光子晶體負(fù)折射的理論研究

1、合肥師范學(xué)院2015屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目： 光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象理論研究 學(xué) 院 電子信息工程學(xué)院 學(xué)科門(mén)類(lèi) 工學(xué) 專 業(yè) 電子信息工程 學(xué) 號(hào) 1111410018 姓 名 張靜 指導(dǎo)教師 況曉靜 2015年5月5日II 摘 要光子晶體是最近幾來(lái)年逐漸成為熱門(mén)研究領(lǐng)域之一的研究項(xiàng)目，之所以成為熱門(mén)的研究對(duì)象主要是因?yàn)楣庾泳w本身具有很多優(yōu)越的特殊性質(zhì)。而光子晶體的負(fù)折射特性成為最熱門(mén)的研究領(lǐng)域之一，因?yàn)楣庾泳w的負(fù)折射特性能夠突破光學(xué)分辨率極限，打破傳統(tǒng)成像的衍射極限，可以利用具有負(fù)折射特性的光子晶體制作成超透鏡，實(shí)現(xiàn)了“完美成像”。另外，還可以利用具有負(fù)折射特

2、性的光子晶體制作出特殊的光學(xué)器件，如利用光子晶體這一的特性將電磁波段從微波轉(zhuǎn)化到光波段等。本課題主要研究了光子晶體負(fù)折射的特性，為了更加清晰地了解光子晶體的特性，首先分別介紹了光子晶體和負(fù)折射的概念特性，在這個(gè)基礎(chǔ)上著重研究具有負(fù)折射特性的光子晶體結(jié)構(gòu)及它們的應(yīng)用,通過(guò)特殊設(shè)計(jì)來(lái)利用光子晶體的負(fù)折射特性,以獲得所需的性能。同時(shí)回顧了負(fù)折射介質(zhì)的研究歷史，綜述了光子晶體負(fù)折射效應(yīng)的物理機(jī)制，研究進(jìn)展以及目前的研究方向，展望了光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象的應(yīng)用前景。關(guān)鍵詞：光子晶體；負(fù)折射特性；負(fù)折射率介質(zhì)AbstractPhotonic crystal is a recent research proje

3、ct over the years has gradually become one of the hot research field, because of the photonic crystal itself has a lot of advantages of the special nature of. The negative refraction of photonic crystal has become popular, because it can break the optical resolution limit, breaking the conventional

4、diffraction limit imaging, can use photonic crystals with negative refraction made into super lens, to achieve a perfect imaging. In addition, such as the use of the characteristics of photonic crystal will be transformed into the electromagnetic wave from the microwave light etc.The topic mainly st

5、udies the characteristics of photonic crystals with negative refraction. In order to the topic, the study introduced the photonic crystals and refraction index. Then, I focus on the structure of it and their application to the negative refraction of photonic crystals by special design. At the same t

6、ime, reviews the research history of negative refractive index medium, and research progress and present direction, application prospect of it. Key Words：Photonic crystal ;Negative refraction ;Negative refractive index目 錄摘 要IAbstractII目 錄III1 前 言11.1 光子晶體負(fù)折射的研究目的及意義11.2 光子晶體負(fù)折射特性研究的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀21.3 論文的內(nèi)容

7、安排32 關(guān)于光子晶體的概述32.1 光子晶體的基本概念32.2 光子晶體的特性42.3 光子晶體的電磁理論基礎(chǔ)研究和分析方法5 2.3.1 光子晶體的結(jié)構(gòu)和分類(lèi)52.3.2 光子晶體的電磁理論基礎(chǔ)62.3.3 光子晶體的數(shù)值分析方法72.4 光子晶體的制備方法93 對(duì)于負(fù)折射特殊性質(zhì)分析103.1 負(fù)折射的基本概念113.2 判斷負(fù)折射率介質(zhì)方法123.2.1 棱鏡原理133.2.2 平板成像133.2.3 負(fù)折射穿透行為144 光子晶體負(fù)折射特性研究154.1 基本概念154.1.1 布里淵區(qū)和簡(jiǎn)約布里淵區(qū)154.1.2 等頻率面164.1.3 等效折射率174.1.4 等效負(fù)折射率和等效

8、折射率負(fù)折射現(xiàn)象174.1.5 負(fù)折射現(xiàn)象出現(xiàn)頻率區(qū)域的判定條件184.2 光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象的特性研究204.2.1 不同大小散射體的比較204.2.2 不同介電常數(shù)散射體的比較214.3 光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象的應(yīng)用225 總結(jié)與展望24參考文獻(xiàn)251 前 言1.1光子晶體負(fù)折射的研究目的及意義在近半個(gè)世紀(jì)中，半導(dǎo)體技術(shù)發(fā)展迅速日益成為了人們生活中不可或缺的重要部分，例如我們生活中使用的電腦，手機(jī)，電視機(jī)等等一系列的電子產(chǎn)品都與半導(dǎo)體材料的發(fā)展息息相關(guān)。隨著人類(lèi)的生活日益趨于追求簡(jiǎn)單便利，所以人們對(duì)與計(jì)算機(jī)和通信設(shè)備及其它基于半導(dǎo)體材料的電子產(chǎn)品的要求也不斷提高，電子設(shè)備的體積不斷變小，但功能

9、卻需要不斷地日益增強(qiáng)，滿足人類(lèi)的便利需求。因?yàn)榘雽?dǎo)體技術(shù)集成度和速度不斷提高，但是由于半導(dǎo)體集成度的提高以及體積的不斷減小，產(chǎn)生了例如電路功耗不斷提高和電路阻抗增大等一系列問(wèn)題，基于半導(dǎo)體的計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)和信息產(chǎn)業(yè)面臨著巨大的考驗(yàn)，半導(dǎo)體材料已經(jīng)到達(dá)功能極限，已經(jīng)無(wú)法滿足人類(lèi)的需求，于是研究人員開(kāi)始尋找能夠代替半導(dǎo)體材料并具有更高性能的材料。研究人員發(fā)現(xiàn)了用光子晶體可以替代半導(dǎo)體材料作為信息載體，與半導(dǎo)體不同的是光子具有很多電子無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，不僅擁有較大的信息容納量，更加強(qiáng)大的互連能力和并行能力，同時(shí)最明顯的優(yōu)勢(shì)是在光子介質(zhì)中的傳播速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于在電子材質(zhì)中的速度，并且光子可以獲得更高的寬帶。光子

10、之間不存在類(lèi)似于電子之間那么強(qiáng)大的庫(kù)倫相互作用，即光子之間不存在相互作用力，從而減小了傳播過(guò)程中導(dǎo)致的能量損失，因此可以實(shí)行光子并行傳播。目前光子晶體已經(jīng)廣泛應(yīng)用于通信領(lǐng)域并且產(chǎn)生了巨大的信息變革。光子晶體的特性具有許多可以利用到生活實(shí)踐中的優(yōu)點(diǎn)，這其中光子晶體的負(fù)折射特性引起了人們的興趣，是使負(fù)折射特性成為了十分熱門(mén)的研究話題之一。傳統(tǒng)的成像過(guò)程會(huì)受到“衍射極限”的影響，而具有負(fù)折射特性的光子晶體能夠打破這種成像缺點(diǎn)，正是利用了光子晶體的這一特性能夠極大地提高成像分辨率，具有負(fù)折射特性的光子晶體制作出的超透鏡能夠?qū)崿F(xiàn)“完美成像”。除此之外，具有負(fù)折射特性的光子晶體材質(zhì)還能夠制作出許多具有全新

