信號與系統(tǒng)ch5_連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析51-南航

1、黎寧黎寧通信與信息工程系通信與信息工程系電子信息工程學(xué)院電子信息工程學(xué)院1第五章第五章LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)2LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)3引言引言u可以求系統(tǒng)的全響應(yīng)可以求系統(tǒng)的全響應(yīng)v計算過程簡化計算過程簡化變卷積運算為乘法運算變卷積運算為乘法運算變方程的微積分運算為乘除運算變方程的微積分運算為乘除運算w對信號的適應(yīng)性比傅里葉變換強，不用引入奇異函對信號的適應(yīng)性比傅里葉變換強，不用引入奇異函數(shù)數(shù)LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分

2、析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)4引言引言v 頻域分析法需進行正反兩次變換，且付氏變換的頻域分析法需進行正反兩次變換，且付氏變換的運用要受絕對可積條件的限制，所以運用要受絕對可積條件的限制，所以求連續(xù)系統(tǒng)求連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)時更多地采用復(fù)頻域分析法的響應(yīng)時更多地采用復(fù)頻域分析法( (拉氏變換法拉氏變換法) )v 頻域分析法地位重要頻域分析法地位重要 復(fù)頻域分析法是頻域分析法的推廣； 信號的頻譜具有明確的物理意義； 當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)無法確知時，在復(fù)頻域中無法得到反映系統(tǒng)功能的系統(tǒng)函數(shù)，但在頻域中可通過實驗測得。LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)5主要內(nèi)容主

3、要內(nèi)容 1234LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)6v拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)中是直接從積分變換的觀點拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)中是直接從積分變換的觀點定義的，我們將從信號分析的角度出發(fā)，由定義的，我們將從信號分析的角度出發(fā)，由傅里傅里葉變換推廣到拉普拉斯變換葉變換推廣到拉普拉斯變換v1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 函數(shù)f(t)不滿足絕對可積條件往往是由于當(dāng)t 時f(t)不衰減造成的 若人為乘上一個衰減因子e-t，則就可能可能符合絕對可積條件，因而其傅里葉變換存在。拉普拉斯變換拉普拉斯變換1LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)

4、的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)7拉普拉斯變換拉普拉斯變換v1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換、從傅里葉變換到拉普拉斯變換dtetfdteetfetftjtjtt)()()()(Fjs令dtetfsFt s)()(desFtftj)()(21)(dsjdjs1jjstdsesFjtf)(21)(LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)8拉普拉斯變換拉普拉斯變換v雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換v單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換dtetftfsFstd)()(L)(jjstddsesFjsFtf)(21)(L)(1dtetft

5、fsFst0)()(L)()()(21)(L)(1tdsesFjsFtfjjst)()(sFtf一對拉普拉斯變換對f(t)稱為原函數(shù)F(s)稱為象函數(shù)LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)9拉普拉斯變換拉普拉斯變換v2 2、拉普拉斯變換的物理意義、拉普拉斯變換的物理意義 FT: 將信號分解為無窮多個 分量,每個分量的幅度為 LT: 將信號分解為無窮多個 分量,每個分量的幅度為 dejFtftj)(21)(tjedjF)(21jjstdsesFjtf)(21)(stedssFj)(21拉普拉斯變換的s與傅里葉變換的j相對應(yīng)LOGO第五章第五章

6、連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)10拉普拉斯變換拉普拉斯變換v2 2、拉普拉斯變換的物理意義、拉普拉斯變換的物理意義s為復(fù)頻率 拉普拉斯變換分析法常稱為復(fù)頻域分析法 在傅里葉變換中一對 合成一個實信號，代表的是一個正弦分量； 在拉普拉斯變換中的一對 也應(yīng)合成一個實信號，它代表的是一個什么分量呢？ tjtjee,ststee,LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)11拉普拉斯變換拉普拉斯變換v含義含義 在復(fù)平面中的分布情況密切相關(guān) 根據(jù)各種不同的分布情況來研究其含義stejsLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)

