《數(shù)學(xué)模型第三版》學(xué)習(xí)筆記

1、數(shù)學(xué)模型（第三版）學(xué)習(xí)筆記寫(xiě)在開(kāi)始一小康社會(huì)歡迎您今天第一次歸納、復(fù)習(xí)，整理思路重點(diǎn)，從最后兩章（除了“其他模型”）開(kāi)始，想可能印象比較深刻?？蓪?shí)際開(kāi)始總結(jié)才發(fā)現(xiàn)對(duì)于知識(shí)的理解和掌握還有很大差距，自己也是自學(xué)看書(shū)，非常希望各位提出寶貴意見(jiàn)，內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法經(jīng)驗(yàn)上的都是整本書(shū)讀下來(lái)感覺(jué)思路、數(shù)學(xué)都有很大拓展，總結(jié)起來(lái)有一下幾個(gè)特點(diǎn)：（1） “實(shí)際一模型”的建模過(guò)程很關(guān)鍵，本書(shū)的模型很多雖然所謂“簡(jiǎn)單”、“假設(shè)多”，但簡(jiǎn)化分析還，還真難找到比它更合適、更合理、更巧妙的建模、假設(shè)了；（2） 模型求解之后的處理，許多地方似乎求解完畢可以結(jié)束，但卻都未戛然而止，而是進(jìn)一步“結(jié)果分析”、“解釋”，目的不一，

2、要看進(jìn)程而定，有的促進(jìn)了模型的改進(jìn)，有的對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果做出了現(xiàn)實(shí)對(duì)應(yīng)的解釋?zhuān)ㄟ@一點(diǎn)建模過(guò)程中也經(jīng)常做，就是做幾步解釋一下實(shí)際意義），也還有純數(shù)學(xué)分析的，這些都是很重要的，在我看來(lái)，這本書(shū)中的許多模型、論文似乎到了“結(jié)果分析”這一步才剛剛開(kāi)始，前面的求解似乎是家常便飯了；（3） 用各種各樣的數(shù)學(xué)工具、技巧、思想來(lái)建模的過(guò)程，這本書(shū)讀下來(lái)愈發(fā)覺(jué)得線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性，同時(shí)書(shū)中也設(shè)計(jì)到了一些（雖是淺淺涉及）新的數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，許多我在讀的過(guò)程中只是試圖了解這個(gè)思想，而推導(dǎo)過(guò)程未能花很多時(shí)間琢磨，但即便如此，還是讓我的數(shù)學(xué)知識(shí)有了很大的拓展（作為工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生）。從上周六繼續(xù)自學(xué)數(shù)學(xué)模型開(kāi)始一周，

3、比預(yù)期的時(shí)間長(zhǎng)了許多，但是過(guò)程中我覺(jué)得即便如此也很難領(lǐng)會(huì)完整這本書(shū)的內(nèi)容。最近學(xué)習(xí)任務(wù)比較多，所以?xún)商烨翱炜赐陼r(shí)到現(xiàn)在一直未能做個(gè)小結(jié)，從今天起每天做2章的小結(jié)，既是復(fù)習(xí)總結(jié)重點(diǎn)，也是請(qǐng)諸位同學(xué)指教、提意見(jiàn)交流畢竟自己領(lǐng)會(huì)很有限。也可以作為未讀過(guò)、準(zhǔn)備讀這本書(shū)的同學(xué)的參考TonySunJuly2012,TJU（目前已更新：全12章）第1章建立數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型意義特點(diǎn)第1章是引入的一章，對(duì)數(shù)學(xué)模型的意義來(lái)源，做了很好的解釋。其實(shí)數(shù)學(xué)模型也是模型的一種，是我們用來(lái)研究問(wèn)題、做實(shí)驗(yàn)的工具之一，只不過(guò)它比較“理論”、“摸不著”而已。但通常，數(shù)學(xué)模型有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，而且我們可以根據(jù)建模實(shí)際需要改變

4、模型，成本也比較低；同時(shí)數(shù)學(xué)模型手段之一計(jì)算機(jī)模擬也有很好的效果。椅子在不平的地面上放穩(wěn)、商人安全過(guò)河、預(yù)報(bào)人口增長(zhǎng)這3個(gè)熟悉的例子，用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)進(jìn)行描述、建模分析，給數(shù)學(xué)模型一個(gè)最好的詮釋?zhuān)河脭?shù)學(xué)語(yǔ)言描述事物、現(xiàn)象一一往往增添了說(shuō)服力。第2章初等模型關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化技巧思想這一章顧名思義，是一些用“初等”數(shù)學(xué)知識(shí)建立、求解的模型，雖然數(shù)學(xué)知識(shí)比較易懂，但是其中的巧妙思想確實(shí)十分重要的。如何把問(wèn)題做恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，到簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具能夠表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同時(shí)分析也很精彩。2.1節(jié)公平席位分配，通過(guò)定義不公平程度等衡量標(biāo)準(zhǔn)，確立目標(biāo)，提出Q值法。有意思的是，在考慮是否存在一個(gè)

