巧用導(dǎo)數(shù)知識妙解參數(shù)問題

1、巧用導(dǎo)數(shù)知識，妙解參數(shù)問題廈門市禾山中學(xué)林日平導(dǎo)數(shù)，作為解決與高次函數(shù)有關(guān)問題的一種工具，有著無可比擬的優(yōu)越性。也越來越受到高考命題專家的“青睞”。其中，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，更是成為近年來高考的熱點。，甚至很多省份都安排在倒數(shù)第一、二題的位置上！現(xiàn)以近幾年的高考題為例，探討一下用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍的幾種常見題型及求解策略。策略一：分離變量法所謂分離變量法，是通過將兩個變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同，解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知解決問題的關(guān)鍵：分離變量之后將問題轉(zhuǎn)化為

2、求函數(shù)的最值或值域的問題.分離變量后，對于不同問題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下結(jié)論均為已知x的范圍，求a的范圍：結(jié)論一、不等式f(x、g(a)恒成立仁f(x)'芝g(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)玄g(a)恒成立uf(x)】maxg(a)(求解f(x)的最大值).結(jié)論二、不等式f(x)Zg(a)存在解uf(x)】max芝g(a)(求解f(x)的最大值)；不等式f(x)g(a)存在解uf(x)】min<g(a)(即求解f(x)的最小值).結(jié)論三、方程f(x)=g(a)有解ug(a)的范圍=f(x)的值域(求解f(x)的值域).3案例1、(2009福建卷)若曲線f

3、(x)=ax+lnx存在垂直于y軸的切線，貝U實數(shù)a取值范圍是.一.1，一分析：f(x)=2ax(x0)x11依題意萬程2ax+=0在(0,e)內(nèi)有解，即a=(x0)na(工0)12案例2、(2008湖北卷)右f(x)=-x+bln(x+2)在(-1,+°°)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是()A.T,二)B.(-1，二)C.(-二，TD.(-二，T)b分析：由題啟、可知f(x)=x+壬0,在xu(1,*°)上恒成立，x2即b<x(x+2)=(x+1)2-1在xw(一1,E)上恒成立，由于x。一1,所以b壬1,案例3、(2008廣東卷)設(shè)a在R,若函數(shù)y=eax

4、+3x,xwR有大于零的極值點，則()_1A.a-3B.a-3C.aD.a：.33分析：f'(x)=3+aeax,若函數(shù)在xwR上有大于零的極值點，即f'(x)=3+aeax=0有正根。當(dāng)有f'(x)=3+aeax=0成立時，顯然有a<0,此時x=ln(°),aa由x0得a<3案例4、(2008江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax33x+1(xwR)，若對于任意的xL1,1都有f(x)N0成立，貝U實數(shù)a的值為解：當(dāng)x=0，則不論a取何值，f(x)70顯然成立；31當(dāng)0<x苴1時，f(x)=ax3x+1芝0可化為，a>-23xx令g(x)=g-

5、二則g(x)=”)xxx1上單調(diào)遞減,_2所以g(x)在區(qū)間10,1'上單調(diào)遞增，在區(qū)間j1,1'-因此gXmax=g1,-1=4，從而a芝4；2當(dāng)一1x<0時，f(x)=ax33x+1N0可化為aMg-】，g(x)='"4之乂)0xxxg(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，因此g(xman=g(1)=4，從而a玄4,綜上a=4分離變量法是近幾年高考考查和應(yīng)用最多的一種。解決問題時需要注意：(1)確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一類；(2)確定是求最大值、最小值還是值域.高三復(fù)習(xí)過程中，很多題目都需要用到分離變量的思想，除了基礎(chǔ)題目可以使用分離變量，很