7、的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)12拉普拉斯變換拉普拉斯變換v含義含義j原點直流分量k實軸非振蕩信號l虛軸與傅里葉變換一樣代表一個等幅的正弦分量s離實軸越遠(yuǎn)振蕩頻率越高ste越快指數(shù)衰減（左半實軸）指數(shù)增幅（右半實軸）離虛軸越遠(yuǎn)增長、衰減00LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)13拉普拉斯變換拉普拉斯變換v含義含義m右半平面合成一個指數(shù)增幅的正弦振蕩信號s離實軸越遠(yuǎn)振蕩頻率越高s離虛軸越遠(yuǎn)增幅越快n左半平面合成一個指數(shù)衰減的正弦振蕩信號s離實軸越遠(yuǎn)振蕩頻率越高s離虛軸越遠(yuǎn)增幅越快stes 在左半平面est 為衰減型s

8、 在右半平面est 為增長型LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)14拉普拉斯變換拉普拉斯變換v2 2、拉普拉斯變換的物理意義、拉普拉斯變換的物理意義 拉普拉斯變換：將f(t)沿-j+j分解為無窮多個est分量 拉普拉斯反變換：沿-j+j積分路徑，將無窮多個est分量迭加得f(t) 傅里葉變換：沿路徑 -j+j虛軸的分解與迭加(拉普拉斯變換特例)LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)15 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域v當(dāng)f(t)乘上一個因子e-t后，f(t) e-t有可能收斂，到

9、底是否收斂還取決于的取值，這就是拉普拉斯變換的收斂域問題1仍不滿足絕對可積條件滿足絕對可積條件可見仍不滿足絕對可積條件則若取絕對可積則若取不滿足絕對可積條件例如：3;3)()(2)()(4)()(243teetfteetftetftttttLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)16拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域v1 1、定義、定義 能使f(t) e-t 滿足絕對可積條件的的取值范圍稱拉普拉斯變換的收斂域 在收斂域內(nèi)f(t)的拉普拉斯變換F(s)存在，在收斂域外則不存在 F(s)的所有極點必須在收斂域外LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系

10、統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)17拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域v2 2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法的收斂域。即為存在，絕對可積則時若)()()(0)(lim00sFsFetfetfttt在 s 平面上 以= 0 為界將s 平面分為兩個區(qū)域。 = 0 稱收斂軸（邊界）0 為收坐標(biāo)，0 為收斂域（不包含邊界）LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)18拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域v3 3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域 持續(xù)時間有

11、限的單個脈沖信號 能量有限，不管取何值 總是滿足，收斂域為整個s平面，拉斯變換無條件存在 單位階躍信號 收斂域為不包含虛軸的右半平面 單邊指數(shù)信號0)(limttetf00)(lim只要容易看出，要tett只要要0lim)(lim)(ttttteeteLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)19拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域v3 3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域 單邊指數(shù)信號只要要0lim)(lim)(ttttteeteLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與

12、系統(tǒng)20拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域v3 3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域 單邊斜變信號相同。信號所以收斂域與單位階躍只要容易看出，要)(00)(limtttettLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)21拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域v3 3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域 結(jié)論 在電子技術(shù)中常用的有始函數(shù)一般都屬于指數(shù)階函數(shù)，單邊拉普拉斯變換存在，有收斂域。 能量有限的信號，單邊拉普拉斯變換的收斂域為整個復(fù)平面。 有始無終的單邊函數(shù)，單邊拉普拉斯變換的收斂域總

13、是在某一收斂軸的右邊。 在收斂域中不包含極點。 凡符合絕對可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換，收斂域必定包含虛軸；反之，凡不符合絕對可積條件的函數(shù)，收斂域必不包含虛軸，傅里葉變換不一定存在。LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)22 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換v 1為常數(shù)、指數(shù)函數(shù))(1tetsdtedtetedtetfsFtssttst1)()()(0)(00stet1)(LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)23常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉

14、斯變換v j(t)1/s為常數(shù)、指數(shù)函數(shù))(1tet)(tets1)(0ts10LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)24常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換v k單邊正弦函數(shù)sin0t (t)為常數(shù)、指數(shù)函數(shù))(1tet20200001121LL2121)(sinL0000sjsjsjeejeejLtttjtjtjtj0收斂域為衰減的正弦、余弦、雙曲函數(shù)等都可用同樣的方法求出LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)25常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換v2、t 的正冪函數(shù)t