5、理論上公平的分配方法時(shí)，根據(jù)所提出的4個(gè)（毋庸置疑的）公理，得出的結(jié)論卻是：不存在滿(mǎn)足上述公理的分配方法。這種類(lèi)似情況在本書(shū)中后面的例子也出現(xiàn)過(guò)。這給我們什么啟示呢？有些問(wèn)題和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能達(dá)到絕對(duì)公平也要分配，但一旦證明不存在理論上公平的分配方法時(shí)，我們還有分配的意義嗎？答案不一；在這個(gè)例子中，固然是有意義的，我們自然轉(zhuǎn)而尋求一個(gè)相對(duì)公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通過(guò)刪改公理來(lái)取得更公平方案。錄像機(jī)計(jì)數(shù)器、雙層玻璃功效、剎車(chē)距離等模型，均是用日常現(xiàn)象、基礎(chǔ)的物理知識(shí)和巧妙簡(jiǎn)化進(jìn)行的建模分析，這里每個(gè)例子中的

6、分析，求解后的解釋很重要一一它們是整個(gè)模型的關(guān)鍵，闡述現(xiàn)象。2.7實(shí)物交換一一是后面經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的雛形，無(wú)差別曲線的圖形方法，確定這種曲線實(shí)際中要收集大量的數(shù)據(jù)；核軍備競(jìng)賽一節(jié)，也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，基本全是用曲線進(jìn)行分析的一一這里給我們一個(gè)思想，得出表達(dá)式后，許多時(shí)候我們只關(guān)注曲線的形狀、趨勢(shì)，因此作圖分析是很好的方法，圖中可以給我們很多信息（交點(diǎn)，截距，極限值），而這些信息都一一對(duì)應(yīng)著它們的實(shí)際意義；有些即使沒(méi)有明顯的含義，但也很可能為接下來(lái)的鋪墊、預(yù)測(cè)作下鋪墊。2.10量綱分析與無(wú)量綱化一一是另一種重要的求解方法，大致來(lái)說(shuō)思想就是：僅知道變量之間的制約關(guān)系（正/負(fù)相關(guān)），系數(shù)、階數(shù)均未知

7、，即只能得出表達(dá)式的“形式”，要我們通過(guò)“量綱齊次性”（等式兩端必須保持量綱的一致）來(lái)確定具體的表達(dá)式。這是與按理論推導(dǎo)建模并列的另一種方法，這一節(jié)用單擺、拋射等物理問(wèn)題很好地詮釋了這種方法的強(qiáng)大。關(guān)鍵：恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度，不僅可以減少獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)，還幫助我們決定舍克哪些次要因素。物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是關(guān)鍵。第2章小結(jié)：本章可以總結(jié)為“初等數(shù)學(xué)知識(shí)+巧妙簡(jiǎn)化技巧+思想”，10節(jié)涉及了不同類(lèi)型的問(wèn)題、數(shù)學(xué)方法，很多都是本書(shū)后面章節(jié)模型的雛形、基礎(chǔ)。第3章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)單優(yōu)化微分法建模思想本章與第4章連續(xù)兩章都是優(yōu)化、規(guī)劃的問(wèn)題，可以看成一類(lèi)問(wèn)題一一內(nèi)容上也是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜。在第3章中，主要是

8、幾個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型，可以歸結(jié)到函數(shù)極題問(wèn)題來(lái)求解，直接用微分法。雖然模型、數(shù)學(xué)計(jì)算難不倒，但是還是那句一一建模，求解之后結(jié)果分析、結(jié)果解釋的思想，是我們要學(xué)習(xí)和引入腦中的。3.1 存貯模型分不允許、允許缺貨兩種討論，中間推出一個(gè)最小費(fèi)用的結(jié)果一一經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式EOQ對(duì)存貯量函數(shù)q(t)作圖，觀察規(guī)律，對(duì)結(jié)果解釋。3.2 生豬出售時(shí)機(jī)小鍵點(diǎn)在于敏感性分析和強(qiáng)健性分析一一這對(duì)于優(yōu)化模型是否實(shí)用、有效是很重要的。3.3 森林救火亮點(diǎn)是對(duì)火勢(shì)莫延程度dB/dt的形式作出的數(shù)條假設(shè)，以及假設(shè)對(duì)應(yīng)的實(shí)際解釋。只要合理、自圓其說(shuō)，就是一個(gè)好的對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化。3.4 最優(yōu)價(jià)格主要是引出邊際收入、編輯支出，

