高中常用函數(shù)的基本性質(zhì)及圖像

1、一次函數(shù)（一）函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法：（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開(kāi)放方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。（二）一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如y=+h（k,人是常數(shù)，且E0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中X是自變量。當(dāng)力=°時(shí)，一次函數(shù)y=kx,又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是）=乙要判斷一個(gè)函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式.當(dāng)=。，I。時(shí)，y=kx仍是一次函數(shù).當(dāng)b=Q

2、,k=°時(shí)，它不是一次函數(shù).（4）正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k尹0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx（k不為零）k不為零x指數(shù)為1b取零當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)成0時(shí)，口直線y=kx經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.（1）解析式：y=kx（k是常數(shù)，kO）（2）必過(guò)點(diǎn)：（0,0）、（1,k）（3）走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；k<0時(shí)，口圖像經(jīng)過(guò)二、四象限（4）增減性：k&

3、gt;0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小（5）傾斜度：k越大，越接近y軸；k越小，越接近x軸3、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地,形如y=kx+b(k,b是常數(shù),k0),那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即y=kx,所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b(k不為零)k不為零x指數(shù)為1b取任意實(shí)數(shù)一次函數(shù)疔kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)(0,b)和0)兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.(當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)成0時(shí)，向下平移)(1) 解析式：y=kx+b(k.b是常數(shù),k=0)(2)

4、 必過(guò)點(diǎn)：(0,b)和0)k(3) 走向：k>0,圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限b>0,圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限k>0依>0。直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限。直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限b>0b<0,k<0。直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限b>0k<0。直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限/?<0(4) 增減性：k>0,y隨x的增大而增大;k<0,y隨x增大而減小.(5) 傾斜度：k越大，圖象越接近于y軸；k越小，圖象越接近于x軸.(6) 圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平

5、移b個(gè)單位;當(dāng)成0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.4、一次函數(shù)y=kx+b的圖象的畫(huà)法.根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)能畫(huà)出一條直線，并且只能畫(huà)出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫(huà)一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下：是先選?。╞-£，°它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0,b）,X此人即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).5、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)b>0時(shí).向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)概念一般地，形如y=k

6、x（k是常數(shù)，k尹0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，k尹0）,那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，是y=kx,所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).自變量圍X為全體實(shí)數(shù)圖象一條直線必過(guò)點(diǎn)（0,0）、（1,k）（0,b）和0）k走向k>0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)一、三象限；成0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)二、四象限k>0,b>0,直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限k>0,b<0直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限k<0,b>0直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限kVO,bVO直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限增減性k>0,y隨X的增大而增大；（從左向右上升）k<0

7、,y隨X的增大而減小。（從左向右下降）傾斜度k|越大，越接近y軸；k|越小，越接近x軸圖像的平移b>0時(shí),將直線y=kx的圖象向上平移舛個(gè)單位；*0時(shí)，將直線疔kx的圖象向下平移網(wǎng)個(gè)單位.圖象正40fe<0比yjk例T、1函LzX數(shù)/JO5y-kx/11z»o6<0b>06<0次函數(shù)i/kxbX0|X46、直線y=kxx+b（k】尹0）與y=k2x+b2（處=0）的位置關(guān)系（1）兩直線平行<=>&=且4鄧2（2）兩直線相交<=>化黃、（3）兩直線重合<=>4=七且Z?=b（4）兩直線垂直=-17、用待定系數(shù)法確

8、定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.8、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=O（a,b為常數(shù)，aHO）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.9、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或

9、ax+b<0（a,b為常數(shù)，a尹0）的形式,所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（小）于0時(shí)，求自變量的取值圍.10、一次函數(shù)與二元一次方程組（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=-%4-的bb圖象相同.a.x+by=c.cl們（2）二元一次方程組二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=+c（a,b,c是常數(shù)，“。）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)“。0,而。，?？梢詾榱?二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).1的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y二一工+和“2工+。2）'=。2加y=-全x+塵的圖象交點(diǎn).b2b2二次函數(shù)一、二次