11、原理高性能的光學(xué)器件，如薄諧振腔、光子晶體微腔。同時(shí)，電磁波在具有負(fù)折射特性的光子晶體介質(zhì)中的傳播會(huì)產(chǎn)生負(fù)折射現(xiàn)象，從而使波頻段從微波段擴(kuò)展到光波段，利用這一特性存可以存儲(chǔ)光，并對(duì)超大規(guī)模集成電路中的光刻技術(shù)等形成非常大的影響。因而研究人員對(duì)波在光子晶體內(nèi)的折射和傳播的特性研究,以及光子晶體的在實(shí)踐中的應(yīng)用成為研究的重點(diǎn)。光子晶體具有的傳播特性和獨(dú)特的結(jié)構(gòu)，以及不同參數(shù)的情況下，光子晶體對(duì)傳輸特性的影響等一些問(wèn)題都是應(yīng)該深入研究探討。通過(guò)對(duì)光子晶體負(fù)折射的特性和原理的探討,對(duì)光子晶體替代半導(dǎo)體成為新型的器件產(chǎn)生了巨大的推進(jìn)作用。1.2光子晶體負(fù)折射特性研究的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀近幾年,在國(guó)內(nèi)外，光子

12、晶體的研究依然處在基礎(chǔ)階段不是很深入,這其中的周期性微結(jié)構(gòu)和缺陷的制備方法,光子晶體和其缺陷對(duì)電磁波產(chǎn)生的控制、以及傳播的基本原理,和光子晶體材質(zhì)與器件的測(cè)試以及其應(yīng)用原理的研究。光子晶體禁帶的形成和它的周期性結(jié) 構(gòu)、介質(zhì)的相互聯(lián)系、以及介電常數(shù)的性質(zhì)等有聯(lián)系,所以在制做光子晶體器件的工藝和測(cè)試，以及實(shí)踐機(jī)理的探索上都面臨著巨大的挑戰(zhàn)。同時(shí)，國(guó)內(nèi)外對(duì)光子晶體負(fù)折射特性的研究已取得非常大的成績(jī)。光子晶體的研究領(lǐng)域主要涉及到了光信息處理、對(duì)光的控制以及光傳感、光通信等。研究人員先后研制出了光子晶體直角波導(dǎo)、光子晶體光纖、光子晶體反射鏡、光子晶體天線等等一系列與光子晶體負(fù)折射特性有關(guān)的研究成果。與光

13、在傳統(tǒng)的光纖中依賴折射率傳播不同，光子晶體的缺陷結(jié)構(gòu)可以限制住光，所以在低折射率空氣的情況下，光子晶體依舊可以傳播光，并且在其中傳播的光可以直接的拐彎不發(fā)生任何損壞。光子晶體的出現(xiàn)對(duì)通信以及光信息領(lǐng)域都具有深遠(yuǎn)的影響，因此研究人員希望可以更加自如的控制光在光子晶體中的傳播。近些年來(lái)，研究人員在光子晶體的研究領(lǐng)域發(fā)展的很快。1998年美國(guó)研制出了多晶硅材料的三維光子晶體探測(cè)頭，1999年美國(guó)研制出光子晶體反射鏡,可以遠(yuǎn)距離傳輸無(wú)損耗且能夠傳輸高功率激光，2002年英國(guó)研制出了離子刻蝕半導(dǎo)體基光子晶體。目前Kosaka等人研究出了在一定條件下,光在光子晶體中入射角以及波長(zhǎng)的傳播方向變得敏感,同時(shí)大

14、波束發(fā)生偏移,稱之為超棱鏡現(xiàn)象。Notomi和Foteinopoulou等人深入的研究了光子晶體中的負(fù)折射現(xiàn)象。Luo等人在介質(zhì)和金屬光子晶體中都發(fā)現(xiàn)了負(fù)折射現(xiàn)象1。Enoch等人對(duì)光子晶體中出現(xiàn)的反常折射現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值分析。隨著科技的日益發(fā)展，學(xué)者們?cè)趯?duì)二維光子晶體的研究上呈現(xiàn)出了追求材料和器件之間的損耗降低，以及器件越來(lái)越高的集成度和追求光子晶體的Q值增高。光子晶體是最近這些年逐漸成為熱門(mén)研究領(lǐng)域之一的研究項(xiàng)目，之所以它會(huì)成為熱門(mén)的研究對(duì)象主要是因?yàn)楣庾泳w本身所具有的特殊性質(zhì)，其中光子晶體的負(fù)折射特性成為最熱門(mén)的研究領(lǐng)域之一，因?yàn)楣庾泳w的負(fù)折射特性能夠突破光學(xué)分辨率極限，打破了傳統(tǒng)成像

15、的衍射極限，可以利用具有負(fù)折射特性的光子晶體制作成超透鏡，實(shí)現(xiàn)了“完美成像”。另外，還可以利用具有負(fù)折射特性的光子晶體制作出特殊的光學(xué)器件，如利用這一光子晶體的特性將電磁波段從微薄轉(zhuǎn)化到光波段等。負(fù)折射效應(yīng)是光子晶體的特殊性質(zhì)之一，其優(yōu)點(diǎn)在與具有負(fù)折射特性的光子晶體，結(jié)構(gòu)形式比較多便于應(yīng)用，同時(shí)可利用目前具有的光子晶體特性和負(fù)折射特性的研究成果，開(kāi)發(fā)出具有更多新功能的功能器件，具有大好的研究前景。從而光子晶體負(fù)折射特性的研究成為世界研究的熱門(mén)領(lǐng)域。1.3論文的內(nèi)容安排本論文分為五章。第一章介紹的是光子晶體負(fù)折射特性概念來(lái)源和意義，以及當(dāng)前國(guó)內(nèi)外該領(lǐng)域的研究進(jìn)展?fàn)顩r。第三章則是研究了負(fù)折射的相關(guān)

16、概念和基礎(chǔ)特性，包括負(fù)折射率的基本概念和負(fù)折射率介質(zhì)的產(chǎn)生以及負(fù)折射率介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象。第三章則是研究了負(fù)折射的相關(guān)概念和基礎(chǔ)特性。這當(dāng)中包括負(fù)折射率的基本概念和負(fù)折射率介質(zhì)的產(chǎn)生以及負(fù)折射率介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象。第四章介紹了光子晶體負(fù)折射的基本概念，包括布里淵區(qū)、它的等頻率面和等頻率折射以及負(fù)折射現(xiàn)象出現(xiàn)頻率區(qū)域的判定標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)還簡(jiǎn)單介紹了光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象在實(shí)踐中的四個(gè)主要應(yīng)用。第五章是對(duì)本論文工作主要內(nèi)容進(jìn)行概括總結(jié)以及對(duì)自己論文研究成果進(jìn)行分析，同時(shí)還對(duì)今后本課題工作的進(jìn)行總結(jié)展望。2 關(guān)于光子晶體的概述2.1光子晶體的基本概念光子晶體對(duì)與我們并不陌生，因?yàn)楣庾泳w在自然界中早已存在。例如