9、以及經(jīng)濟(jì)學(xué)一條著名定律一一最大利潤(rùn)在邊際收入等于編輯支持時(shí)達(dá)到。3.5 血管分支是很有趣的一節(jié)，用數(shù)學(xué)模型研究生理問(wèn)題，我們還是只關(guān)注建模、數(shù)學(xué)的層面，而對(duì)于血管系統(tǒng)幾何形狀等生理學(xué)知識(shí)不討論過(guò)多，用合理有力的假設(shè)代之。3.6 消費(fèi)者的選擇一個(gè)消費(fèi)者買(mǎi)兩種產(chǎn)品時(shí)，錢(qián)應(yīng)該如何分配。分配比例使他得到最大的滿(mǎn)意度的最優(yōu)比例乘務(wù)消費(fèi)者均衡，而建立消費(fèi)者均衡模型的關(guān)鍵在于確定效用函數(shù)U(q1,q1)。3.7 冰山運(yùn)輸也是很有趣的問(wèn)題，考慮各種因素，基于一些假設(shè)，這節(jié)研究怎樣運(yùn)輸冰山使費(fèi)用最小。其中用實(shí)際數(shù)據(jù)建立了經(jīng)驗(yàn)公式，二是假設(shè)冰山為球形，簡(jiǎn)化了融化規(guī)律等的計(jì)算。第4章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)劃方法

10、lingo/lindo軟件結(jié)果深入分析變量個(gè)數(shù)約束條件、可行域、目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)成了常說(shuō)的“數(shù)學(xué)規(guī)劃”模型。本章揭示了數(shù)學(xué)規(guī)劃的本質(zhì)，和它與傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學(xué)問(wèn)題的區(qū)別：常理優(yōu)化模型屬于函數(shù)極值問(wèn)題的范疇，但實(shí)際中更多的是決策變量數(shù)、約束個(gè)數(shù)較大，且最優(yōu)解往往在邊界上取得的問(wèn)題，因此不能用傳統(tǒng)的“微分法”求解一一因此要引入“數(shù)學(xué)規(guī)劃”方法。這一章內(nèi)容不少，但都是一類(lèi)問(wèn)題，主要點(diǎn)有幾個(gè)：1 .lingo、lindo求解的使用運(yùn)行結(jié)果中還有一些平時(shí)未留意的信息，可以作為結(jié)果分析來(lái)用，前兩節(jié)敘述較多；2 .一些細(xì)節(jié)之處：把一句話(huà)用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，它往往作為約束條件，如p102的式（19）;3 .多目標(biāo)規(guī)劃的處理

11、，p109的“選課策略”一一基本思想是通過(guò)加權(quán)組合形成一個(gè)新的目標(biāo)，從而化為單目標(biāo)規(guī)劃；4 .同前面章節(jié)一樣地，對(duì)一個(gè)問(wèn)題解出結(jié)果后，問(wèn)題雖然解決了，但分析并沒(méi)有結(jié)束一一我們要學(xué)習(xí)這種furtherdiscussion的精神，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果“恰與相同之類(lèi)的，不妨多問(wèn)自己一句：”這是偶然的嗎？”然后繼續(xù)分析，得出一般的結(jié)論，這樣往往能看到更多的風(fēng)景，得出的結(jié)論更有含金量/啟發(fā)性，而不是僅僅是解決了該個(gè)問(wèn)題而已。如p109選課策略。5 .減少變量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化模型、式子（簡(jiǎn)化起見(jiàn)，同時(shí)lingo對(duì)變量個(gè)數(shù)有限制），p115銷(xiāo)售的例子。6 .求最優(yōu)解時(shí)，為了減少搜索范圍，加快速度，可以先去一個(gè)特殊情況求出