10、函數(shù)概念：如b,C是常數(shù)，。是二次項(xiàng)系數(shù)，人是一次項(xiàng)系數(shù)，C是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式 一般式：f(x)=ax2+bx+ca0) 頂點(diǎn)式：/(x)=«(X4-7W)2+(“#0)線段=|而一巧|=普=.J當(dāng)八=b2-4ac=。時(shí)，二次函數(shù)的圖像和x軸有兩個(gè)重合的交點(diǎn)M,02a特別地，當(dāng)且僅當(dāng)0=0時(shí)，二次函數(shù)=壬0)為偶函數(shù).1. 二次函數(shù)基本形式：y=的性質(zhì):a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a>0向上(0,0)y軸x>0時(shí)，y隨*的增大而增大；xv。時(shí)，y隨X的增大而減?。籄=0時(shí)，V有最小值0a<0向下(0,0)y軸x&g

11、t;0時(shí)，y隨a的增大而減??；xvO時(shí)，y隨x的增大而增大；x=。時(shí)，y有最大值0.2. y=ax2+c的性質(zhì):上加下減。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)“>0向上(。頊y(cè)軸x>0時(shí)，y隨a的增大而增大；XV。時(shí)，y隨X的增大而減?。粁=0時(shí)，y有最小值C.a<0向下(°-C)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；xvO時(shí)，y隨X的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值C.3.ya(x-h)2的性質(zhì):左加右減。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a>0向上(如0)X=hx>h時(shí)，y隨a的堪大而增大；x<h時(shí)，y隨工的增大而減??；x=h時(shí)，y有最小值0a&l

12、t;0向下3,0)X=h時(shí)，y隨A的增大而減小;x<h時(shí)，y隨X的增大而增大；x=h時(shí)，y有最大值0.4.y=o(x-/?)+A的性質(zhì):。的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a>0向上(/")X=hx>h時(shí)，y隨a的增大而增大；x<h時(shí)，y隨X的增大而減?。粁=/7時(shí)，y有最小值A(chǔ).(/?，k)x>h時(shí)，y隨a的增大而減??；x<h時(shí)，y隨工的增大而增大；x=h時(shí)，y有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一:將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（/?,k）；向上伏>0）【或向下（R0）平移水1個(gè)單位>y

13、=(ix2+k向右仇>0）【或左（農(nóng)0）】平移比I個(gè)單位向右（fc>o）【或左（農(nóng)0）】平移ki個(gè)單位y=a(xJi)y=a(xJi)向右（fc>0）【或左（農(nóng)0）】平移ki個(gè)單位向上（k>0）【或下（炊0）】平移舊個(gè)單位向右（力>0）【或左很0）】平移|婦個(gè)單位向上（k>0）【或下（炊0）】平移舊個(gè)單位>y=a(X'h)2k向上伙>0）【或下（炊0）】平移I加個(gè)單位T.衛(wèi)（2）保持拋物線），=小2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到（Lk）處，具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“力值正右移，負(fù)左移；A值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)

14、字“左加右減，上加下減”(Dy=ax2+bx+c沿y軸平移：向上(下)平移個(gè)單位，y=ax2+bx+c變成y=ax2+bx+c+m(或y=ax1+bx+c-m)y=ax2+bx+c沿軸平移：向左(右)平移？個(gè)單位，y=ax2+bx+c成y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=ax一m)2+b(xm)+c)四、二次函數(shù)y=n(x-/j)?+k與y=ax2+bx+c的比較從解析式上看，y="（A-4+k與戶杯+8+c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中土豐氣匕五、二次函數(shù)y=ca2+bx+c圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)

15、=a（x-h）2+k,確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)（0，c）、以及（0,c）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（2/nc）.與X軸的交點(diǎn)（A-,0）,（X,0）（若與X軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).、頂點(diǎn)坐標(biāo)為4mW、六、二次函數(shù)y=ax2+hx+c的性質(zhì)1. 當(dāng)">0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=-b當(dāng)x<一e時(shí)，y隨X的增大而減??；當(dāng)X>時(shí)，y隨工的增大而增大；當(dāng)%=-2a2xi2a時(shí)，），有最小值.4a2

16、. 當(dāng)"VO時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為二,頂點(diǎn)坐標(biāo)為螞仝"當(dāng)2a2a4aJ時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x=-Bf,2a&2ay有最大值竺.七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2+bx+c（ab,c為常數(shù)，。0）；2. 頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a9h,A為常數(shù)，）;3. 兩根式：>,=d（.¥-A1）（A-X2）（"HO,Xt,X,是拋物線與X軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都尋以化成一般式或成點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與a軸有交點(diǎn)，即b2-4ac>