17、具有色彩繽紛外觀的澳洲寶石蛋白石，是由二氧化硅納米球沉積形成的,如下圖2-1（a）所示。它之所以呈現(xiàn)出顏色因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)上的周期性使它具有光子能帶結(jié)構(gòu),由于帶隙位置不同,反射出光的顏色也會(huì)不相同，所以它的色彩形成與色素沒(méi)有關(guān)系。而在生物界中，蝴蝶翅膀上的五顏六色的色彩,其實(shí)也是同樣的理論,見(jiàn)圖2-1（b）。圖2-1(a)礦物界的光子晶體蛋白石(b)具有光子晶體結(jié)構(gòu)的蝴蝶翅膀上的鱗粉過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)里電充斥在我們生活的每一個(gè)角落,電在人類(lèi)生活中扮演者不可或缺的重要角色,例如生活中我們所用的電話、手機(jī)、電腦等通信設(shè)備，以及工廠中電子器械等眾多基于電子的器件。隨著時(shí)代的發(fā)展，人們?nèi)找孀非篌w積更小功能更加強(qiáng)大

18、便捷的智能生活，因此電子技術(shù)集成度和速度不斷提高，滿足人類(lèi)的便利需求。但是由于電子集成度的提高以及體積的不斷減小，產(chǎn)生了例如電路功耗不斷提高和電路阻抗增大等一系列問(wèn)題，基于半導(dǎo)體的計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)和信息產(chǎn)業(yè)面臨著巨大的考驗(yàn)，在電子線路已經(jīng)發(fā)展到極限的今天, 已經(jīng)無(wú)法滿足人類(lèi)的需求，科學(xué)家們將研究對(duì)象對(duì)準(zhǔn)了光。與電子相比較,不同的是光子具有很多電子無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，不僅擁有較大的信息容納量，更加強(qiáng)大的互連能力和并行能力，同時(shí)最明顯的優(yōu)勢(shì)是在光子介質(zhì)中的傳播速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于在電子材質(zhì)中的速度，電在金屬中的傳播速度有一m/s數(shù)量級(jí)，而光在介電材料中的傳播速度卻達(dá)到m/s數(shù)量級(jí)，并且光子可以獲得更高的寬帶。更為重

19、要的一點(diǎn)就是光子沒(méi)有強(qiáng)相互作用,這可以使傳播時(shí)能量損耗很小。光子晶體（Photonic Crystal）是在1987年由S-John、E-Yablonovitch分別獨(dú)立提出，是由不同折射率的介質(zhì)周期性排列而成的人工合成微結(jié)構(gòu)。它是具有光子帶隙的周期性介電結(jié)構(gòu)材料，而所謂光子帶隙是指介電常數(shù)不同的材料在空間中周期性排列導(dǎo)致介電常數(shù)也具有空間周期性，并使得光折射率產(chǎn)生周期性分布。光在其中傳播時(shí)可產(chǎn)生能帶結(jié)構(gòu)，而在帶隙中的光子頻率則被禁止傳播，因此稱為光子禁帶，具有光子禁帶特征的材料即為光子晶體。簡(jiǎn)單地說(shuō)，光子晶體具有波長(zhǎng)選擇功能，可以通過(guò)選擇使某個(gè)波段的光通過(guò)，而阻止其它波長(zhǎng)的光通過(guò)其中。2.2

20、光子晶體的特性光子晶體最根本性質(zhì)是光子禁帶，降落在禁帶中的光的傳播是被禁止的。Yablonovitch表示：光子晶體能夠抑制自發(fā)輻射的發(fā)生。因?yàn)樽园l(fā)輻射出現(xiàn)的比率和光子所在的頻率的態(tài)的數(shù)目是成正比的，當(dāng)一個(gè)原子被放入光子晶體中，如果它自發(fā)輻射的光頻率正好落在光子禁帶上時(shí)，因?yàn)樵摴庾宇l率的態(tài)的數(shù)目為零，所以其自發(fā)輻射的幾率也為零，而自發(fā)輻射也被抑制。相反，光子晶體同樣能夠增強(qiáng)自發(fā)輻射的產(chǎn)生，只需要改變?cè)摴庾宇l率的態(tài)的數(shù)目就可以實(shí)現(xiàn)。如果光子晶體中含有雜質(zhì)時(shí)，光子禁帶中就會(huì)產(chǎn)生雜質(zhì)態(tài)，這些雜質(zhì)態(tài)擁有很高的品質(zhì)因子，同時(shí)態(tài)密度也很大，因此就能實(shí)現(xiàn)對(duì)輻射的增強(qiáng)。光子晶體還有一個(gè)很重要的性質(zhì)，那就是“光

21、子局域”(photon localization)。1987年John提出：在一種由無(wú)序介電材料構(gòu)成的超晶體中，光子能夠呈現(xiàn)出很強(qiáng)的Anderson局域。假如一個(gè)光子晶體原有的周期性或?qū)ΨQ性受到損壞，那么在它的光子禁帶中會(huì)產(chǎn)生頻率極窄的缺陷態(tài)，而與缺陷態(tài)頻率相吻合的光子就會(huì)被拘束在缺陷位置，那些偏離缺陷位置的光就會(huì)迅速衰減。此外，二維光子晶體對(duì)于不同入射電場(chǎng)方向的TE、TM偏振模式的光具有不同的光子禁帶。2.3光子晶體的電磁理論基礎(chǔ)研究和分析方法2.3.1 光子晶體的結(jié)構(gòu)和分類(lèi)光子晶體是具有光子能帶和能隙的一類(lèi)材料,根據(jù)能隙空間分布的特點(diǎn),可以將光子晶體分為一維(1D)光子晶體、二維(2D)光

22、子晶體和三維(3D)光子晶體2。如下圖2-2所示，他們的空間結(jié)構(gòu)依次為。 (a) (b) (c)圖2- 2(a)一維光子晶體結(jié)構(gòu)圖（b）二維光子晶體結(jié)構(gòu)圖（c）三維光子晶體結(jié)構(gòu)圖如圖2-2（a）所示，由兩種介質(zhì)交替疊層而成，只在一個(gè)方向上具有光子頻率禁帶特性的材料我們稱之為一維光子晶體。通常，一維光子晶體的結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為兩種介電常數(shù)的介質(zhì)呈多層周期分布。二維光子晶體是指由很多平行的介質(zhì)桿均勻地在空間中排列，且在二維空間中各方向上具有光子頻率禁帶特性的材料。如圖2-2（b）所示。二維光子晶體存在許多種結(jié)構(gòu),例如矩形、三角形和石墨的六邊形結(jié)構(gòu)，而我們應(yīng)用較多的二維光子晶體結(jié)構(gòu)是二維正方晶格光子晶體結(jié)構(gòu)