12、一個(gè)可行解，然后讓最優(yōu)解至少優(yōu)于它。第5章微分方程模型關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)模型合理假設(shè)分析預(yù)測(cè)控制這一章是非常經(jīng)典的一章，對(duì)微分方程模型作了很好的詮釋、介紹，每一個(gè)模型都有富的價(jià)值。對(duì)于隨時(shí)間連續(xù)變化的對(duì)象或狀態(tài)，當(dāng)我們要1）分析變化規(guī)律；2）預(yù)測(cè)；3）研究如何控制它的時(shí)候，就要建立相應(yīng)的微分方程模型。自然地，這樣的模型功能非常強(qiáng)大，也具有一般性，也自然地需要在簡(jiǎn)化假設(shè)上動(dòng)腦筋一一如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言能表述的東西來(lái)刻畫(huà)一個(gè)實(shí)際動(dòng)態(tài)過(guò)程。一個(gè)方程，有時(shí)就表示著一件事，這件事有可能還持續(xù)幾十年多么有趣而強(qiáng)大。5.1 傳染病模型本節(jié)是解決“傳播”、“莫延”微分方程問(wèn)題的典例，模型分三部分層層遞進(jìn)：SI（只分為易感

13、染著、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新變?yōu)橐赘腥菊撸?，SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）o可以說(shuō)從基礎(chǔ)模型到一步步遞進(jìn)，是對(duì)實(shí)際傳染病情況的逐漸深入、全面的考慮，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最細(xì)的章節(jié)。其中引入了“相軌線”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，這一節(jié)有很詳細(xì)的介紹。模型改進(jìn)、建模目的性、方法三者配合,是本節(jié)5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型通過(guò)建立產(chǎn)值與1）資金；2）勞動(dòng)力之間的關(guān)系，來(lái)研究1）資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使效益最大;2）如何調(diào)節(jié)資金、勞動(dòng)力增長(zhǎng)率，使勞動(dòng)生產(chǎn)率有效增長(zhǎng)。本模型雖然不長(zhǎng)，但推導(dǎo)出計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)一重要模Douglas生產(chǎn)函數(shù)。本節(jié)給出的模型

14、推導(dǎo)稍繁，但結(jié)果簡(jiǎn)明，有合理解釋。5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)這一節(jié)介紹了歷史上用過(guò)的、經(jīng)典的預(yù)測(cè)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，有傳統(tǒng)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)、稍復(fù)雜的游擊戰(zhàn)，以及混合戰(zhàn)。重點(diǎn)在于建模過(guò)程：如何描述戰(zhàn)爭(zhēng)雙方的特性，如何作假設(shè)。然后用來(lái)分析硫磺島戰(zhàn)役。這節(jié)很好地體現(xiàn)了微分方程的強(qiáng)大。5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除本節(jié)建立了房室模型，研究血藥濃度的變化過(guò)程，為制訂給藥方案、劑量大小提供數(shù)量依據(jù)。重點(diǎn)在于1）模型的假設(shè)：盡管是簡(jiǎn)化，但由臨床試驗(yàn)證明是正確的，可以接受；2）對(duì)參數(shù)的估計(jì)。先由機(jī)理分析確定方程形式，再由測(cè)試數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)。5.5 香煙過(guò)濾嘴的作用看起來(lái)不易下手的一個(gè)問(wèn)題，用恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，引入兩個(gè)基本函數(shù)q,

15、w,及物理學(xué)常用的守恒定律，建立出微分方程模型，從而構(gòu)造動(dòng)態(tài)模型。本例是經(jīng)典的建模案例。5.6 人口的預(yù)測(cè)和控制本節(jié)模型與之前的區(qū)別在于：考慮年齡的分布，即除了時(shí)間外，年齡是另一個(gè)自變量。過(guò)程中重要的是數(shù)學(xué)公式中，系數(shù)、因子的實(shí)際含義要解釋。這個(gè)模型巧妙地引入了“儀器靈敏度”指標(biāo)，不僅幫助建模，而且該指標(biāo)本身是客觀存在的，并非虛構(gòu)，這樣更加有說(shuō)服力。5.8萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)十分有意義的一節(jié)。我們初中就熟悉的牛頓萬(wàn)有引力定律，是由開(kāi)普勒第三定律和牛頓第二定律一同推與出的，這一節(jié)再現(xiàn)了這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程。這個(gè)模型告訴我們：正確假設(shè)+用數(shù)學(xué)演繹建模=對(duì)自然科學(xué)研究的巨大作用。我們要學(xué)習(xí)科學(xué)家前輩們?nèi)绾蝿?chuàng)造

