初二數(shù)學(xué)第五講與三角形有關(guān)的線段和角(教案)

1、個性化教案第05講 與三角形有關(guān)的線段和角適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域全國-人教版課時時長（分鐘）120分鐘知識點(diǎn)1. 三角形的概念2. 三角形中的主要線段3. 三角形的面積4. 三角形的穩(wěn)定性5. 三角形的重心6. 三角形的三邊關(guān)系定理及推論7. 三角形的內(nèi)角和定理8. 三角形的外角性質(zhì)9. 共邊三角形面積的計算教學(xué)目標(biāo)1. 了解三角形的有關(guān)概念；了解三角形的穩(wěn)定性；會按邊或角對三角形進(jìn)行分類；理解三角形的內(nèi)角和、外角和及三邊關(guān)系；2. 會畫三角形的主要線段；知道三角形的內(nèi)心、外心和重心3. 掌握三角形內(nèi)角和定理及推論；4. 按要求解決三角形的邊、角的計算問題5. 能用三角形的

2、內(nèi)心、外心的知識解決簡單問題； 教學(xué)重點(diǎn)1. 三角形的邊、高、中線、角平分線的定義及性質(zhì)；2. 通過三角形的內(nèi)角和來確定三角形的外角和以及多邊形的外角和；教學(xué)難點(diǎn)三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)在自然界，三角形有其非凡神奇的魅力。也許你會知道美麗富饒的珠江三角區(qū)、長江三角區(qū)；國外又有湄公河濱如三角、尼羅河坦塔三角等，特別是大西洋百慕大，甚至有火星上的金字塔物體等，都充滿著無窮的“大三角”奧秘。有趣的是，在賦予宇宙信息的人體中，也有一些特殊奇妙的三角區(qū)。諸如“致命三角”、“海氏三角”、“多事三角”等。美國發(fā)明家富勒上幼稚園時，眼睛遠(yuǎn)視，又是斗雞眼。這位發(fā)明家

3、回憶道：“老師給了我們一些牙簽，要我們蓋些房子。別的兒童視力好，熟悉房舍和谷倉的樣子，搭了長方形的建筑。我視力不好，看不到結(jié)構(gòu)的形態(tài)細(xì)節(jié)，只好又推又拉偶爾發(fā)現(xiàn)三角形可以搭起一種最穩(wěn)固的房舍。老師們看后，吃驚得很?！比舾赡旰?，富勒根據(jù)三角形是自然界最穩(wěn)固形態(tài)的信念，于1967年為蒙特利爾世界博覽會建設(shè)了美國館。那是一座由無數(shù)三角多體形支架拼合而成的大圓球，直徑76m，高達(dá)10層樓房。為北京奧運(yùn)會建成的“鳥巢體育館”，是由無數(shù)三角多體形支架拼合而成的前所未有的宏偉建筑。而在中國的古建筑文化藝術(shù)中，山東曲阜的少昊陵、銀川的西夏王陵和吉林的將軍墳等，無不出色地表現(xiàn)出三角形建筑結(jié)構(gòu)的超凡藝術(shù)。在國外，埃

4、及的庫孚金字塔、墨西哥的階梯金字塔等，更有探不盡的三角神秘。所以，三角形態(tài)除了可以具體地再現(xiàn)事物的外部特征之外，還可以表現(xiàn)事物的本質(zhì)和規(guī)律。它不囿于自然的真實(shí)，而是按照人們的科學(xué)與審美的意愿，去創(chuàng)造另一番理想的世界。二、知識講解1.三角形的分類：2.三角形的高、中線、角平分線（1）三角形的高：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。三角形的三條高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心.（2）三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.（3）三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的平分線和對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的

5、角平分線。3.三角形的內(nèi)角與外角（1）三角形的內(nèi)角：ü 定義：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角.ü 三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.ü 三角形內(nèi)角和定理的作用：在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可求出其內(nèi)角度數(shù)；求一個三角形中各角之間的關(guān)系。（2）三角形的外角ü 定義：三角形一邊與另一邊延長線組成的角，叫做三角形的外角。三角形外角和為360°。ü 性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角. 4三角

6、形的三邊關(guān)系（1）三邊關(guān)系性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，三角形的三邊關(guān)系反應(yīng)了任意三角形邊的限制關(guān)系.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形. 當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍?？键c(diǎn)/易錯點(diǎn)1關(guān)于三角形的高的注意事項(xiàng)：（1）三角形的高線是一條線段；（2）銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部，一條在三角形內(nèi)部，三條高所在直線交于三角形外一點(diǎn)；直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條直角邊，它們的交點(diǎn)是