6、多壓軸題也開可以用這種方法去求解。'2'''案例5、(2005湖北卷)已知向量a=(x,x+1),a=(1x,t),若f(x)=a，b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍.232解析：由向重的數(shù)重積7E義，f(x)=x(1X)+(X+1)t=-X+x+tx+1一._2_-f(x)=3x+2x+1.若f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則有f'(x)>0-2=t>3x-2x在(-1,1)上恒成立.若令g(x)=3x2-2x=-3(x-)2-3在區(qū)間-1,1上，g(x)=g(1)=5,故在區(qū)間(-1,1)上使t>g(x)恒成立，m

7、ax只需t>g(-1)即可，即t>5.即t的取值范圍是5,8).利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解參數(shù)問題的題型，是高考命題的一種趨勢，它充分體現(xiàn)了高考“能力立意”的思想。對此，復(fù)習(xí)中不能忽視。策略二：主次元變換法案例6、.(2009北京卷)設(shè)函數(shù)f(xxekx(t0)(I)求曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(山)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.分析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(I)(口)題略，對于題(m),若借助()的結(jié)論入手，1,1一，一、

8、，、八，一一須分-上<_1或上N1兩種情況求解，學(xué)生不一定能考慮得很全面；通過思考，不kk妨變換一下主次元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題求解。(m)解：由題意f(x)=(1-kx)ekx一0在x(-1,1)上恒成立即1+kx墮0®xw(-1,1)上恒成立,1+k(-1)0<1J+k1芝0>-1又k=0k的取值范圍是【一1,0偵0,1.本題通過變換主元的思想，巧妙地應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，避免了對k的討論，簡化了問題的求解。策略三、極值法有些函數(shù)問題，若能適時地借助函數(shù)的圖象，巧妙地利用函數(shù)的極值來求解，可使問題豁然開朗。案例7、(07全國卷二)已知函數(shù)f(X)=X，X.求曲線y=

9、f(x)在點M(t,f(t)處的切線方程；(2)設(shè)a0，如果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：a<b<f(a)解：(1)略y=(3t21)x2t3.(1) 如果有一條切線過點(a,b),則存在t,使b=(3t21)a2t3.若過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線，則方程2t33at2+a+b=0有三個相異的322頭數(shù)根.記g(t)=2t-3at+a+b，貝Ug(t)=6t6at=6t(ta).當(dāng)t變化時，g(t),g'(t)變化情況如下表：t(q,0)0(0,a)a(a,+七)g'(t)+00+g(t)增函數(shù)極大值a+b減函數(shù)極小值bf(a

10、)增函數(shù)如果過(a,b)可作曲線y=f(x)三條切線，即g(t)=2t33at2+a+b=0有三個相異的實數(shù)根,ab0則有*即a<b<f(a).b-f(a)：0.本題的求解，充分利用函數(shù)的極值，把原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為極值的正負問題，使問題變得更加直觀、充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性案例8、(2009陜西卷)已知函數(shù)f(x)=x33ax1,a#0(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II眉f(x)在x=T處取得極值，直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析：(1)略(2)因為f(x)在x=T處取得極大值，2所以f(T)=3(-1)2-3a=0,a=1.所以f(x)=x3-

11、3xT,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x=1,X2=1。由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=1處取得極大值f(1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=3。因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點，由f(x)的單調(diào)性可知，mw(3,1)案例9.(2008四川卷).已知x=3函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點。(I)求a;(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(山)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍。分析：(I)(H)略(山)由(H)知，f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)增加，在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少，在(3,心)上單調(diào)增加，且

12、當(dāng)x=1或x=3時，f(x)=0所以f(x)的極大值為f(1)=16ln29，極小值為f(3)=32ln221因此f16=162-101616ln2-9=f1-2-fe-1：211=-21f：3所以在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(1,1),(1,3)(3，心)直線y=b有y=f(x)的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng)f3：b：f1因此，b的取值范圍為(32ln221,16ln29)。充分利用函數(shù)的極值和數(shù)形結(jié)合的思想，把問題轉(zhuǎn)化為極值問題，進一步分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在解題中的作用。策略四、零點法32案例10、(2009浙江又)已知函數(shù)f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR).(I) 若函數(shù)f(x