17、;。時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)。二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然“=0.（1）當(dāng)">0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，“的值越大，開(kāi)口越小，反之。的值越小，開(kāi)口越大；（2）當(dāng)“VO時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，"的值越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大.總結(jié)起來(lái)，。決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，“的正負(fù)決定開(kāi)口方向，|“|的大小決定開(kāi)口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)入在二次項(xiàng)系數(shù)。確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸.（1）在“0的前提下，當(dāng)人0時(shí)，0,即拋物線的對(duì)稱軸在y

18、軸左側(cè)；2a當(dāng)人=0時(shí)，-玄=0,即拋物線的對(duì)稱軸就是），軸；2a當(dāng)人0時(shí)，-30,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).2a（2）在“0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；2a當(dāng)人=0時(shí)，-3=0,即拋物線的對(duì)稱軸就是），軸；2a當(dāng)bvO時(shí)，0,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).2a泌的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸x=-在y軸左邊則瀝。，在y軸的右側(cè)2a則瀝0.概括的說(shuō)就是“左同右異"3. 常數(shù)項(xiàng)c（1）當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在a軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;（2）當(dāng)。=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;（3）當(dāng)cvO時(shí)

19、，拋物線與y軸的交點(diǎn)在a軸下方，即拋物線與v軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來(lái)，。決定了拋物線與），軸交點(diǎn)的位置.總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式;3. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式;4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五

20、種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于x軸對(duì)稱y=ax2+bx+c關(guān)亍x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=f(xF)2"2. 關(guān)于y軸對(duì)稱y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=ux2-bx+c;y=a(x-h)k關(guān)于)，軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-cix2+bx-c；y=a(x-h)k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y-a(x+h)2-k;4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。)y=ax2+bx+c

21、關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ilx2-bx+c-:y=a(x-h)2+k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k.5. 關(guān)于點(diǎn)(;n,n)對(duì)稱y=a(x-h)'+k關(guān)于點(diǎn)(?，m)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)+2nk根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此|"|永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二

22、次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)情況）：元二次方程cix2+hx+c=o是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值），=0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)A=/r-4iic>0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（m,0）,8（易，。）（為。易），其中的X,與是一元二次方程ax2+/?A+c=0（n*0）的兩根.這兩點(diǎn)間的距離 當(dāng)=（）時(shí)，圖象與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)AvO時(shí)，圖象與X軸沒(méi)有交點(diǎn).r當(dāng)>o時(shí)，圖象落在*軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有>->o；2, 當(dāng)“<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.2. 拋物

23、線>=<u?+bx+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：（1）求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；（2）求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；（3）根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y=ax2+bX+c中a,b,。的符號(hào)，或由二次函數(shù)中。，b,c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；（4）二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與刀軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).>0拋物線與A軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等

24、實(shí)根=0拋物線與工軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根v0拋物線與X軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，一元二次不等式心2+侏+c>o(“，o)的解集就是二次函數(shù)fx)=ax1+bx+c(a)的圖像上，位于x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；一元二次不等式cix1+/zr+c<0(#0)的解集就是二次函數(shù)f(x)=(ix2+bx+c(a0)的圖像上，位于x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；一元二次不等式(ix2+bx+c>0(a0)的解集就是二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖像上

25、，位于x軸上方的點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合;一元二次不等式ax2+bx+c<0(a0)的解集就是二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖像上，位于x軸下方的點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合.元二次方程ax2+Zzr+c=0("#0)的解就是二次函數(shù)f(x)=ax2+Zzr+c("#0)的圖像上，與a軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)圖象：反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的雙曲線函數(shù)解析式k>0k<0ky=-AykvJykv0r增減性在每i象限內(nèi)jy隨X增大而誠(chéng)小在每一象限內(nèi)，y隨X增大而增大反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線

26、會(huì)無(wú)限接近X軸Y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交(KAO)。2、性質(zhì)：1. 當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限，y隨x的增大而減??；當(dāng)成0時(shí)，圖象分別位于二、四象限，同一個(gè)象限,y隨x的增大而增大。2. k0時(shí)，函數(shù)在x<0上同為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；成0時(shí)，函數(shù)在x<0±為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。定義域?yàn)閤"0；值域?yàn)閥尹0。3. 因?yàn)樵趛=k/x(k0)中，x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。4. 在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)P,Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)

27、軸圍成的矩形面積為SI,S2則S1=S2=|K|5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分線），對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。6. 若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號(hào)），那么AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。7. 設(shè)在平面有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n,要使它們有公共交點(diǎn),則n"2+4kmN（不小于）0。8. 反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。9. 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對(duì)稱，并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.10. 反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線，交于q、w,則矩形mw