15、n(t) (n為正整數(shù))(L11)(L101000ttsndtetnetsdetsdtetttnstnstnstnstnn121!)(L1)(L)(LnnnnsnttsnsnttsnttLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)26常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換v3、單位沖激函數(shù)(t)v 常用函數(shù)拉普拉斯變換見p2151)()(L0dtettstLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)27常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換v符合絕對可積條件的函數(shù)符合絕對可積條件的函數(shù)不僅存

16、在拉普拉斯變換，不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換。所以，其而且存在傅里葉變換。所以，其傅里葉變換和拉傅里葉變換和拉普拉斯變換可以相互轉(zhuǎn)化普拉斯變換可以相互轉(zhuǎn)化)()(sFjFsjsj LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)28常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換v對不符合絕對可積條件的函數(shù)對不符合絕對可積條件的函數(shù)，其傅里葉變換和，其傅里葉變換和拉普拉斯變換則拉普拉斯變換則不符合不符合上面的轉(zhuǎn)化關(guān)系上面的轉(zhuǎn)化關(guān)系LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)29 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉

17、普拉斯變換的性質(zhì)v拉普拉斯變換性質(zhì)是針對單邊拉普拉斯變換v拉普拉斯變換性質(zhì)可簡化運算v注意傅里葉變換和拉普拉斯變換性質(zhì)的相似之處和不同之處 線性、尺度變換 時間與復(fù)頻域平移 時域微分與積分 復(fù)頻域微分與積分 對參變量的微分與積分 初值定理、終值定理、卷積定理1LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)30拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v1 1、線性、線性 v2 2、尺度變換、尺度變換 )()(,)()(2211sFtfsFtf)()(sFtfLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)31拉普拉

18、斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v3 3、時間平移時間平移 例1：f(t)如圖求F(s)()()(sFttf)()()(Ttttf)1 (111)(L)(L)(sTsTesessTttsFLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)32拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v3 3、時間平移時間平移 例2：求有始周期函數(shù) f(t)的F(s),若其第一個周期的函數(shù)記為f1(t),且)()(11sFtf)2()()()(111TtfTtftftf01121111)()()()()()(nsTnsTsTsTesFesFesFesFsFsFLOGO第五章第五章

19、 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)33拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v3 3、時間平移時間平移 結(jié)論j對于周期為T的有始周期函數(shù)，求其拉普拉斯變換只要求其第一個周期的變換，然后再乘以k函數(shù)的分母含有上述因子，則要考慮其原函數(shù)是有始周期信號。求原函數(shù)時,只求一周內(nèi)信號的反變換,然后再以T為周期延拓。LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)34拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v3 3、時間平移時間平移 例3：求f(t)已知sTesF11)(sTsTsTeeesF21111)(sTesF1)(1)()()

20、(1Ttttf01)2()(nnTtftf由圖我們可以寫出f(t)更簡潔的形式0)() 1()(nnnTttfsTesF11)(LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)35拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v3 3、時間平移時間平移)2()()1()()5()2()2sin()()4()()()3()2()()2()2()()1 ()2()2(ttttftttftetftetftetftttLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)36拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v3 3、時間平移時間平

21、移) 12() 121(tftf和LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)37拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v3 3、時間平移時間平移 例6 求下列波形所示信號的L變換LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)38拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v4 4、復(fù)頻域平移、復(fù)頻域平移 例7 )()(sFtf200202002)()cos()()sin(ssttstt，21)(stt的象函數(shù)，求已知：)23(1)(2tfesssFtLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻

22、域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)39拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v5 5、時域微分、時域微分 0000)0()()()()()()(LfssFdtetfsetftdfedtedttdfdttdfstststst推廣到n階導(dǎo)數(shù)LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)40拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v6 6、時域積分、時域積分 ssFdtetfsdfesdedfsdtedfdfsttststtsttt)()(1)(1)(1)()(L00000000 證明：可推廣到多重積分的情況LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)

23、頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)41拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v7 7、復(fù)頻域微分與積分、復(fù)頻域微分與積分 sstsxtsxtsdxxFttfdtettfdtdxetfdxdtetfdxxF)()()()()()()( :000積分證明LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)42拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v8 8、對參變量的微分與積分、對參變量的微分與積分 LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)43拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v8 8、對參變量的微分與積分、對參變量的微

