定積分的概念1

1、11.5.3 1.5.3 定積分的概念定積分的概念2一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面積和S=如果當(dāng)如果當(dāng)n時(shí)，時(shí)，S 的無限接近某個(gè)常數(shù)，的無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的上的定積分定積分，記作，記作 ba (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnba即3定積分的定義：定積分的相關(guān)

2、名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即Oabxy)(xfy 4 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限5baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 說明：說明：(1) 定積分是一個(gè)數(shù)值定積分是一個(gè)數(shù)值,它

3、只與被積函數(shù)及積分它只與被積函數(shù)及積分 區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即baf(x)dx baf (x)dx -(3)6二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) ab 時(shí)，有baf (x)dx0。 7 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，由時(shí)，由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yO

4、dxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：積分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在幾幾何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 S S8ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的如何用定積分表示圖中陰影部

5、分的面積面積?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx9三、 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf badx)x(fk10三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab

6、 yf (x)11性質(zhì)性質(zhì) 3 不論不論a，b，c的相對(duì)位置如何都有的相對(duì)位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 12 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計(jì)算計(jì)算 的值的值. 130 x d x解：令3xxf）（1）分割在區(qū)間【0，1】上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)，把區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間).,2, 1(,1ninini每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度.11xnnini13（2）近似代替、作和則取), 2 , 1(niniinSdxx103nnixnifnini1.)().(311224134) 1(41.11nnninni2)11 (41n14（3）取極限41n1141nlimnlimdxx2n103）（Sdxxx2102）（dxxxdx2