7、直角的頂點(diǎn)，另一條在三角形的內(nèi)部?？键c(diǎn)/易錯點(diǎn)2關(guān)于三角形的中線的注意事項(xiàng)：（1）三角形的中線是一條線段；（2）三角形的每一條中線將三角形分成兩個面積相等的三角形；（3）三角形三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心.考點(diǎn)/易錯點(diǎn)3關(guān)于三角形的角平分線的注意事項(xiàng)：（1）三角形的角平分線是一條線段；（2）三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.考點(diǎn)/易錯點(diǎn)4三角形的外角特點(diǎn)：（1）外角的頂點(diǎn)是三角形的一個頂點(diǎn)；（2）外角的一條邊是三角形的一邊；（3）外角的另一條邊是三角形某條邊的延長線. 考點(diǎn)/易錯點(diǎn)5三角形三邊關(guān)系注意：這里的“兩邊”指的是任意的兩邊. 對于“兩邊之差”它可能是正

8、數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，一般地取“差”的絕對值；三角形的三邊關(guān)系是“兩點(diǎn)之間，線段最短”的具體應(yīng)用。三、例題精析【例題1】【題干】原三角形如圖，如圖1，原三角形內(nèi)部有1個點(diǎn)時，原三角形可被分成3個三角形；如圖2，原三角形內(nèi)部有2個不同點(diǎn)時，原三角形可被分成5個三角形；如圖3，原三角形內(nèi)部有3個不同點(diǎn)時，原三角形可被分成7個三角形；以此類推，原三角形內(nèi)部有n個不同點(diǎn)時，原三角形可被分成 個三角形【答案】三角形內(nèi)部每增加一個點(diǎn)，得到三角形的個數(shù)正好是比點(diǎn)的個數(shù)的2倍還多1個，故填2n+1【解析】認(rèn)真審題可以發(fā)現(xiàn)：在三角形內(nèi)部每增加一個點(diǎn)，得到三角形的個數(shù)正好是比點(diǎn)的個數(shù)的2倍還多1個，以此類推，即可發(fā)現(xiàn)

9、規(guī)律【變式1】過A、B、C、D、E五個點(diǎn)中任意三點(diǎn)畫三角形；（1）其中以AB為一邊可以畫出 個三角形；（2）其中以C為頂點(diǎn)可以畫出 個三角形【答案】（1）如圖，以AB為一邊的三角形有ABC、ABD、ABE共3個；（2）如圖，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的三角形有ABC、BEC、BCD、ACE、ACD、CDE共6個【解析】考查了三角形的定義，以及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出圖形是解題的關(guān)鍵【變式2】已知在正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A，B兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置如圖所示，點(diǎn)C也在小方格的頂點(diǎn)上，且以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積為1，則點(diǎn)C的個數(shù)為（） A3個B4個C5個D6個【答案】D解

10、：C點(diǎn)所有的情況如圖所示：【解析】怎樣選取分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到點(diǎn)C的個數(shù)不遺不漏，按照點(diǎn)C所在的直線分為兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A在同一條直線上時，AC邊上的高為1，AC=2，符合條件的點(diǎn)C有4個；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一條直線上時，BC邊上的高為1，BC=2，符合條件的點(diǎn)C有2個【例題2】【題干】ABC中，ADBC，AE平分BAC交BC于點(diǎn)E（1）B=30°，C=70°，求EAD的大?。?）若BC，則2EAD與CB是否相等？若相等，請說明理由【答案】（1）B=30°，C=70°，BAC=180°BC=80°，AE是角平分線，EAC=BAC=4

11、0°，AD是高，C=70°，DAC=90°C=20°EAD=EACDAC=40°20°=20°；（2）由（1）知，EAD=EACDAC=BAC（90°C）把BAC=180°BC代入，整理得EAD=CB，2EAD=CB【解析】本題利用了三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求解【變式1】已知BD是ABC的一條中線，ABD與BCD的周長分別為24，17，則ABBC的長是 【答案】BD是ABC的一條中線，AD=CD，ABD與BCD的周長的差=（AB+AD+BD）（BC+CD+BD）=AB+AD+B

12、DBCCDBD=ABBC，ABD與BCD的周長分別為24，17，ABBC=2417=7【解析】考查了三角形的中線，求出兩個三角形的周長的差等于ABBC是解題的關(guān)鍵。 【變式2】如圖，AD為ABC的中線，BE為ABD的中線（1）ABE=15°，BAD=40°，求BED的度數(shù)；（2）在BED中作BD邊上的高，垂足為F；（3）若ABC面積為40，BD=5，求BDE中BD邊上的高?！敬鸢浮浚?）ABE=15°，BAD=40°，BED=ABE+BAD=15°+40°=55°；（2）如圖，EF即為BED邊BD上的高線；（3）AD為ABC