24、分與積分)()()(8sFttetft求已知例222)(1)()(11)()()2()(11)()() 1 (ssFssttetessdsdttetfttt使用參變量微分性質(zhì)：、使用微分性質(zhì)：LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)44拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v9 9、初值定理、初值定理 若函數(shù)f(t)存在導(dǎo)數(shù)f (t)，且f(t)F(s)， f(t)存在拉普拉斯變換00000( )( )(0 )( )( )( )( )(0 )( )(0 )(0 )lim( )(0 )ststststsdf tsF sfdtdf tdf tdf t

25、sF sfe dte dte dtdtdtdtdf tffe dtdtsF sf證明： 由時域微分性質(zhì)即：兩邊求極限得LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)45拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v9 9、初值定理、初值定理 如果f(t)在t=0處有沖激及其導(dǎo)數(shù)存在，則F(s) 為假分式，可分解為s的多項式與真分式之和)()(10sFsasaasFppp)(lim)0()0()0()()( )()()()()(10ssFffftfatatatfsFtfpspppppp的值，所以：不影響由于沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則：設(shè)：LOGO第五章第五章 連續(xù)時間

26、系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)46拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v1010、終值定理、終值定理 若函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)f (t)存在拉普拉斯變換，F(xiàn)(s) 的極點都位于極點都位于s平面的左半平面平面的左半平面或在原點處有一在原點處有一個單極點個單極點。)()0()()0()(lim)0()(lim)()0()(0000ffffdtedttdffssFdtedttdffssFstssst上面已證明證明：LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)47拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v例題例題 0)(lim)()

27、(lim)0()(1)()()0()(90ssFfsssFssfssFssFtfsssFssp平面的左半平面位于的極點為由于解：的初值和終值。求例LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)48拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v例題例題 不存在。在虛軸上有共軛極點解：的初值和終值。求例，)()(1lim)(lim)0()()(100212022202fjssFssssFftfsssFssLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)49拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v例題例題 例11 已知 求f

28、(t)的初值和終值6424125)(223ssssssFLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)50拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v1111、卷積定理、卷積定理 例12 )(,)1()(2tfsesFs求LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)51拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v總結(jié)總結(jié)LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)52拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v總結(jié)總結(jié)LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的

29、復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)53拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)v練習(xí)練習(xí)9ln)()4()1()3()1 (1)2(4)1(2)1 (222)1(sssFseessesssLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)54 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v拉普拉斯反變換時與傅里葉反變換一樣，我們主拉普拉斯反變換時與傅里葉反變換一樣，我們主要也是依靠常用變換對，再結(jié)合性質(zhì)和典型例子，要也是依靠常用變換對，再結(jié)合性質(zhì)和典型例子，通過將通過將F(s)化成我們認(rèn)識的變換對，然后直接寫化成我們認(rèn)識的變換對，然后直接寫出原函數(shù)出原函數(shù)v方法方法 部分分式展

30、開法 圍線積分法1LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)55拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法為實數(shù)為正整數(shù)banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)56拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法)()3()(2311)(3112, 12122, 121)2)(1(12)()(2312)(12221121212teetfsssFsskssksssk

31、skssssFtfssssFttss解：求、例為真分式即且個單極點有)(,)()1 (21sFmnsssnsFnLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)57拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法 則應(yīng)將F(s)化為多項式和真分式之和，而多項式的反變換為沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，真分式則可用部分分式展開法求反變換為實數(shù)為正整數(shù)banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111為假分式即個單極點，但有)()()2(sFmnnsFLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的

32、復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)58拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法為假分式即個單極點，但有)()()2(sFmnnsF)(462918102)(2223tfssssssF求、例128124914424629181024622223232ssssssssssssss)()3(21)(2)( )(2312212)(22teetttfsssssFttLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)59拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v 1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復(fù)根 則在部分

33、分式展開時應(yīng)把它們作為整體來處理為實數(shù)為正整數(shù)banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)60拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復(fù)根21)(52)(32, 12jstfssssF極點解：求、例222222) 1(2212) 1(14) 1()(ssssssF)()2sin212(cos)(tttetftLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與

34、系統(tǒng)61拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復(fù)根010120120122,31)()()3)(1(2)(4bbaasbsbsasasFtfssssF用待定系數(shù)法確定解：求、例應(yīng)為一次式。其中或)(),(3)(1)()(212221sksksskssksFLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)62拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復(fù)根)()3sin313cos21sincos21()(33313211

