等差數(shù)列的前N項和公式教學(xué)設(shè)計

1、等差數(shù)列的前n項和公式教學(xué)設(shè)計順昌一中馬麗偉一、教學(xué)設(shè)計思想在以往的教學(xué)中，課堂教學(xué)實(shí)施往往過于注重知識傳授傾向，學(xué)生被動地接受，很難從多方 面培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。而本堂課的設(shè)計是以個性化教學(xué)思想為指導(dǎo)進(jìn)行設(shè)計的。本堂課的教學(xué) 設(shè)計對教材部分內(nèi)容進(jìn)行了有意識的選擇和改組，個性化地處理教材使學(xué)生更便于接受和理解。 為了體現(xiàn)個性化教學(xué)的教學(xué)理念，在教法上，采用了以學(xué)生為主體，以問題為中心，以老師為引 導(dǎo)，以小組的合作為主要學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)中通過生動具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和 欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)女?數(shù)學(xué)的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功。二、學(xué)生

2、情況與教材分析1、學(xué)生情況分析：學(xué)生思維較活躍，有一定的分析問題、探究問題進(jìn)而解決問題的能力，并 且學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義和通項公式，掌握了一些等差數(shù)列的性質(zhì)，而且具有一些生活 中的實(shí)際經(jīng)驗和掌握了高斯數(shù)的推導(dǎo)方法.2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中 的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學(xué)中，要鼓勵學(xué)生借助幾何 直觀進(jìn)行思考，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo)(1)掌握等差數(shù)列前 n項和公式，理解公式的推導(dǎo)方法；(2)能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前 n項和公式求和。2、能力目標(biāo)：

3、經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗從特殊到一般的研究方 法，學(xué)會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。3、情感目標(biāo)：通過生動具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣 和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、等差數(shù)列前n項和公式是重點(diǎn)。2、獲得等差數(shù)列前 n項和公式推導(dǎo)的思路是難點(diǎn)。在教學(xué)過程中，先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題情景，然后教師逐層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生探索，在議、講、練相結(jié)合的合作探究式學(xué)習(xí)中，使學(xué)生經(jīng)歷新知識的形成過程，然后學(xué)以致用，運(yùn)用等差數(shù)列的前n項和公式及倒序相加法中展現(xiàn)的項數(shù)之和相等時兩項之和也相等(

4、指k,l,m,n w N +,k+1 =m +n時，ak +ai =am +an )解決一些簡單問題，鞏固新知識.六、教學(xué)過程(三個階段：問題呈現(xiàn)階段，探究發(fā)現(xiàn)階段，公式應(yīng)用階段)1 .問題呈現(xiàn)階段引入新課：上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)，那么這節(jié)課我們就來探討一下等差數(shù)列的前n項和公式.問題呈現(xiàn)一：古算書 <<張邱建算經(jīng) >>中卷有一道題：今有與人錢，初一人與一錢；次一人與二錢；次一人與三錢；以次為之，轉(zhuǎn)為一錢，共有百人。問：共與幾錢？教師：題目中我們可以彳#到哪些信息 ？要解決的問題是什么？學(xué)生：第一人得一錢，第二人得二錢，第三人得三錢，以后每個人都

5、比前一個人多得一錢，共有100人，問共給了多少錢？教師：很好，問題已經(jīng)呈現(xiàn)出來了 ，你能用數(shù)學(xué)語言表示嗎？學(xué)生：用an表不'第n個人所得的錢數(shù)，由題意得：a1 =1, a2 =2, a3 =3, , aioo =100.只要求出1+2+3+100即可.教師：小學(xué)算術(shù)中稱1+2+3+100為什么？學(xué)生：高斯數(shù).教師：高斯在他10歲的時候就神速的算出了結(jié)果，他的算法很高明，請問他是如何算的？學(xué)生：1+2+3+- +100= ( 1+100) + (2+99) + ( 50+51) =10150=5050.教師：根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，首尾配對求和的確是一種巧妙的方法.上述問題我們可以看成是等差

6、數(shù)列1,2,3,100,的前100項和.即S100 =a+a2+a3 + +明。(設(shè)計意圖：通過情景引入活動、任務(wù)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，其作用就在于提升學(xué)生的經(jīng)驗，使之向連續(xù)的形式的、抽象的數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)變。新教材中增添了一些數(shù)學(xué)史的知識，向同學(xué)們介紹了張邱建算經(jīng)和高斯及他的算法，講課的過程中適當(dāng)插入數(shù)學(xué)史，為數(shù)學(xué)教學(xué)輸入了新鮮血液，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，營造濃郁的“人 文”氛圍。)問題呈現(xiàn)二：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙 杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主 體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶

7、石鑲飾， 圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個梯形圖案，以相同大小 的圓寶石鑲飾而成，共有 8層(見下圖)，你知道這個圖案一共花 了多少寶石嗎？(設(shè)計意圖：圖中算數(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.這一個問 題旨在讓學(xué)生初步形成數(shù)形結(jié)合的思想，這是在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思想方法.借助圖形理解逆序相加，也為后面公式的推 導(dǎo)打下基礎(chǔ).這有利于學(xué)生用形象思維突破倒序相加這一難點(diǎn)，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué) 生的理解與記憶.)第1頁共6頁第5頁共6頁mmCTO得到平移平移卜 4 十1111（設(shè)計意圖：在知道了高斯算法之后，同學(xué)們很容易把本題與高斯算法聯(lián)系起來，也就是聯(lián)想到“首尾配對”擺出幾何圖形 ，引導(dǎo)學(xué)生去思考