13、的中線，BE為ABD的中線，SABD=SABC，SBDE=SABD，SBDE=×SABC=SABC，ABC的面積為40，SBDE=×40=10，BD=5，×5EF=10，解得EF=4；【解析】本題考查了三角形的中線、高線，以及三角形的面積熟練掌握并利用等底等高的三角形的面積相等與等高的三角形的面積的比等于底邊的比是解題的關(guān)鍵【例題3】【題干】如圖，在正方形ABCD中，BD=2，DCE是正方形ABCD的外角，P是DCE的角平分線CF上任意一點(diǎn)，則PBD的面積等于（）A1B1.5C2D2.5【答案】APBD的面積等于=1【解析】考查了三角形面積公式以及代入數(shù)值求解的能

14、力，注意平行線間三角形同底等高【變式1】如圖，在三角形AOB中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，4）和（6，2），求三角形AOB的面積 【答案】如圖，過A作水平線l交y軸于點(diǎn)E，過B作垂線，交直線l與點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，則S矩形ECDO=6×4=24，SRtAEO=×4×2=4；SRtABC=4；SRtOBD=×6×2=6；SOAB=S矩形ECDOSRtABCSRtAEOSRtOBD=10三角形AOB的面積是10【解析】過A作水平線l交y軸于點(diǎn)E，過B作垂線，交直線l與點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，四邊形面積ECDO為24OAB的面積為24減去三個直角三角形

15、的面積【變式2】（1）如圖1所示，已知ABC中，D為BC的中點(diǎn)，請寫出圖1中，面積相等的三角形： ，理由是 。（2）如圖2所示，已知：平行四邊形AABC，D為BC中點(diǎn)，請你在圖中過D作一條線段將平行四邊形AABC的面積平分，平分平行四邊形AABC的方法很多，一般過 畫直線總能將平行四邊形AABC的面積平分（3）如圖3所示，已知：梯形ABCA中，AABC，D為BC中點(diǎn)，請你在圖3中過D作一條線段將梯形的面積等分（4）如圖4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（ADBC）區(qū)域內(nèi)種兩種等面積的作物，并在河岸AD與公路BC間挖一條水渠EF，EF左右兩側(cè)分別種植了玉米、小麥，為了提高效益，要求EF最短請你

16、畫出相應(yīng)的圖形說明方案設(shè)計的理由【答案】（1）D為BC的中點(diǎn)，SABD=SADC，理由是：等底等高；（2）平行四邊形對邊中點(diǎn)；（3）如圖3，取AA'中點(diǎn)E，連接DE，（4）如圖4：連接對邊中點(diǎn)M、N，過MN中點(diǎn)O作EFBC，交AD于E，交BC于FEF最短【解析】考查了三角形的面積，在解題時要根據(jù)已知條件得出結(jié)論，再結(jié)合各個知識點(diǎn)【例題4】【題干】手工課上，小明用螺栓將兩端打有孔的5根長度相等的木條，首尾連接制作了一個五角星，他發(fā)現(xiàn)五角星的形狀不穩(wěn)定，稍微一動五角星就變形了于是他想在木條交叉點(diǎn)處再加上若干個螺栓，使其穩(wěn)定不再變形，他至少需要添加的螺栓數(shù)為（）A1個B2個C3個D4個【答案

17、】A如圖：A點(diǎn)加上螺栓后，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，原不穩(wěn)定的五角星中具有了穩(wěn)定的各邊【解析】三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得【變式1】六邊形鋼架ABCDEF，由6條鋼管鉸接而成，如圖所示，為使這一鋼架穩(wěn)固，試用三條鋼管連接使之不能活動，方法很多，請至少畫出三種方法（只需畫圖，不必寫作法）【答案】如圖所示【解析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，作六邊形的三條對角線，把六邊形分成三角形即可【變式2】如圖，由6條鋼管鉸接而成的六邊形是不穩(wěn)定的，請你再用三條鋼管連接使之穩(wěn)固（方法很多，請?zhí)峁┧姆N不同連接方法）【答案】

18、如圖所示【解析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，用連接的鋼管把六邊形分成三角形即可【例題5】【題干】ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心如果AG=6，則線段DG的長為（）A2B3C6D12【答案】B三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對邊中點(diǎn)的距離的2倍，DG=AG=3【解析】三角形的重心的性質(zhì)：三角形重心到頂點(diǎn)的距離是其到對邊中點(diǎn)的距離的2倍 【變式1】如圖，O是ABC的重心，則的值是（）ABC2D3【答案】 CO是ABC的重心，=2?！窘馕觥看祟}主要考查了三角形重心的定義，熟練掌握相關(guān)的定義是解題關(guān)鍵【變式2】在ABC中，D、E、F三點(diǎn)將BC分成四等分，XG：BX=1：3，H為AB中點(diǎn)ABC重心是AX