35、112131211121)(12112)() 3()(12132)() 1()(22222232322121212222ttttttfsssssssssssFssssFsskssssFsskssss)()3)(1(2)(422tfssssF求、例LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)63拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復(fù)根2143313)(1145213)(52)(3)()()()52)(3(13)(504)1(05222204)1(2)1(0322122212222

36、222sssssksssssskssskssksFtfsssssFssssss解：求、例LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)64拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復(fù)根4) 1(2234) 1(222222ssssssssssssF)()2sin232cos3sin313(cos)(ttetetttftt)()52)(3(13)(5222tfsssssF求、例LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與

37、系統(tǒng)65拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(4)若F(s) 有一個p階極點s1, n-p個單極點sp+1，. sn為實數(shù)為正整數(shù)banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(01110111nnppiippppnpppssKssKssKssKssKssKsssssssssNsDsNsF1111111111111211)()()()()()()()()()(LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)66拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(4)若F(s)

38、有一個p階極點s1, n-p個單極點sp+1，. sn為實數(shù)為正整數(shù)banmasasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm,)()()(011101111 )()()!(111sspipipisFssdsdipK其中：)()!1()(L111111tetiKssKtsiiii而：npitsitsipiiteKtetiKtfi1111)()()!1()(1LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)67拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(4)若F(s) 有一個p階極點s1, n-p個單極點sp+1，. sn)(

39、) 1(2)(63tfssssF求、例1) 1() 1()()(1, 0)(21222323121sKsKsKsKsFsssF三階有四個極點：解：32,2) 1(2123031ssssKssK222)!23(112122sssssdsdKLOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)68拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v1 1、部分分式展開法、部分分式展開法(4)若F(s) 有一個p階極點s1, n-p個單極點sp+1，. sn24212212)!13(1131212221sssssdsdssdsdK12) 1(2) 1(32)(23sssssF)(2)

40、2223()()!11 (2)!12(2)!13(32)(202tetttettttftt)() 1(2)(63tfssssF求、例LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)69拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v2 2、圍線積分法、圍線積分法 復(fù)變函數(shù)中的圍線積分 復(fù)變函數(shù)g(s)沿s平面中不經(jīng)過極點的閉合路徑c的積分(積分方向為反時針方向)可由g(s)在圍線內(nèi)極點上的留數(shù)來確定。 對照拉普拉斯反變換公式： niicsjdssg1Re2)(jjstdsesFjtf)(21)(LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與

41、系統(tǒng)信號與系統(tǒng)70拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v2 2、圍線積分法、圍線積分法 對照拉普拉斯反變換公式： 一個復(fù)變函數(shù)積分問題 被積函數(shù)F(s)est, 積分路徑-j +j 不是圍線. 補充一個半徑為無窮大的半圓使它成為一個閉合路徑，同時可以保證被積函數(shù)的所有極點在圍線內(nèi)。jjstdsesFjtf)(21)(LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)71拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v2 2、圍線積分法、圍線積分法niiACBstBAstcstsdsesFjdsesFjdsesFj1Re)(21)(21)(21BAstjjstdsesFjdsesF

42、jtf)(21)(21)(顯然niiACBststfdsesFj1Re)(0)(21那么若能證明復(fù)變函數(shù)的積分問題轉(zhuǎn)化成求被積函數(shù)極點上留數(shù)的問題。LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)72拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v2 2、圍線積分法、圍線積分法 復(fù)變函數(shù)中的約當(dāng)引理已經(jīng)解決了這個問題，但要滿足兩個條件: 1、當(dāng) s =R時， F(s) 0 2、因子est中指數(shù)st的實部t應(yīng)滿足t 0 t， 0為某一常數(shù)。 必須有 1、 F(s)為真分式 2、 t 0 則 0 應(yīng)取左半圓弧 （2）t0 應(yīng)取右半圓弧單邊拉普拉斯變換t總是大于0LOGO第五章第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)73拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換v2 2、圍線積分法、圍線積分法總結(jié) 拉普拉斯變換中的被積函數(shù)為F(s)est，顯然F(s)的極點就是F