23、和二維三角晶格光子晶體結(jié)構(gòu)。如圖2-3所示二維光子晶體結(jié)構(gòu)分別是二維正方晶格光子晶體結(jié)構(gòu)和二維三角晶格光子晶體結(jié)構(gòu)。 （a） （b）圖2-3（a）二維正方晶格光子晶體結(jié)構(gòu)（b）二維三角晶格光子晶體結(jié)構(gòu)如圖2-3(b)所示，可以看出二維三角晶格光子晶體結(jié)構(gòu)中的介質(zhì)柱成等邊三角形排列，等邊三角形排列的二維三角晶格光子晶體具有的對(duì)稱性更加高，從而具有帶隙更寬的特點(diǎn)。三維光子晶體是指在三維空間的各個(gè)方向上具有光子頻率禁帶特性的材料,如圖2-2（c）所示。三維光子晶體結(jié)構(gòu)有體心立方、面心立方以及簡(jiǎn)單立方。世界上第一個(gè)具有可實(shí)踐性的三維光子晶體是由美國(guó)貝爾通訊研究所的Yablonovitch研究出來(lái)的,這

24、種三維光子晶體的結(jié)構(gòu)是由許多面心立方體構(gòu)成的空間周期性結(jié)構(gòu)，我們稱之為鉆石結(jié)構(gòu)。2.3.2 光子晶體的電磁理論基礎(chǔ)根據(jù)我們學(xué)過(guò)的課本電磁場(chǎng)與電磁波，可知電磁場(chǎng)的基本麥克斯韋方程組為： (2-1)麥克斯韋方程式中，H 為磁場(chǎng)強(qiáng)度，E 為電場(chǎng)強(qiáng)度，J 為電流密度，D 為電位移矢量，B 為磁感應(yīng)強(qiáng)度，為自由電荷密度，t 為時(shí)間變量。為了方便研究，我們一般把光子晶體當(dāng)作無(wú)源媒質(zhì)，因此在以下的研究中，認(rèn)為J=0 且=0。 對(duì)線性、各向同性媒質(zhì)，本構(gòu)關(guān)系式為： （2-2）本構(gòu)關(guān)系式中，為介電常數(shù)，為磁導(dǎo)率，為電導(dǎo)率。 諧波的表達(dá)式： （2-3）將式(2-3)、式(2-2)代入式(2-1)，并分離變量轉(zhuǎn)化得

25、： （2-4）由于存在關(guān)系式： （2-5）是真空中的介電常數(shù)， ( r )是相對(duì)介電常數(shù)，0是真空中的磁導(dǎo)率，r是相對(duì)磁導(dǎo)率。令c = ，把式(2-5)帶入(2-4)中分別消去磁場(chǎng)和電場(chǎng)分量得： (2-6)式(2-6)中的第二個(gè)式子稱為光子晶體的本征方程。是厄米算子，其本征值是非負(fù)實(shí)數(shù)，并且存在完備的正交本征函數(shù)系，而不是厄米算子。對(duì)于給定的光子晶體結(jié)構(gòu)，也就是 (r)已知，求解式(2-6)第二個(gè)式子可得到頻率所對(duì)應(yīng)的 H(r)，也就是特征值求解問(wèn)題，再把求得的 H(r)代入式，可求出 E(r)如式(2-7)3。 (2-7)2.3.3 光子晶體的數(shù)值分析方法在上個(gè)世紀(jì)80年代后期，人們才開(kāi)始研

26、究光子晶體的特性及應(yīng)用。在1987年Yablonovitch和John就提出了光子晶體的基本概念，但是由于當(dāng)時(shí)科學(xué)技術(shù)條件的限制，Yablonovitch和Gmitter第一次用實(shí)驗(yàn)證明出三維光子能帶結(jié)構(gòu)在實(shí)際中的存在是在1989 年，之后研究人員才將目光注意到光子晶體的研究中，開(kāi)始了對(duì)光子晶體的深入研究工作。一般情況下，因?yàn)楣庾泳w和電子晶體在結(jié)構(gòu)上的相似，所以人們采用研究電子晶體結(jié)構(gòu)的方法來(lái)分析光子晶體的性質(zhì)。我們通常采用電磁理論方法來(lái)分析光子晶體的特性，其中包括的以下4種重要的數(shù)值分析方法：平面波展開(kāi)法（plane wave expansion method簡(jiǎn)稱：PWM）、傳輸矩陣法（t

27、ransfer matrix method簡(jiǎn)稱：TMN）、有限時(shí)域差分法（finite difference time domain簡(jiǎn)稱：FDTD）和散射矩陣法（scattering matrix method簡(jiǎn)稱：SMM）等，下面我們簡(jiǎn)單地介紹一下這幾種數(shù)值分析方法4。我們普遍使用的一種方法是平面波展開(kāi)法，它的理論依據(jù)是電磁場(chǎng)如果能以平面波的形式展開(kāi)，就可以將它的麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)化成為本征方程，然后通過(guò)求解該方程的本征值就能夠得到傳播光子的本征頻率的思想上建立的。這個(gè)方法有很?chē)?yán)重的不足之處，那就是當(dāng)光子晶體的結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜或者體系上有缺陷時(shí)，可能會(huì)由于計(jì)算能力的限制而無(wú)法計(jì)算或難以精確計(jì)算。況

28、且如果介電常數(shù)隨頻率變化的話，那么就無(wú)法寫(xiě)出確定的本征方程形式，這樣就沒(méi)有辦法計(jì)算了。傳輸矩陣法就是將磁場(chǎng)展開(kāi)到實(shí)空間的格點(diǎn)位置，將麥克斯韋方程組變化成傳輸矩陣形式，這樣也同樣將問(wèn)題化成求解本征值的問(wèn)題。傳輸矩陣表示的是一層（面）的格點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)與同它相鄰的另一層（面）的格點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系。如果令構(gòu)成空間在同一格點(diǎn)層（面）上具有相同的態(tài)和頻率，那么就能用麥克斯韋方程組將磁場(chǎng)從一個(gè)位置推申到整個(gè)晶體空間中。該方法對(duì)介電常數(shù)是隨著頻率變化而變化的金屬系統(tǒng)非常有效，而且因?yàn)閭鬏斁仃囆。跃仃囋?，運(yùn)算量小，同時(shí)計(jì)算傳輸光譜也非常方便。但是這種方法對(duì)于電磁場(chǎng)分布的計(jì)算比較麻煩，效率也不是太高，所以無(wú)法對(duì)研究

29、光子晶體物理特性起到大的幫助。在電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方面，最經(jīng)典的方法就是有限差分時(shí)域法。它的原理就是將一個(gè)單位元?jiǎng)澐殖稍S多網(wǎng)狀的小格，然后利用布里淵區(qū)邊界的周斯條件，列出網(wǎng)上所以結(jié)點(diǎn)的有限差分方程，將麥克斯韋方程組變換成能夠準(zhǔn)對(duì)角化的矩陣形式的特征方程，這種方法只有很少一部分的非零矩陣元，計(jì)算量小。由于該方法沒(méi)有考慮到晶體的具體形狀，所以對(duì)于特殊形狀晶格的光子晶體無(wú)法做到準(zhǔn)確計(jì)算。散射矩陣法就是假設(shè)光子晶體是由各向同性的介質(zhì)組合而成的，里面包含許多開(kāi)頭和尺寸都無(wú)法重疊的光學(xué)散射中心。如果利用傅立葉貝塞爾展開(kāi)來(lái)計(jì)算這些散射中心的散射場(chǎng)的亥姆霍茲方程，那么就能算出光子晶體傳輸中的場(chǎng)分布。這類(lèi)方法可以用