8、，如何將圖與倒序相加結(jié)合起來 ，讓他們借助幾何圖形，將兩個梯形拼成平行四邊形 .構(gòu)建在學(xué)生已有生活經(jīng)驗與生命體驗基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)課程大大激發(fā)了學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的熱情，數(shù)學(xué)課變得更生動、更活潑，更能引發(fā)學(xué)生的興趣。）2 .探究發(fā)現(xiàn)階段：問題三：如何求等差數(shù)列an 的前nm和Sn ?an（由前面的例子，結(jié)合上節(jié)課學(xué)過的等差數(shù)列的性質(zhì):如果 k,l,m,nw N： k+l = m + n 時,ak +為=am +an不難推出)Sn =a +a2 +a3 + w +an< +an+ an把項的次序倒過來，Sn 又可以寫成：Sn an + an 4 +an1 +1 I I * a3 * a2 + a1

9、 ,兩式左右分別相加， 2S =(a +an ) + (a +a"(a3+an- )+|+(an-+a3 )+(anJa2)+(an+a1)得到 :(倒序相加法)n a an(設(shè)計意圖：在前面兩個問題的基礎(chǔ)上，問題三提出了等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，鼓勵學(xué)生利 用“倒序相加”的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)公式。)教師：公式與初中學(xué)過的什么公式相似？學(xué)生：梯形的面積公式 s = h(a +b).2(設(shè)計意圖：與梯形的面積公式進(jìn)行類比，為學(xué)生記憶公式提供記憶方法.)教師：如果已知等差數(shù)列的首項 a1,公差d和項數(shù)n能否求出Sn ?分析：學(xué)生:Sn = na1把Sn=n1aLlal中的an用a表示.2將通項公

10、式an =ai +(n -l)d，代入到上面的公式式，得到n(n -1)d2.(設(shè)計意圖：學(xué)生自己推導(dǎo)，有利于學(xué)生對兩個公式聯(lián)系的理解.)3.公式應(yīng)用階段例1:求正整數(shù)中前 n個奇數(shù)的和.解法1 ：設(shè)正整數(shù)中的奇數(shù)列為an,則首項為a1=i,公差為d =2,an =2n 1 ,Snn(a1 , an) _ n1 (2n -1)n (n 1)2斛法 2：a1 = 1, a2 = 3. d = 2Sn = n 12 = n2例2:等差數(shù)列-10 , -6 , -2 , 2,前多少項的和是 54 ?解：本例題已知公差為 4,首相為一10,前n項和為54,欲求項數(shù)n,于是變用公式2。54= 10n +

11、 n(n1)4 解得：n = 3 或 n=92又因為項數(shù)不能為負(fù)數(shù)，所以3舍去，一共有9項(設(shè)計意圖：讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識，熟練公式的應(yīng)用。)練習(xí)1.在等差數(shù)列aj中，已知a10 =29,S10 =155，求a1。解：由已知得：(a1 +29)父10 =155, 2練習(xí)2.在等差數(shù)列中，已知a6 *a15 =10 ,求S20 . 解法 1: a6 +a15 =10 ,.a1 5d a114d =10即 2a119d =10=10 10=100解法2:S20二 20a1=10(2a1 19d) =10 10 =100解法3:20(a1 a20)= 20 a6 a15 _ 20 102 一 2 一

12、 2-10020 a1 a2。20al (a1 19d) 1 20 2a119d（設(shè)計意圖：學(xué)以致用，直接運(yùn)用公式加深的公式的認(rèn)識和理解。主要通過方程的思想進(jìn)行基 本量的運(yùn)算。注意理解格式和規(guī)范。）4、反思總結(jié)、深化認(rèn)識.（請學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@）1 .你在知識與技能上的收獲：c _ n(a1 an)一Sn -o(1)兩個公式2;Sn二na1n(n -1)d2.注意：當(dāng)d =0時，Sn =na1,（2）推導(dǎo)公式的倒序相加法.2 .從等差數(shù)列前n項和公式的探究過程你有什么收獲？ 從特殊到一般和類比探究的方法.3 .你對數(shù)學(xué)的認(rèn)識有什么提高：數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)生活反之又為生產(chǎn)生活服務(wù)；數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程

13、是數(shù)學(xué)重要的思想；敢于 探索、敢于發(fā)現(xiàn)的精神，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.（設(shè)計意圖：圍繞三圍目標(biāo)進(jìn)行小結(jié).）4 .你有什么疑問？（沒有人提疑問時教師反問）什么時候使用倒序相加法？倒序之后對應(yīng)項之和相等.（設(shè)計意圖：“你有什么疑問？”有利于發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在的問題，鞏固倒序相加法.促進(jìn)了學(xué)生的反思，有利于查漏補(bǔ)缺，也有利于教師的反思）5、布置作業(yè)，加強(qiáng)鞏固必做題：課本142頁，練習(xí)A1、2;選做題：課本142 頁，練習(xí)B,1（ 設(shè)計意圖: 必做題是讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識，熟練公式的應(yīng)用。根據(jù)我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)他們分析問題解決問題的能力，我們設(shè)計了選做題，達(dá)到分層教學(xué)的目的。）【 教學(xué)反思】 ：綜觀本節(jié)課，存在有特點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：1 、合理地對教材進(jìn)行了個性化處理，挖掘了教材中可探究的因素，促使學(xué)生探究、推導(dǎo)。例如：等差數(shù)列前n 項和的公式一，是通過具體的例子，引到一般的情況，激勵學(xué)生進(jìn)行猜想，再進(jìn)行論證得出；而第二個公式并不象書本上那樣直接給出，而是讓學(xué)生從習(xí)題中進(jìn)行歸納總結(jié)得到的。這樣處理教材，使學(xué)生的