2分解因式：2ax10ay5bybx對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:1、a2abacbc2、xy（二）分組后能直接運(yùn)用公式例題3分解因式：x2y2axay例題4分解因式：a22abb2對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:223、xx9y3y24、x2z2yz綜合練習(xí)題分解因式:(1

5、)X3x2yxy222(2)axbxbxaxab(3)x26xy9y216a28a122(4)a6ab12b9b4a(5)a42a3a29(6)4a2x4a2yb2xb2y(7) 22x2xyxzyzy(8) a22ab22b2ab1(9) y(y2)(m1)(m1)(10) (ac)(ac)b(b2a)(11) a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abcz、43,c2,2,3,4(12)a2ab3ab2abb.(13)(axby)2(ay成)2(14) /、/333、333333xyz(xyz)yzzxxy(15) 422x2axxaa(16) 32x3x(a2)x2a(17) (x1)3

6、(x3)34(3x5)三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式2直接利用公式x(pq)xpq(xp)(xq)進(jìn)行分解.(2) 特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和.例題1分解因式：x25x6例題2分解因式：x27x6對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式：x214x24a215a36x24x5(4)x2x2(5)y22y15(6)x210x24(二)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式ax2bxc條件：(1)aa1a2(2) cC1C2(3) baQa2C1分解結(jié)果：ax2bxc=(a1x例題3分解因式：3x211xaa2C1C2baQa2C1G)(a2xC

7、2)10對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:一2一一(2)3x27x2(1) 5x7x6（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例題4分解因式：a28ab128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解8b16b8b+(-16b)=-8b對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:x23xy2y2m26mn8n2a2ab6b2例題6分解因式：x2y23xy（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例題5分解因式：2x27xy6y2對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:15x27xy4y222(1) ax6ax8(1)8x67x31綜合練習(xí)題分解因式:22(2) 12x11xy15y(3) (xy)23(xy)10(ab)24a4

8、b32x4xy4y22x4y22(8)5(ab)223(a222b2)10(ab)2(9)24x4xy6x3y102(10)12(xy)11(x22.2y)2(xy)思考:分解因式:abcx2(a2b2c2)xabc2、雙十字相乘法定義：雙十字相乘法用丁對(duì)Ax2BxyCy2DxEyF型多項(xiàng)式的分解因式.條件：(1)Aa1a2,(2)a1c2a2c1即：a1CGc2,B,5ciF"c2f1E,a1f2a2f1f1則Ax2a1c2a2c1BxyCy2B,DxGf2Eyc2f1E,a1f2a2f1DF(axGyfDBxqyf2)例題7分解因式：(1)2x3xy10y2x9y2(2)2xxy

9、6y2x13y6解：(1)x23xy10y2x9y2應(yīng)用雙十字相乘法:x>5y.2C2a2f22y13xy,5y4y9y,x2xx2y1)x13y6X*32xy原式=(x5y，一、2(2)xxy應(yīng)用雙十字相乘法:x5xy2)(x6y2xx3y23xy2xyxy,4y9y13y,2x3xx原式=(x2y3)(x3y2)對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:3、十字相乘法進(jìn)階例題8分解因式：y(y1)(x21)x(2y22y1)例題9分解因式：ab(x2y2)(a2b2)(xy1)(a2b2)(xy)四、主元法例題分解因式：x23xy10y2x9y2(2)x2xy2y2x7y6對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式：x2xy6y

10、2x13y66x27xy3y2x7y2(4)a2ab6b25a35b36五、換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰.例題1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12.例題2分解因式：(x24x8)23x(x24x8)2x2例題3分解因式：(x1)(x1)(x3)(x5)9分析：型如abcde的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘例題4分解因式：(x27x6)(x2x6)56.例題5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90.例題6分解因式：4(3x2x1)(x22x3)(4x2x4)2提示

11、：可設(shè)3x2x1A,x22x3B，則4x2x4AB.例題7分解因式：x628x327例題8分解因式：(ab)4(ab)4(a2b2)2例題9分解因式：(y1)4(y3)4272例題9對(duì)應(yīng)練習(xí)分解因式：a444(a4)4例題10分解因式：(x2+xy+y2)24xy(x2+y2).分析：本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式.對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因式.例題11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)一一是關(guān)于x的降藉排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1,并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”.這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)

12、式”.方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法例題11對(duì)應(yīng)練習(xí)分解因式：6x4+7x3-36x27x+6.例題11對(duì)應(yīng)練習(xí)分解因式：x44x3x24x1對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式：(1) x4+7x3+14x2+7x+1(2) x42x3x212(xx2)(3) 2005x2(200521)x2005(4) (x1)(x2)(x3)(x6)x2(5) (x1)(x3)(x5)(x7)15(6) (a1)(a2)(a3)(a4)24(7) (2a5)(a29)(2a7)91(8) (x+3)(x21)(x+5)20(9) (a21)2(a25)24(a23)2(10) (2x23x+1)