16、性地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，來(lái)提升我們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。第6章穩(wěn)定性模型關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性理論建而不解平衡狀態(tài)趨勢(shì)相軌線本章是建立在上一章的基礎(chǔ)上，在微分方程基礎(chǔ)上引入的一種重要思想/概念，那就是一一對(duì)于某些問(wèn)題，我們可能不關(guān)注動(dòng)態(tài)過(guò)程的每個(gè)瞬時(shí)狀態(tài)，而是研究穩(wěn)定狀態(tài)的特征，特別是時(shí)間充分長(zhǎng)以后的狀態(tài)/趨勢(shì)，從而判斷是否“穩(wěn)定”。這時(shí)我們往往不需要“求解”微分方程（組），即“建而不解”；而是利用“微分方程穩(wěn)定性理論”直接研究平衡狀態(tài)穩(wěn)定性即可。*6.6微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介這一節(jié)應(yīng)為優(yōu)先閱讀的一節(jié)，介紹了如何判斷一階、二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。數(shù)學(xué)推導(dǎo)稍復(fù)雜（對(duì)于未接觸過(guò)的同學(xué)），重要在于了解一些概念、結(jié)

17、論，在模型實(shí)例中來(lái)進(jìn)一步理解。6.1 捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲研究捕魚(yú)業(yè)產(chǎn)量、效益和捕撈過(guò)度問(wèn)題，如何捕撈能獲得最大收益。這個(gè)問(wèn)題雖然看似只需要給出一個(gè)“捕撈量”的答案就可以了，但是模型整個(gè)過(guò)程分析中還是得出了許多結(jié)論，如經(jīng)濟(jì)學(xué)捕撈過(guò)度、生態(tài)學(xué)捕撈過(guò)度等概念。在穩(wěn)定的前提下步步深入。6.2 軍備競(jìng)賽這個(gè)問(wèn)題在第二章初等模型中就出現(xiàn)過(guò)，這里用微分方程穩(wěn)定性的知識(shí)來(lái)分析。正如本節(jié)引言所說(shuō)，軍備競(jìng)賽因素很多，無(wú)法圓滿(mǎn)描述，只是想告訴我們：一個(gè)復(fù)雜實(shí)際過(guò)程可以被合理簡(jiǎn)化到什么程度，得到的結(jié)果又怎樣解釋實(shí)際現(xiàn)象。6.3 種群的相互競(jìng)爭(zhēng)6.4種群的相互依存6.5食餌捕食者模型這三節(jié)作為一個(gè)系列，用種群競(jìng)爭(zhēng)、依存、

18、捕食這類(lèi)生物學(xué)案例來(lái)詮釋穩(wěn)定性模型的應(yīng)用。其中，相軌線分析法再次成為主角，它的意義在于：從圖中曲線上直觀地看出發(fā)展趨勢(shì)，且特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的意義作出解釋。第7章差分方程模型關(guān)鍵詞：差分方程穩(wěn)定性離散時(shí)段差分阻滯增長(zhǎng)混沌將時(shí)間離散化后，就可以建立與微分方程相對(duì)應(yīng)的差分方程模型。這章與第8章討論的是確定性離散模型。實(shí)際上有些問(wèn)題既可以用連續(xù)，又可以用離散，要看目的而定。離散的一個(gè)優(yōu)勢(shì)在于，便于計(jì)算機(jī)求解。7.5差分方程簡(jiǎn)介：介紹差分方程穩(wěn)定性的知識(shí)，判別穩(wěn)定的條件。本章要用到的知識(shí)。7.1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型先用圖形法建立市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的“蛛網(wǎng)模型”，給出趨于穩(wěn)定的條件，再用差分方程建模，解釋結(jié)果。本節(jié)開(kāi)頭

19、的“問(wèn)題前瞻、介紹”部分很經(jīng)典，可作為建模論文寫(xiě)作的參考。本節(jié)最后對(duì)結(jié)果的解釋也非常值得學(xué)習(xí)：?jiǎn)⑹疚覀?，一些?shù)學(xué)結(jié)果如參數(shù)前后的變大/變小，可能意味著什么，我們不要輕易放過(guò)，而是要時(shí)刻不忘解釋相對(duì)應(yīng)的原因。7.2 減肥計(jì)劃一一節(jié)食與運(yùn)動(dòng)這是一個(gè)很生活的問(wèn)題，主要討論如何把一個(gè)“超重”的人減到目標(biāo)的正常范圍內(nèi)（均以WT頒布的體重指數(shù)BMI衡量）。我認(rèn)為這個(gè)模型的兩點(diǎn)仍然在建模本身：及如何將減肥計(jì)劃中“減肥”這一件事量化，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言可以表達(dá)，寫(xiě)出差分方程。其中p208的“基本方程”式（1）是整個(gè)模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其實(shí)是一個(gè)“建而不解”的方程。但正如節(jié)