30、來(lái)計(jì)算場(chǎng)分布和傳輸光譜問(wèn)題，但是由于所需的運(yùn)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，所以在某些情況下是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。在實(shí)際理論研究中，還存在一些其他的方法，例如：有限元法以及N階法等。這些方法在實(shí)際應(yīng)用中能夠根據(jù)不同的場(chǎng)合進(jìn)行合理地使用。以上這些分析方法對(duì)于光子晶體的研究具有非常重要的價(jià)值，因?yàn)楣庾泳w的制備十分困難，所以首先需要利用方法分析出光子晶體所具有的特性，然后再通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證這些結(jié)論。2.4 光子晶體的制備方法我們知道自然界中存在天然的光子晶體原材料，例如蛋白質(zhì)寶石、蝴蝶翅膀的鱗粉，但是這些都不能很好地應(yīng)用在生產(chǎn)實(shí)踐中，因此普通情況下我們使用的是人工合成的光子晶體新型材料，這就需要我們研究光子晶體的制備方法。根據(jù)

31、不同的條件我們可以將光子晶體的制備分為不同的類(lèi)型，例如根據(jù)光子晶體的結(jié)構(gòu)可以分為一維光子晶體的制備、二維光子晶體的制備、三維光子晶體的制備，根據(jù)所用的原理的不同，我們可以將制備方法分為物理法制備和化學(xué)化工法制備。下面我們介紹幾種常用的光子晶體的制備方法及優(yōu)缺點(diǎn)。根據(jù)物理性質(zhì)，制備光子晶體通常采用以下兩種方法：微加工法: 依俄華州立大學(xué)的C.M.Soukoulis等研究人員第一個(gè)從理論上提出了具有實(shí)際可行性的光子晶體結(jié)構(gòu)，即金剛石結(jié)構(gòu)。世界上第一個(gè)利用了顯微鏡技術(shù)制備出的三維光子晶體是由美國(guó)貝爾通訊研究所的E.Yablonovitch制備的。在顯微鏡的操作環(huán)境下，他先把三角形孔排列的膜覆蓋在介質(zhì)

32、表面上，之后在有孔的地方對(duì)介質(zhì)進(jìn)行鉆孔，再在依次相差120度的三個(gè)方向?qū)橘|(zhì)穿孔，最后形成在微波波段工作的三維光子晶體。目前具有的顯微制造技術(shù)主要包括同步輻射深度、X射線平版印刷術(shù)、顯微機(jī)械加工等。雖然利用顯微制造技術(shù)制備光子晶體簡(jiǎn)單易操作，可是缺點(diǎn)在于在工作波長(zhǎng)越短的條件下，加工空間立體結(jié)構(gòu)就會(huì)很困難。Layer-by-Layer法：具有可實(shí)踐性的制備方法為L(zhǎng)ayer-by-Layer法。這種制備采用了一層一層疊加方法,例如E.Ozbay等人研究的三維光子晶體，原理就是把許多片二維周期性結(jié)構(gòu)疊加起來(lái)構(gòu)成的。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以制備短波長(zhǎng)三維光子晶體，但是缺點(diǎn)是制造工藝比較繁瑣，制作過(guò)程中利

33、用到了集成電路制做技術(shù)以及復(fù)雜的微電子機(jī)械技術(shù)。除了物理方法，還有可以通過(guò)化學(xué)原理制備光子晶體材質(zhì)，但是這一類(lèi)的方法對(duì)顆粒的基本要求是:單分散、單尺寸球形的亞微米顆粒。方法包括：離心沉積法：如果想要縮短制備周期就采用離心沉積法。離心沉積法的原理是利用離心沉降機(jī),使顆?？焖俪两档降撞慷逊e而成。缺點(diǎn)是顆粒在非規(guī)律力的條件下形成無(wú)序的排列，從而影響材質(zhì)的性能。自然沉降法: 在目前人們廣泛采用這種方法合成非晶態(tài)氧化硅、本乙烯球等光子晶體，制作原理是仿照地殼中天然形成的特殊歐泊蛋白石的過(guò)程,通常人們將采用這種方法制備的干燥二氧化硅膠體光子晶體稱為人工歐泊。采用自然沉降法產(chǎn)生的光子晶體主要優(yōu)點(diǎn)是易于控制晶

34、體的厚度以及對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備要求簡(jiǎn)單,但是有制備周期長(zhǎng)的缺點(diǎn)。膠體自組裝法：制備原理是在外界力的作用下讓膠體微粒自行堆積組裝，從而得到與蛋白石結(jié)構(gòu)相似的光子晶體?；局苽浞椒ㄊ鞘紫葘⒔橘|(zhì)微粒直徑為微米或亞微米量級(jí)均勻加入特殊溶液里，由于介質(zhì)微粒表面具有的靜電作用，使得微粒之間存在庫(kù)侖力，在力的作用下微粒之間的距離拉近或遠(yuǎn)離。一段時(shí)間后按容器形狀，懸浮的微粒會(huì)形成有序晶體。最后把Si 等高介電常數(shù)向形成的有序晶體微?？p隙間填充，得到類(lèi)蛋白石結(jié)構(gòu)。除了上面我介紹的這幾種常用的膠體化學(xué)光子晶體制備方法，生產(chǎn)中還包括：強(qiáng)制有序化法、場(chǎng)誘導(dǎo)有序化法、電泳法等，在這一章節(jié)中就不一一詳細(xì)介紹了。3對(duì)于負(fù)折射特殊性

35、質(zhì)分析在1968年，蘇聯(lián)的物理學(xué)家V.G.Veselago就大膽的猜測(cè)出存在具有負(fù)折射率的特殊物質(zhì)并且它的存在是合理的并不違反自然學(xué)中的任何物理規(guī)律。雖然有猜測(cè)出這種特殊物質(zhì)的存在，但是科學(xué)家們一直未發(fā)現(xiàn)這類(lèi)特殊物質(zhì)材料，所以在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里人們并未對(duì)V.G.Veselago的研究產(chǎn)生過(guò)多的關(guān)注。在一般的條件下，我們知道對(duì)于折射率有，因而有，在這個(gè)公式中負(fù)號(hào)不能隨意去留，只有在特殊的材料中同時(shí)滿足介電常數(shù)，磁導(dǎo)率的情況下，右端才可能取得負(fù)值。V.G.Veselago提出的理論認(rèn)為微波或光穿過(guò)負(fù)折射率介質(zhì)時(shí)將射向與Snell定律不同的方向，但是，科學(xué)家們和研究人員沒(méi)有找到磁導(dǎo)率和介電常數(shù)同時(shí)存