13、)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是-3,求a,b的值；(II) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上不早調(diào)，求a的取值范圍.解析：(I)略(n)f(x)=3x22(1-a)x-a(a2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào)，等價于導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(-1,1)既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)即函數(shù)f'(x)在(-1,1)上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有f(_1)f(1)<0,即：3+2(1a)a(a+2)32(1a)a(a+2)<0，,一2整理得：(a+5)(a+1)(a1)<0,解得5<a<1案例11、(2004新課程卷)若函數(shù)y=l

14、x3ax2+(a1)x+1在區(qū)間32(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+00)內(nèi)為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.解：f(x)=x2-ax(a-1)=(x-1)k-(a-1)1令f(x)=0,解得x=1或x=a-1，并且a乒2,否則f(x)在整個定義域內(nèi)單調(diào)。由題意，函數(shù)f(x)的圖象應(yīng)有三個單調(diào)區(qū)間且先增后減再增，而已知f(x)在(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+00)內(nèi)為增函數(shù)，可知函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，在x=a-1處取得極小值。4<a-1M得5<aV7所以a的取值范圍是5,7應(yīng)用函數(shù)的零點問題，解決相關(guān)的問題，也能取到意想不到的功效。策略五、構(gòu)造新函數(shù)法對于某些不

15、容易分離出參數(shù)的恒成立問題，可利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再借助新函數(shù)的圖像、性質(zhì)等來求解，可以開拓解題思路、化難為易。案例12、(2007全國卷一)設(shè)函數(shù)f(x)=exe"(I)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)>2;(n)若對所有x>0都有f(x)>ax,求a的取值范圍.解：(i)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=ex+e".而ex+e“芝2texe"=2,故f'(x)»2.(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立).()法一：令g(x)=f(x)ax,于是不等式f(x)>ax成立即為g(x)>g(0)成立.則g'(x)

16、=f(x)a=ex+ea,由(i)可知g(x)=exe-a2a,由2a-0=a壬2.當(dāng)a2時，g(x)在(0,心)上為增函數(shù),從而有x>0時，g(x)>g(0),即f(x)>ax.案例13、(2006全國卷II)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的x>0,都有f(x)>ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax(x>-1)于是不等式f(x)>ax成立即為g(x)>g(0)成立.對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g'x)=ln(x+1)+1a令g'x)=0,解得x=ea'1當(dāng)xeaJL1

17、時，g'x)>0,g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1<x<ea1,g'x)v0,g(x)為減函數(shù)，所以要對所有x>0都有g(shù)(x)>g(0)等價條件為ea-1-K0.由此得av1,即a的取值范圍是(一叫1.通過適時構(gòu)造新的函數(shù)，簡化了問題，把求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，對解題起到了畫龍點睛的作用。策略六、二次函數(shù)法某些函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的模型，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解。案例14.(2008天津卷)已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR)，其中a,bR.10(i)當(dāng)a=-一時，討論函數(shù)f(x)的單倜性；3(n)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值

18、，求a的取值范圍；(川)若對于任意的aw_2,2,不等式f(x)<1在-1,1上恒成立，求b的取值范圍.分析：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(I)略(n)解：f(x)=x(4x2+3ax+4)，顯然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.為使f(x)僅在x=0處有極值，必須4x2+3ax+4芝0成立，即有A=9a264壬0.88解些不等式，礙一一玄a一.這時，f(0)=b是唯一極值.33因此滿足條件的a的取值范圍是-8,8.33(川)解：由條件aW2,2,可知A=9a264<0，從而4x2+3ax+40恒成立.當(dāng)x<0時，f'(x)<0;當(dāng)x>0時，f'(x)A0.因此函數(shù)f(x)在-1,1上的最大值是f(1)與f(1)兩者中的較大者.，一，一f(1V：1r為使對任意的aw2,2,不等式f(x)<1在-1,1上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)I，即f(1)5b_-2-a,，在aw_2,2上恒成立.b