20、末評(píng)注中所述，實(shí)際參數(shù)的設(shè)置會(huì)更復(fù)雜,代謝消耗系數(shù)beta也因人而異、因環(huán)境而異，所以要有更多核對(duì)。但我們先要學(xué)習(xí)的還是建模這一步。7.3 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型此節(jié)是與之前用微分方程Logistic規(guī)律描述的“阻滯增長(zhǎng)”規(guī)律最好的對(duì)比。有時(shí)，用離散化的時(shí)間研究比較方便，本節(jié)是很好的參考。（按：本人曾經(jīng)做過(guò)用差分方程加修正，描述人數(shù)傳播問(wèn)題，個(gè)人認(rèn)為很多情況用差分方程更好，也更“誠(chéng)實(shí)”些，因?yàn)槲覀円仓皇窍胍總€(gè)時(shí)段的數(shù)量）要注意的是：若用離散描述，需要說(shuō)明各“時(shí)段”指代意義。推出p211的式（6）后，這個(gè)一階分線性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此處“不解”是指不需求通項(xiàng)公式，但各項(xiàng)的值仍

21、要計(jì)算一一用計(jì)算機(jī)遞推可方便得到。我們最關(guān)心的往往是k趨向無(wú)窮時(shí)，y/x收斂情況，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的問(wèn)題。這里微分、差分方程判別上有區(qū)別。P212中，通過(guò)深入討論和213頁(yè)的數(shù)據(jù)表發(fā)現(xiàn)，不同的參數(shù)b下收斂情況不一，然后發(fā)現(xiàn)了“倍周期收斂”的規(guī)律，即存在多個(gè)收斂的子序列。然后發(fā)現(xiàn)當(dāng)n區(qū)域無(wú)窮時(shí)，不在存在任何倍周期收斂，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象（Chaos）。混沌的特點(diǎn)為對(duì)初值極度敏感，這一點(diǎn)在物理課中老師也提到過(guò)，許多非線性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效應(yīng)。7.4 按年齡分組的種群增長(zhǎng)這個(gè)模型的主要區(qū)別在于：將種群分成n個(gè)年齡組，分析各年齡組對(duì)種群總量增減的影響。這一節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)稍繁。第8章離

22、散模型關(guān)鍵詞：層次分析排名次沖量過(guò)程“分贓”群體決（本章是確定性離散模型的應(yīng)用、方法）8.1 層次分析模型社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析工具。排名、評(píng)分評(píng)價(jià)，排等級(jí)都可以用層次分析模型解決，數(shù)學(xué)知識(shí)雖然不深，但是思想十分巧妙且合理，可擴(kuò)展性也很好。關(guān)鍵在于1）“成對(duì)比較矩陣”的確定及修正，2）特征根法求權(quán)向量的原理（重要），3）1-9比較尺度（Satty等人提出），4）一致性檢驗(yàn)。8.2 循環(huán)比賽的名次這節(jié)也是對(duì)一些排名評(píng)價(jià)“難題”給出一種經(jīng)典解法：鄰接矩陣+得分向量。轉(zhuǎn)化為計(jì)算各級(jí)得分向量s、A最大特征根&寸應(yīng)特征向量so按常理一般只會(huì)想到基于原鄰接矩陣的1級(jí)得分向量，若比不出則停滯了；但若將i級(jí)

23、乘回鄰接矩陣，可以“發(fā)展”到i+1級(jí)得分向量一一這個(gè)思想是本模型的關(guān)鍵，而且簡(jiǎn)單易用易理解。對(duì)于所謂的“下一級(jí)”得分向量定義的原理依據(jù)，或?qū)嶋H意義，是此思想的關(guān)鍵，我覺(jué)得可以接受,看上去很有道理，但未想出具體的解釋?zhuān)@里歡迎指教、討論。（p246）8.3 社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過(guò)程區(qū)別于機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析，沖量過(guò)程與層次分析屬于“系統(tǒng)分析”，是近20年來(lái)發(fā)展起來(lái)的解決復(fù)雜系統(tǒng)的有力工具。這節(jié)模型研究能源系統(tǒng)中，各個(gè)因素的趨勢(shì)、預(yù)測(cè)問(wèn)題。主要工具有：帶符號(hào)加權(quán)的有向圖，沖量過(guò)程（類(lèi)比物理“沖量”概念）。其目的無(wú)非是研究系統(tǒng)的“穩(wěn)定性”，以及如何“調(diào)整”到穩(wěn)定。這是實(shí)際問(wèn)題關(guān)注的。8.4 效益的合理分