36、在的特殊材料，因此研究人員在自然界中并未發(fā)現(xiàn)這種特殊材質(zhì)，并認(rèn)為這種材質(zhì)是不存在的。這一研究領(lǐng)域曾因?yàn)檎也坏竭@種材質(zhì)而一度被人們遺忘，直到1996年，Pendry等人首次在理論上提出了可以利用一種諧振回路周期結(jié)構(gòu)來(lái)從而實(shí)現(xiàn)負(fù)折射現(xiàn)象。但是真正意義上的首次實(shí)際合成負(fù)折射率介質(zhì)材料是由Smith等研究人員在2000年完成，隨后還證明了這種材質(zhì)的有效折射率為負(fù)即負(fù)折射率材質(zhì)具有滿足左手規(guī)則的特性。這種材質(zhì)是由銅分裂環(huán)諧振腔陣和導(dǎo)線的二維周期陣列組合構(gòu)成。銅分裂環(huán)諧振腔是缺口的環(huán)形共振，當(dāng)有垂直于環(huán)面的磁場(chǎng)振動(dòng)時(shí)，每個(gè)缺口的環(huán)內(nèi)會(huì)形成振蕩的電流和電荷，因此產(chǎn)生的磁導(dǎo)率為負(fù)即，而導(dǎo)線耦合到銅分裂環(huán)諧振腔

37、陣中主要是為了在一段金屬導(dǎo)線內(nèi)產(chǎn)生等離子體激元，因而得到的介電常數(shù)為負(fù)值即，如下圖3-1所示。圖3-1 微波波段基于SRR的左手材料樣品3.1負(fù)折射的基本概念一般情況下，光從普通介質(zhì)穿到另一種普通介質(zhì)時(shí)滿足Snell定律，入射光線與折射光線在法線的兩邊，但是當(dāng)光進(jìn)入到了負(fù)折射率介質(zhì)中就會(huì)出現(xiàn)入射光線和折射光線在法線的同一邊，即在負(fù)折射率介質(zhì)中具有負(fù)折射角，負(fù)折射率介質(zhì)中能流方向和波失的方向相反，如下圖3-2。 圖3-2 介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都為負(fù)值時(shí)的光線折射圖和能流方向和波矢方向圖近年來(lái)，由于負(fù)折射介質(zhì)的特殊性質(zhì)和良好應(yīng)用前景，以負(fù)折射介質(zhì)為代表的新型人工合成介質(zhì)已成為現(xiàn)在非常熱門(mén)有潛力的研究領(lǐng)

38、域之一。人們獲得的負(fù)折射材質(zhì)介質(zhì)都是新型人工合成材料，主要的材質(zhì)有光子晶體，由金屬絲和共振環(huán)耦合組合而成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，矩形或圓形分裂環(huán)諧振腔組成，L-C微波帶線或器件形成，背景媒質(zhì)中的導(dǎo)電小粒子或雜物3。但是現(xiàn)在的新型人工合成介質(zhì)很多左手材料都具有強(qiáng)烈的色散缺陷，在非常窄的頻率中才會(huì)出現(xiàn)負(fù)折射的現(xiàn)象。而光在光子晶體中的傳播可以在比較寬的頻率區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生負(fù)折射現(xiàn)象，這一特性可以實(shí)際應(yīng)用在光電器件中。電磁波在負(fù)折射率介質(zhì)這種材質(zhì)中傳播的時(shí)候，它的磁場(chǎng)，電場(chǎng)和傳播的方向滿足左手規(guī)則，因此通常我們把負(fù)折射率介質(zhì)也稱為左手材料。負(fù)折射率介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率均為負(fù)，與光子晶體相似，具有周期性的結(jié)構(gòu)。根據(jù)麥克

39、斯韋方程推導(dǎo)出波動(dòng)方程，得到，在通過(guò)時(shí)間和空間兩者周期性的關(guān)系式。從而得到關(guān)系式：，其中折射率的平方為。當(dāng)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是正值時(shí)，波動(dòng)方程有解并且滿足色散關(guān)系。當(dāng)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是負(fù)值時(shí)，波動(dòng)方程依舊有解。但是前后兩種情況得到的波動(dòng)方程的解不相同，從而會(huì)對(duì)電磁波產(chǎn)生不同的影響。電磁波在普通材料界面表現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)和在左手材料界面中表現(xiàn)的特性完全不同。在同性均勻介質(zhì)中，根據(jù)麥克斯韋方程得到的平面波的傳播滿足兩個(gè)關(guān)系式：，。將兩式分別帶入Poyting方程： (3-1)在和同時(shí)小于0時(shí)，波矢方向和方向相反，這時(shí)三者將滿足左手螺旋規(guī)則。我們知道正常普通情況下根據(jù)Poynting矢量關(guān)系式,由上面

40、的式子可知當(dāng)在和同時(shí)大于0時(shí)，我們知道三者成右手螺旋規(guī)則。我們把滿足左手螺旋規(guī)則的材料成為左手材料，例如我們研究的負(fù)折射率介質(zhì)就是典型的左手材料。把滿足右手螺旋規(guī)則的材料成為右手材料。左手材料和右手材料的對(duì)比如下圖3-3所示。圖3-3（a）右手材料中E,H,k的方向示意圖 （b）左手材料中E,H,k的方向圖3.2判斷負(fù)折射率介質(zhì)方法現(xiàn)在可以利用三種方式來(lái)判定是否具有負(fù)折射特性,第一種采用棱鏡原理;第二種方法采用平板成像的原理。第三種則是根據(jù)測(cè)量平面波對(duì)一平塊物質(zhì)的穿透行為，從而判斷是否為負(fù)折射率介質(zhì)。利用這三種方法可以推導(dǎo)出負(fù)折射率并且判斷是否為左手性質(zhì)的物質(zhì)。3.2.1棱鏡原理如圖3-4為按

41、照Snell定律，不同棱鏡下光傳播的光路徑圖。我們根據(jù)圖中入射光線在負(fù)折射介質(zhì)的透鏡表面具有和在正折射介質(zhì)傳播的路徑不同的現(xiàn)象,從而可以通過(guò)光的傳播圖來(lái)判斷棱鏡的材質(zhì)中是否含有具有負(fù)折射率特性的介質(zhì)，即是否是左手材質(zhì)，或者也可以判斷光的傳播是否發(fā)生負(fù)折射這種特殊現(xiàn)象。 (a) (b) （c）圖3-4(a)光分別在負(fù)折射介質(zhì)構(gòu)成的凸透鏡和凹透鏡中的傳播現(xiàn)象(b)光在右手物質(zhì)中的傳播現(xiàn)象(c)等效為折射率是-1時(shí)的光路圖3.2.2平板成像負(fù)折射特性的材料具有很多特殊的性質(zhì)，研究人員目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多其中的特性。在2000年，Pendry教授在一個(gè)研究中發(fā)現(xiàn)了如果想要突破光學(xué)分辨率極限,使像通過(guò)平板

42、在另一邊顯示，必須解決的問(wèn)題是使倏逝波也參與成像。當(dāng)選取適當(dāng)參數(shù)的負(fù)折射材質(zhì)時(shí)，即且時(shí)，具有負(fù)折射特性材料的平板就能夠放大倏逝波,因此負(fù)折射材料平板可以突破衍射極限形成完整的像，使像在傳播過(guò)程中沒(méi)有損耗。我們把能夠無(wú)損耗完整傳播像的這種特殊介質(zhì)參數(shù)的左手材料透鏡稱為“完美透鏡”(perfect lens ),圖3-5。平板透鏡右手介質(zhì)圖3-5左手材料平板成像 圖 3-5為實(shí)物入射至左手平板透鏡產(chǎn)生的成像效果，由于介質(zhì)折射率為負(fù)值，折射波與入射波居法線同側(cè)，經(jīng)平板透鏡在平板另一側(cè)產(chǎn)生與實(shí)物等大的實(shí)像。與普通介質(zhì)相比，左手材料制成的平板透鏡有以下好處：(1)在平板另一側(cè)會(huì)產(chǎn)生等大的實(shí)像，即放大率為

