導數(shù)的概念及運算

1、導數(shù)概念及其意義課前準備厘叵1扣教材夯實基礎一一I【自主梳理:1. 函數(shù)的平均變化率一般地，已知函數(shù)y=f(x),X0,xi是其定義域內(nèi)不同的兩點，記尸xiX0,廣yiyo=f(xi)f(x0)=f(xo+Ax)f(x0),則當Ax豐0時，商=«稱作函4-x數(shù)y=f(x)在區(qū)間x°,x0+Ax(或x0+Ax,x。)的平均變化率.2. 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)定義：函數(shù)y=f(x)在點x0處的瞬時變化率通常稱為f(x)在x=x0處的導數(shù)，*記作f'(x°)，即.(1) 幾何意義函數(shù)f(x)在點沖處的導數(shù)f'(x°)的幾何意義是過曲

2、線y=f(x)上點(x0,f(x°)的.導函數(shù)y=f'(x)的值域即為切線斜率的取值范圍.3. 函數(shù)f(x)的導函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都是可導的，就說f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,其導數(shù)也是開區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導函數(shù)，記作.4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表原函數(shù)導函數(shù)f(x)=Cf(x)=f(x)=xa(長Q*)f'(x)=_(a£Q*)F(x)=sinxf(x)=F(x)=cosxrf僅)=f(x)=ax(a>0,a乒1)f(x)=(a>0,a豐1)f(x)=exf'(x)=f(x)=l

3、ogax(a>0,a乒1,且x>0)f(x)=(a>0,a豐1,且x>0)f(x)=Inxf'(x)=5. 導數(shù)運算法則(1)f(x)為(x)'=;(2)f(x)g(x)'=6. rf'=g(x)乒°】gx復合函數(shù)的導數(shù)文科不要求如果函數(shù)(X)在點x處可導，函數(shù)f(u)在點u=(x)處可導，貝U復合函數(shù)y=f(u)=f(X)在點x處也可導，并且(f(X)'=f(x)(x)或記作yx=yu?uxxux熟記鏈式法則假設y=f(u),u=(x)y=f(x),則yx=f(u)(x)2復合函數(shù)求導練習y2x3yInx2y(2x2)

4、3；ysinx2ycos(x);4yInsin(3x1).在曲線y=x2+1的圖象上取一點(1,2)及附近一點(1+Ax,2+Ay),則噎為()111A.Ax+忑+2B.Ax-x2C.Ax+2D.2+哀1. 設y=x2ex,則y'等于()A.x2ex+2xB.2xexC.(2x+x2)exD.(x+x2)ex假設曲線y=x-1在點(a,a一；)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18,則a等于()A.64B.32C.16D.8假設函數(shù)f(x)=ex+aex的導函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線y=f(x)的一條切線的斜率是3則切點的橫坐標是()A.一峻B.-ln2C嶂D.In22. 已知函數(shù)f

5、(x)=f()cosx+sinx,貝Uf(；)=.1,(1)f(x)=在x=1處的導數(shù);Xf(x)=1x+2變式遷移1求函數(shù)y=W+1在x0到x0+Ax之間的平均變化率，并求出其導函數(shù).探究點二導數(shù)的運算lnx(2)y=7；x(3)y=xex;(4)y=tanx.【例2】求以下函數(shù)的導數(shù):(1)y=(1一業(yè))1+土；變式遷移2求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y=x2sinx;(2)y=3xex2x+e;(3)y=.探究點四導數(shù)的幾何意義14例4】已知曲線y=-x3+-.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線萬程；33(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程；(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程.變式遷移4

6、求曲線f(x)=x3-3x2+2x過原點的切線方程.有效訓練練1.求雙曲線y1在點(1,2)處的切線的斜率，并寫出切線方程練2.求yx2在點x1處的導數(shù).1. 準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面：直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，假設直線與曲線只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，假設直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點.(1) 曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線y=x3在其過(0,0)點的切線y=0的兩側(cè).2. 曲線的切線的求法：假設已知曲線過點P(x。，y。)，求曲線過點P的切線則需分點P(x。，y。)是切點和不是切點兩種情況求解.(1) 點P(

7、xo,yo)是切點的切線方程為yyo=f'(xo)(x-xo).(2) 當點P(xo,yo)不是切點時可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標P'(x，f(x)；第二步：寫出過P'(x，f(x1)的切線方程為yf(x)=f'(x)(xx1);第三步：將點P的坐標(xo,yo)代入切線方程求出x；第四步：將x1的值代入方程yf(x)=f'(x)(xx1)可得過點P(xo,yo)的切線方程.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復合運算,再利用運算法則求導數(shù).在求導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導

8、公式，對于不具備求導法則結(jié)構(gòu)形式的要適當變形.課堂陪練A組基礎達標.選擇題：1.f'檄)f(x)=x3+2x+1的導函數(shù)，貝Uf-1)的值是()A.1B.2C.3D.42.已知函數(shù)f'(x)=3x2,則f(x)的值一-定是A.x3+xB.x3C.x3+c(c為常數(shù))D.3x+c(c為常數(shù))3.假設函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，貝炳數(shù)f/(x)的圖象是4.以下求導數(shù)運算錯誤的選項是A.(x2013c)2013x2012(c為常數(shù))B.(x2lnx)2xlnxx/cosx、C.()xxsinxcosx2x(3x)3xln35.已知曲線3lnx的一條切線的斜率為