24、配幾方（大于3方）合作，已知不同子組合可獲得不同收益，那么一起合作后，誰(shuí)的功勞最大？也就是說(shuō)，干完活后，如何“分贓”一一這里是理性的、用數(shù)學(xué)推理的公平的“分贓”。本節(jié)介紹了3類(lèi)方法：Shapley值，協(xié)商解等，Raiffa解。最后用一個(gè)3方分配例子對(duì)比了這3種方法。3種方法特點(diǎn)在p262。是客觀求各因素權(quán)重的有力途徑。8.5 存在公正的選舉規(guī)則嗎這一節(jié)類(lèi)似第2章的“公平席位”。主要討論的是“群體決策”這一類(lèi)問(wèn)題。首先是簡(jiǎn)單的選舉規(guī)則。接著介紹ArrowK的工作：提出一組公理，卻證明不存在滿(mǎn)足這組公理的選舉規(guī)則，但很具有啟發(fā)性。然后是聯(lián)合尺度選舉規(guī)則，它是一個(gè)簡(jiǎn)單易行的規(guī)則（但是對(duì)投票情況限制了

25、，才可能滿(mǎn)足Arrow公理）。最后是一種與Arrow公理無(wú)關(guān)的規(guī)則一一最小距離，這是一種類(lèi)比思想，很巧妙地把公平轉(zhuǎn)化為距離之和最小的最優(yōu)化問(wèn)題。第9章概率模型關(guān)鍵詞：隨機(jī)模型基礎(chǔ)概率生滅過(guò)程數(shù)值解分析相對(duì)“確定性”模型來(lái)說(shuō)，當(dāng)隨機(jī)因素的影響不可忽略時(shí)，就要建立隨機(jī)模型。概率模型就是比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)模型，這一章用我們熟悉的概率分布、期望、方差等知識(shí)介紹概率模型怎樣處理隨機(jī)因素的。關(guān)鍵點(diǎn)有：1 .如何定義隨機(jī)因素相關(guān)的量。針對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，做好定義是開(kāi)始工作的根本。2 .隨機(jī)概率模型一般從離散角度（一個(gè)個(gè)時(shí)段）下手，但求解中為了需要可能會(huì)轉(zhuǎn)化為連續(xù)（如p274的求和轉(zhuǎn)化為積分）。3 .要靈活根據(jù)實(shí)際

26、問(wèn)題，決定哪些參數(shù)應(yīng)設(shè)為定值，哪些參數(shù)會(huì)變（如9.4軋鋼問(wèn)題，重量服從正態(tài)分布中，均方差應(yīng)認(rèn)為是已知的定值，而均值是可以調(diào)整的）。4 .一般的“生滅過(guò)程”參考9.5的隨機(jī)人口模型一一相比之前的人口模型，這個(gè)更加一般，考慮的因素更多，更接近實(shí)際。5 .有些模型無(wú)法解析求解，然而數(shù)值計(jì)算的結(jié)果已滿(mǎn)足我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析的需要（9.6預(yù)訂票策略）。第10章統(tǒng)計(jì)回歸模型關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)擬合MATLAB統(tǒng)計(jì)殘差分析自相關(guān)逐步回歸對(duì)于有些內(nèi)部規(guī)律復(fù)雜、無(wú)法分析內(nèi)在機(jī)理的問(wèn)題，我們建模、擬合的通常做法就是搜集大量的數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)方法建立模型一一統(tǒng)計(jì)回歸模型。關(guān)鍵點(diǎn)有:1 .做散點(diǎn)圖，大致判斷函數(shù)趨勢(shì)（比如有明顯的線

27、性增長(zhǎng)），確定方程形式，待定系數(shù)。2 .用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱regress擬合，得出結(jié)果；重點(diǎn)：如何由MATLAB輸出結(jié)果下結(jié)論（如置信區(qū)間不要包含零點(diǎn)，RA2>F）。3 .（考慮實(shí)際問(wèn)題制約）適當(dāng)引入變量簡(jiǎn)化問(wèn)題，如10.1中引入價(jià)格差（p297最后一段說(shuō)明）。4 .利用好回歸變量的預(yù)測(cè)（置信）區(qū)間。5 .改進(jìn)回歸模型：逐漸考慮回歸變量之間的交互作用一一在方程中引入二次項(xiàng)、交叉項(xiàng)。若MATLAB擬合輸出信息表明有改進(jìn)，則說(shuō)明模型更符合實(shí)際。還可加上作圖對(duì)比前后模型（p300）。6 .殘差分析（p305,但這頁(yè)我未看懂具體做法，待交流），及分析得出的結(jié)論，我們應(yīng)該怎樣改進(jìn)模型。7 .