43、1，(2)無(wú)需考慮存在光軸問(wèn)題，(3)當(dāng)實(shí)物離平板很近時(shí)同樣會(huì)出現(xiàn)實(shí)像。同時(shí)，左手材料可以呈現(xiàn)出其更加與眾不同的特性完美透鏡(Perfect lens)。 3.2.3負(fù)折射穿透行為圖3-6是光線在負(fù)折射介質(zhì)中發(fā)生折射的光路圖以及數(shù)值模擬示意圖。我們可以通過(guò)對(duì)光路圖的觀察，和對(duì)數(shù)值模擬圖中數(shù)據(jù)的分析依然可以判斷負(fù)折射現(xiàn)象是否存在。 （a） (b)(c)圖3-6(a)光在折射率小于1介質(zhì)中的光路圖(b)在負(fù)折射介質(zhì)表面的折射光和反射光(c)變換不同角度射入到負(fù)折射介質(zhì)中的光路圖4光子晶體負(fù)折射特性研究4.1 基本概念4.1.1布里淵區(qū)和簡(jiǎn)約布里淵區(qū) 固體的能帶理論中，在波矢空間中取得某一倒易矩陣為

44、原點(diǎn)，作所有倒易點(diǎn)陣矢量的垂直平分面，這些面波矢空間劃分為很多區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域內(nèi)E與k是具有函數(shù)關(guān)系，其中最靠近原點(diǎn)的一組面所圍成的閉合區(qū)稱為第一布里淵區(qū)；在第一布里淵區(qū)之外，由一組平面所包圍的波矢區(qū)叫第二布里淵區(qū)；依此類(lèi)推可得第三、四、.等不同范圍的布里淵區(qū)3。各個(gè)布里淵區(qū)體積相等，都是等于倒易點(diǎn)陣的元胞體積。在波矢空間中，由于晶體中的電子波的色散關(guān)系是周期為 /a 的周期性函數(shù)，由周期函數(shù)的性質(zhì)可知 k 和 k+/a 表示相同的狀態(tài)，由此可把其他區(qū)域通過(guò)移動(dòng)周期/a合并到第一布里淵區(qū)，這樣就可以很方便的在考慮能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，我們只需要分析第一布里淵區(qū)的特性。這種通過(guò)周期把其它區(qū)域都整合到第一布

45、里淵區(qū)的情況，這時(shí)第一布里淵區(qū)也被稱為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。圖4-1和圖4-2分別畫(huà)出了二維正方晶格光子晶體和三角晶格結(jié)構(gòu)光子晶體的第一布里淵區(qū)以及簡(jiǎn)約布里淵區(qū)。 （a） （b）圖4-1（a）正方晶格光子晶體的第一布里淵區(qū) (b)正方晶格光子晶體的簡(jiǎn)約布里淵區(qū) (a) (b) 圖4-2（a）三角晶格光子晶體的第一布里淵區(qū) （b）三角晶格光子晶體的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)4.1.2等頻率面在相同頻率下的不同傳輸波的波矢組成稱為等頻率面（EFS: equal frequency surface），也就是把布里淵區(qū)所有相關(guān)頻率上波矢量 k 的點(diǎn)都計(jì)算和表示出來(lái)，可以把等頻率面理解為能帶結(jié)構(gòu)在第一布里淵區(qū)的投影，簡(jiǎn)單地說(shuō)

46、即在一定的頻率下，第一布里淵區(qū)中所有有效波矢構(gòu)成的面。用完整的光子晶體能帶理論可以解釋二維光子晶體的負(fù)折射現(xiàn)象，因?yàn)楣庾泳w的能帶結(jié)構(gòu)的等頻率面決定了光在光子晶體中的傳播方向5，所以需要深入的分析光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)才能了解光子晶體中的傳播特性。光在光子晶體中傳播形式主要為布洛赫波，對(duì)于這種傳播模式，它的波矢，切向波矢以及角頻率三者之間存在能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系為： （4-1）關(guān)系式中當(dāng)時(shí)，即是實(shí)數(shù)，則滿足條件的組成的區(qū)域波不能傳播，這個(gè)區(qū)域稱為允帶。光子晶體布洛赫模的群速度 方向是由等頻率面決定的，群速度的方向即等頻率面的法線方向，指向頻率增加的方向，通過(guò)這種現(xiàn)象從而能確定光在光子晶體中傳播時(shí)發(fā)生偏折。

47、如圖4-3所示正方晶格光子晶體的等頻率面示意圖。圖 4-3二維正方晶格光子晶體第二邊帶的 EFS 示意圖4.1.3等效折射率現(xiàn)在我們計(jì)算光子晶體的等效折射率。在計(jì)算之前,我們要澄清兩個(gè)概念。我們通常所說(shuō)的折射率指的是相折射率,滿足下面的公式： （4-2） 其中,k為單位波矢量,而群折射率滿足： （4-3）波在光子晶體中傳播的方向是由群速度決定的,而群速度垂直于k處的等頻率表面。相折射率的符號(hào)是由EFS的特性決定的,如果,則;如果,則6。4.1.4等效負(fù)折射率和等效折射率負(fù)折射現(xiàn)象等效負(fù)折射率和等效折射率負(fù)折射現(xiàn)象是兩個(gè)完全不同的概念。我們把光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)存在負(fù)值的等效折射率稱為等效負(fù)折射率

48、。而等效折射率負(fù)折射現(xiàn)象則是指,通過(guò)光子晶體發(fā)生折射時(shí)入射光和折射光在界面法線的同一邊，發(fā)生負(fù)折射現(xiàn)象不一定存在負(fù)值的等效折射率6。等效折射率負(fù)折射現(xiàn)象主要有兩種。一.從能帶圖上看, 中心取在第一布里淵區(qū)的任意一個(gè)角點(diǎn),離中心越遠(yuǎn)，波矢k不僅增大且頻率也增大,坡印廷矢量S和波矢K的點(diǎn)乘為正值，即。這種負(fù)折射現(xiàn)象只有在特殊角度區(qū)域內(nèi)才能使入射光發(fā)生負(fù)折射。二. 把第一布里淵區(qū)中心點(diǎn)點(diǎn)為中心點(diǎn),從能帶圖上可以看出,離中心點(diǎn)越遠(yuǎn)則波矢k變大而頻率變小,如圖4-4所示。光在光子晶體中的傳播方向由群速度決定,而群速度矢量可以表示為波矢k在等頻率面的梯度矢量7，表達(dá)式: （4-4）所以離開(kāi)中心點(diǎn)點(diǎn)越遠(yuǎn)k增