13、2-22x2+33x1(11) (a2bc)3(ab)3(bc)3,、12(12) xy(xy1)(xy3)2(xy*(xy1)/一、2(ab2ab)(ab2)(1ab)六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需號(hào)恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.說(shuō)明用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)

14、，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種.例題1分解因式：x39x+8.例題2分解因式：(1) x9+x6+x33;(m21)(n21)+4mn；(x+1)4+(x21)2+(x1)4;a3bab3+a2+b2+1.(13)a5+a+1(14)x2y24x6y5對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:(1)x33x242_2_2(2)x2(ab)x3a10ab3b(3)x47x21(4)x4x22ax1a2(5)x4y4(xy)4(6)2a2b22a2c22b2c2a4b4c4(7)x3+3x24(8)x411x2y2+y2(9)x3+9x2+26x+24(1

15、0)x412x+323(11)x4+x2+1;(12)x311x+20;七、待定系數(shù)法例題1分解因式:xy6y2x13y分析：原式的前xy6y2可以分為(x3y)(x2y),則原多項(xiàng)式必定可分為(x3ym)(x2yn)對(duì)應(yīng)練習(xí)題分解因式:(1)6x27xy3y2x7y(2)2x2+3xy9y2+14x3y+20(3)x23xy10y2x9y(4)x23xy2y25x7y6.一3(2)如果x2axbx8有兩個(gè)因式為x1和x2,求ab的值.(3)已知：x22xy3y26x14yp能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù)p并且分解因式.(4)k為何值時(shí)，x22xyky23x5y2能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，

16、并分解此多項(xiàng)例題2.2(1)當(dāng)m為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2mx5y6能分解因式，并分解此多項(xiàng)式八、余式定理(試根法)1、fx的意義：已知多項(xiàng)式fx,若把x用c帶入所得到的值，即稱為fx在x=c的多項(xiàng)式值，用fc表示.2、被除式、除式、商式、余式之間的關(guān)系：設(shè)多項(xiàng)式fx除以gx所得的商式為qx,余式為rx,貝U：fx=gxxqx+rx一b3、余式定理：多項(xiàng)式f(x)除以xb之余式為f(b)；多項(xiàng)式f(x)除以axb之余式f().a例如：當(dāng)f(x)=x2+x+2除以(x-1)時(shí)，則余數(shù)=f(1)=12+1+2=4.“.2,1、-,1、21、_-當(dāng)f(x)9x6x7除以(3x1)時(shí)，則余數(shù)=f()9()6

17、(-)78.3334、因式定理：設(shè)a,bR,a0,f(x)為關(guān)于x的多項(xiàng)式，則xb為f(x)的因式一bf(b)0；axb為f(x)的因式f()0.a整系數(shù)一次因式檢驗(yàn)法：設(shè)f(x)=%xncn1xn1gxc。為整系數(shù)多項(xiàng)式，若ax寺為f(x)之因式(其中a,b為整數(shù)，a0,且a,b互質(zhì))，則(1)acn,bc°(2)(adb)f(1),(ab)f(1)例題1設(shè)f(x)3x32x219x6,試問(wèn)下列何者是f(x)的因式？(1)2x-1,(2)xt2,(3)3x-1,(4)4x+1,(5)xT,(6)3xY例題2把下列多項(xiàng)式分解因式:3x5x4x34x2x6(3)3x35x24x2(4)

18、x49x325x227x10/4531211(5)xx-x-x6223課后作業(yè)分解因式：(1) x4+4(2) 4x3-31x+15(3) 3x3-7x+10(4) x3-41x+30(5) x3+4x29(6) x3+5x2-18(7) x3+6x2+11x+6(8) x3-3x2+3x+7(9) x3-11x2+31x-21(10) x4+1987x2+1986x+1987(11) x41998x21999x1998(12) x41996x21995x1996(13) x3+3x2y+3xy2+2y3(1412)x3-9ax2+27a2x26a32(15)4(x5)(x6)(x10)(x1

19、2)3x(16)(x26x8)(x214x48)12(17)(x2x4)28x(x2x4)15x2(18)2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)(19) x4+x2y2+y4(20) x4-23x2y2+y4(21) a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2(22)3ab312ab64(23)a3bab3a2b21.(24)(ab)2(ab1)1(25)4xc/2.2X222(ab)x(ab2)2(26)(aybx)3(axby)3(a3b3)(x33y)(27)6x19x3y3216y6(28)x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz(29)3x510x48x33x210x8因式分解的應(yīng)用1、證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的的乘積加1是整數(shù)的