28、p307評(píng)注內(nèi)容：0-1變量法、殘差分析法、異常值應(yīng)剔除。8 .線性化（p309）,及非線性MATLAB求解（p310）;p315最后兩段。9 .自相關(guān)的考慮（10.4節(jié)）：若存在自相關(guān)性（具有滯后性，即前期對(duì)后期有影響的時(shí)間序列），普通回歸模型將失去意義。我們必須先檢測(cè)是否存在自相關(guān)（D-W僉驗(yàn)、廣義差分法），同時(shí)注意若高階自相關(guān)，則必須改進(jìn)直至不存在自相關(guān)為止。10 .逐步回歸：因素較多時(shí)，排除次要因素，用來(lái)選擇影響因素顯著的變量。第11章馬氏鏈模型關(guān)鍵詞：離散隨機(jī)過(guò)程無(wú)后效性轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)選取基本概念這章介紹了處理離散隨機(jī)過(guò)程的重要工具一一馬氏鏈模型，及若干個(gè)應(yīng)用?？傮w從淺到深，闡述了馬氏

29、鏈的主要思想。1 .無(wú)后效性/Markov性：系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)時(shí)隨機(jī)的，這個(gè)時(shí)期到下個(gè)時(shí)期狀態(tài)按照一定概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移，且下個(gè)時(shí)期狀態(tài)只取決于1）這個(gè)時(shí)期狀態(tài)2）轉(zhuǎn)移概率，與以前各時(shí)期狀態(tài)無(wú)關(guān)。2 .馬氏鏈（MarkovChain）模型通常描述：已知現(xiàn)在,將來(lái)與歷史無(wú)關(guān)，具有無(wú)后效性的，時(shí)間狀態(tài)均離散的隨即轉(zhuǎn)移過(guò)程。3 .一些確定性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題也能用馬氏鏈處理。一、健康與疾病主要介紹馬氏鏈基本概念、要素：系統(tǒng)的狀態(tài),狀態(tài)概率，轉(zhuǎn)移概率，馬氏鏈基本方程，狀態(tài)概率向量，轉(zhuǎn)移概率矩陣。本章討論時(shí)齊的（轉(zhuǎn)移概率與時(shí)段無(wú)關(guān)）馬氏鏈。同時(shí)介紹2種主要類(lèi)型1）正則鏈：從任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過(guò)有限次轉(zhuǎn)移

30、都能達(dá)到另外的任意狀態(tài)（如何判斷是正則鏈、相應(yīng)定理）；2）吸收鏈：首先引入吸收狀態(tài)，顧名思義吧，就是某個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率=1,即進(jìn)了這個(gè)狀態(tài)就出不來(lái)了，被“吸收”掉。吸收鏈?zhǔn)牵ㄖ辽伲┐嬖谝粋€(gè)吸收狀態(tài)，使馬氏鏈從每個(gè)費(fèi)吸收狀態(tài)出發(fā)，能有限次到某個(gè)吸收狀態(tài)。二、鋼琴銷(xiāo)售的存貯策略動(dòng)態(tài)隨機(jī)存貯。一個(gè)簡(jiǎn)化的存貯模型，關(guān)鍵是從中理解狀態(tài)變量、需求量、轉(zhuǎn)移矩陣的設(shè)置和求解。判斷轉(zhuǎn)移矩陣P為正則鏈后，用公式求出穩(wěn)態(tài)概率分布w,就是達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的情況，然后用全概率公式算出失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)的可能性。這個(gè)模型雖然簡(jiǎn)單，但卻是動(dòng)態(tài)存儲(chǔ)馬氏鏈的淺顯易懂的好例子，其中結(jié)合實(shí)際問(wèn)題具體分析是最值得學(xué)習(xí)的。三、基因遺傳用馬氏鏈模型研究遺傳過(guò)程，關(guān)鍵是建模的過(guò)程即選取系統(tǒng)的狀態(tài)，這在“隨機(jī)交配”和“近親繁殖”中需用不同的設(shè)法。隨機(jī)交配過(guò)程推導(dǎo)的結(jié)果是（pA2,2pq,qA2）分布將保持下去，即遺傳學(xué)中的Hardy-W