28、qo（o為原點(diǎn)）的面積為|k|11. k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12. |k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。13. 反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)指數(shù)函數(shù)概念：一般地.函數(shù)y=a（a>0,且al）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。注意：1.指數(shù)函數(shù)對(duì)外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。a>l指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì):圖象Viy-1一一一一一1y=av/")(0,1)Xiy=av(«/<!)(0.1)y=1O"xQV性（1）定義域：R（2

29、）值域：（0.+s）（3）過(guò)點(diǎn)（0.1）.即.r-0時(shí).、，=1質(zhì)（4）在R上是增函數(shù)（4）在R匕是減函數(shù)0<«<1規(guī)律：1.當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，但這兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性。1ntnAA7«tnnnhnrmrutnn2. 當(dāng)a>l時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸；當(dāng)0<aVl時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近y軸。在y軸右邊“底大圖高,'；在y軸左邊“底大圖低”。3. 四字口訣：“大增小減"。即：當(dāng)a>l時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0VaVl時(shí),圖像

30、在R上是減函數(shù)。4.指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較幕式大小的方法：1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2. 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論；3. 當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較;4. 對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移:在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。在f（X）后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。對(duì)數(shù)函1 .對(duì)數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)尸=1在定義域（-8,+8）上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù)y=a（a>0,a尹1）的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù),并記為y=log

31、.,x（a>0,a尹1）.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)yr*的定義域?yàn)椋?8,+8）,值域?yàn)椋?#176;,+8）,所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=log.x的定義域?yàn)椋?,+8）,值域?yàn)椋?8,+8）.2 .對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對(duì)稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=log.x（a>0,a尹1）的性質(zhì)，我們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中作出函數(shù)y=log2X,y=logioxty=logioxty=log）x,y=logx的草圖由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a尹1)的圖像的特征

32、和性質(zhì)見(jiàn)下表.圖象a>la<l1X=1y:y=logaXd>l)Ki:X=1oy=log3x(0<a<l)O(1,0)X性質(zhì)(l)x>0(2)當(dāng)x=l時(shí),y=0(3)當(dāng)x>l時(shí),y>00<x<l時(shí)，y<0(3)當(dāng)x>l時(shí)，y<00<x<l時(shí)，y>0(4)在(0,+8)上是增函數(shù)(4)在(0,+8)上是減函數(shù)補(bǔ)充性質(zhì)設(shè)yi=log.xy2=logbX其中a>Lb>1(或OVaVl0<b<l)當(dāng)X>1時(shí)“底大圖低"即若a>b則yt>y2當(dāng)0<x&

33、lt;l時(shí)“底大圖高”即若a>b,則y,>y2比較對(duì)數(shù)大小的常用方法有:(1) 若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2) 若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3) 若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4) 若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0,-1等中間量進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)比名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a>0,al)y=logax(a>0,al)定義域(一8,+8)(0,+8)值域(0,-8)(一8,+8)函數(shù)值變化情況當(dāng)a>l時(shí)，>l(x>0)*=1(工=0)

34、<l(x<0)當(dāng)0Va<l時(shí)，當(dāng)時(shí)>0(%>1)logqM=0(x=l)<0(x<l)當(dāng)OVaVl時(shí)，f<0(x>l)log。A-=0(A"=1)>0(x<l)<l(x>0)=l(.v=O)>l(x<0)單調(diào)性當(dāng)a>l當(dāng)0Va<l時(shí),，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù).當(dāng)a>l時(shí)，log.,x是熠函數(shù)；當(dāng)0<a<l時(shí)，log.,x是減函數(shù).圖像的圖像與y=log4x的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.幕函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)暮函數(shù)y=x"隨著的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，

35、可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法.熟練掌握y=當(dāng)=±2,±1,±上，上，3的圖像和性質(zhì)，列表如下.'23從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過(guò)點(diǎn)(1,1),除原點(diǎn)外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過(guò)第四象限. 。=：，!，1,2,3時(shí)，幕函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)且在0,+S)上是增函數(shù). =；,1,2時(shí)，幕函數(shù)圖像不過(guò)原點(diǎn)且在(0,+s)上是減函數(shù). 任何兩個(gè)幕函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn).y=xn奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)n>yrXXy0X0<77<1yy二yI二wXoXoXn<0JkykyL.oX¥X0Xy=xy=x2y=a1£y=x2y=廣定義域RRRxx&