49、大而頻率減小，則群速度的方向與相速度的方向相反。這種情況下, 當(dāng)?shù)阮l率曲線不是圓形,等效折射率的各向具有不同特性，且坡印廷矢量S和波矢K的點(diǎn)乘為負(fù)值,即SK0 ,我們把這種負(fù)折射稱為全角度負(fù)折射(All angle negative reaction AANR)，這種負(fù)折射類(lèi)似左手材料。同時(shí)，這種負(fù)折射現(xiàn)象具有一個(gè)特例是：當(dāng)?shù)阮l率曲線是圓形的時(shí)候,各向具有相同性質(zhì),可以定義(負(fù)值)等效折射率。正是由于第二種負(fù)折射現(xiàn)象的存在，因此當(dāng)光子晶體發(fā)生負(fù)折射現(xiàn)象時(shí)，其等效折射率不一定為負(fù)值。 (a) (b)圖4-4(a)光子晶體負(fù)折射時(shí)的能帶 (b)光子晶體等頻率面的特征4.1.5負(fù)折射現(xiàn)象出現(xiàn)頻率區(qū)域

50、的判定條件光子晶體的周期結(jié)構(gòu)和能帶結(jié)構(gòu)對(duì)在光子晶體介質(zhì)中傳播的光會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的散射影響，因此入射光的入射角度和頻率對(duì)在光子晶體中傳播的光的方向具有較大的影響，使得光在光子晶體中的傳播會(huì)十分復(fù)雜。我們知道光在普通介質(zhì)和光子晶體中的傳播是有差異的，這種差異可以通過(guò)等頻率面的理論來(lái)解釋。在普通的介質(zhì)中，光的傳播方向與波矢量的方向保持一致，但在光子晶體介質(zhì)中，光的傳播會(huì)出現(xiàn)異樣，因?yàn)樵诘阮l率面的交叉處會(huì)產(chǎn)生禁帶，在禁帶區(qū)光不能發(fā)生傳播，因此光在光子晶體中的傳播與在普通介質(zhì)中傳統(tǒng)的負(fù)折射現(xiàn)象有很大的差異，如圖4-5所示。 (a) (b)圖4-5（a）光入射到普通介質(zhì)出現(xiàn)的負(fù)折射 （b）光入射到光子晶體介質(zhì)

51、中出現(xiàn)負(fù)折射在光子晶體中,光的傳播方向由群速度方向決定，因?yàn)檎凵鋫鞑シ较蛲ǔ椴ㄊ阜较颍扇核俣鹊谋磉_(dá)式可知,群速度的方向就是波矢的方向,而波矢的方向與等頻率面法線方向相同，從而群速度方向與等頻率曲線是垂直的,因此在光子晶體中出現(xiàn)負(fù)折射率的頻率區(qū)間可在等頻面的結(jié)構(gòu)上找到方向?yàn)樨?fù)的群速度,也就是說(shuō)光的傳播方向在等頻率曲線結(jié)構(gòu)向內(nèi)的頻帶是產(chǎn)生負(fù)折射率額頻率區(qū)域。我們使用在空氣中以三角晶格結(jié)構(gòu)排列的介質(zhì)圓柱二維光子晶體作為模型來(lái)分析,其晶格常數(shù)a=500nm,介質(zhì)圓柱的折射率為3.6,半徑r=0.35a,在TE模式下,用平面波展開(kāi)法計(jì)算其帶隙,如圖4-6（a）所示。圖4-6（b）給出了歸一化頻率在0

52、.2682-0.3502之間的等頻率面圖,頻率間隔為0.0205,內(nèi)部為高頻部分。由等頻率面圖分析,可見(jiàn)若在M方向上有,則此時(shí)群速度為負(fù)的,光的傳播方向由EFS曲線向內(nèi),即是負(fù)折射現(xiàn)象出現(xiàn)的頻率區(qū)間6。 (a) (b)圖4-6(a)TE模式二維光子晶體帶隙圖（b）二維三角晶體格光子晶體的等頻率面4.2光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象的特性研究光子晶體在不同的參數(shù)條件下其特性會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，這是由于例如介質(zhì)介電常數(shù)、光子晶體的晶格結(jié)構(gòu)以及不同散射體半徑等參數(shù)都會(huì)對(duì)光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響從而光子晶體具有不同的特性,因而在不同的參數(shù)條件下出現(xiàn)負(fù)折射率的頻率范圍也會(huì)各不相同。對(duì)于改變不同參數(shù)對(duì)負(fù)折射現(xiàn)象產(chǎn)生的

53、影響，我們?cè)谶@里采用三角晶格排列的介質(zhì)圓柱二維光子晶體作為研究對(duì)象，晶格常數(shù)，介質(zhì)折射率為n=3.24,半徑r=0.35a，在TE模式下，對(duì)此模型改變不同的參數(shù)出現(xiàn)的不同現(xiàn)象進(jìn)行具體分析研究。這里我們將主要研究不同空氣孔半徑和不同折射率介質(zhì)對(duì)產(chǎn)生負(fù)折射現(xiàn)象的頻率區(qū)域的影響。4.2.1不同大小散射體的比較下表4-1給出了在介質(zhì)材料相同的情況下,不同的空氣孔半徑對(duì)負(fù)折射頻帶的影響規(guī)律。因?yàn)閹兜挠绊?，有些光子晶體負(fù)折射頻率只有在低頻段存在，所以這里我們主要給出了第一負(fù)折射頻帶范圍。根據(jù)表中研究的數(shù)據(jù)分析得出當(dāng)空氣孔半徑不斷增大時(shí), 產(chǎn)生負(fù)折射的頻帶寬度變窄，但其出現(xiàn)負(fù)折射現(xiàn)象的初始負(fù)折射頻率變高6

54、，如圖4-7所示。表4-1不同半徑的光子晶體介質(zhì)產(chǎn)生負(fù)折射現(xiàn)象的頻率范圍以及帶寬圖4-7不同半徑下對(duì)負(fù)折射頻帶帶寬的影響4.2.2不同介電常數(shù)散射體的比較把三角晶格排列，空氣孔半徑r=0.35a，介質(zhì)折射率為n=3.24,同時(shí)以TE模式入射的空氣孔光子晶體平板作為模型,進(jìn)行具體進(jìn)行分析,從表4-2可以看出對(duì)于此模型中當(dāng)空氣孔半徑保持固定值不變時(shí),不同介電常數(shù)介質(zhì)材料對(duì)應(yīng)的負(fù)折射頻帶區(qū)域也各不相同，從而可以得出當(dāng)介質(zhì)介電常數(shù)不斷增大時(shí),其折射率將增大,出現(xiàn)負(fù)折射現(xiàn)象的初始頻點(diǎn)降低,負(fù)折射帶寬也變小,因此當(dāng)選擇折射率較大的底板材料時(shí),反而得到更小的負(fù)折射頻帶，如下圖4-8所示。表4-2不同的介電常數(shù)介質(zhì)材料產(chǎn)生負(fù)折射現(xiàn)象的頻率區(qū)域及帶寬圖4-8不同介質(zhì)材料折射率與負(fù)折射頻帶帶寬對(duì)應(yīng)關(guān)系4.3光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象的應(yīng)用光子晶體負(fù)折射現(xiàn)象具有的低耗能傳播速度快等特殊的優(yōu)點(diǎn)，在應(yīng)用上具有很大前景和發(fā)展空間，關(guān)于光子晶體負(fù)折射特性，目前研究人員將這種特性主要應(yīng)用在以下四個(gè)方面：1) 傳統(tǒng)的成像過(guò)程會(huì)受到