19、BYCZDW【答案】CD、E、F三點(diǎn)將BC分成四等分，BE=CE，AE是ABC邊BC的中線，H為AB中點(diǎn)，CH是ABC邊BA的中線，交點(diǎn)即是重心【解析】掌握三角形的重心定義找出AE是ABC邊BC的中線，CH是ABC邊BA的中線是解決問題的關(guān)鍵【例題6】【題干】如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序?yàn)?、3、4、6，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為何（）A5B6C7D10【答案】C解：已知4條木棍的四邊長為2、3、4、6；選2+3、4、6作為三角形，則三邊長為5、4、6；5465+4，能構(gòu)成三角

20、形，此時兩個螺絲間的最長距離為6；選3+4、6、2作為三角形，則三邊長為2、7、6；6276+2，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最大距離為7；選4+6、2、3作為三角形，則三邊長為10、2、3；2+310，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；選2+4、3、6作為三角形，則三邊長為6、3、6；而6366+3，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最大距離為6；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7【解析】若兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可【變式1】四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點(diǎn)O求證：AC+BD（AB+

21、BC+CD+DA）證明：在OAB中有OA+OBAB在OAD中有 ，在ODC中有 ，在OBC中有 ，OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即： ，即：AC+BD（AB+BC+CD+DA）【答案】證明：在OAB中OA+OBAB，在OAD中有OA+ODAD，在ODC中有OD+OCCD，在OBC中有OB+OCBC，OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即2（AC+BD）AB+BC+CD+DA，即AC+BD（AB+BC+CD+DA）?！窘馕觥咳切蔚娜呹P(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊【變式2】（2013河北）如圖1，

22、M是鐵絲AD的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成ABC，且B=30°，C=100°，如圖2下列說法正確的是（）A點(diǎn)M在AB上B點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處C點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)B較近，距點(diǎn)C較遠(yuǎn)D點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)C較近，距點(diǎn)B較遠(yuǎn)【答案】CC=100°，ABAC，如圖，取BC的中點(diǎn)E，則BE=CE，AB+BEAC+CE，由三角形三邊關(guān)系，AC+BCAB，ABAD，AD的中點(diǎn)M在BE（BC）上，且距點(diǎn)B較近，距點(diǎn)C較遠(yuǎn)【解析】作輔助線把ABC的周長分成兩個部分是解題的關(guān)鍵，本題需要注意判斷AB的長度小于AD的一半，這也是容易忽視而導(dǎo)致求解不完整的地方【例題7】【題干】如圖BP、C

23、P分別平分ABC、ACB，請你探索A和P的數(shù)量關(guān)系解：BP平分ABC（已知），PBC=ABC （ ）同理可得PCB=ACB。BPC+PBC+PCB=180°（ ）BPC=180°PBCPCB （等式的性質(zhì)）=180°（ABC+ACB ） （ ）=180°（180° ）=90°+ 【答案】BP平分ABC（已知），PBC=ABC（角平分線的定義）同理可得PCB=ACB，BPC+PBC+PCB=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°）BPC=180°PBCPCB（等式的性質(zhì)）=180°（ABC+ACB

24、）（等量代換）=180°（180°A）=90°+A【解析】根據(jù)角平分線的定義、BPC的內(nèi)角和定理求得求得BPC=180°PBCPCB=180°（ABC+ACB ）=90°+A【變式1】ABC中，AD是高，角平分線AE、BF相交于點(diǎn)O（1）若ABC=60°，C=70°，DAE和BOA的度數(shù)；（2）若ABC=，C=（），請用含有、的代表式表示DAE= 【答案】（1）ABC=60°，C=70°，BAC=180°ABCC=50°，AD是高，ADC=90°，DAC=90

25、76;C=20°，AE、BF是角平分線，EAC=BAE=BAC=25°，ABF=ABC=30°，DAE=EACDAC=25°20°=5°；AOB=180°BAOABO=180°25°30°=125°；（2）BAC=180°ABCC=180°，AD是高，ADC=90°，DAC=90°，AE是角平分線，EAC=BAC=（180°），DAE=（180°）（90°）=（）【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是18

26、0°【變式2】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明A+B=C+D；（2）如圖2，ABCD，AP、CP分別平分BAD、BCD，圖2中共有 個“8字形”；若ABC=80°，ADC=38°，求P的度數(shù)；（提醒：解決此問題你可以利用圖1的結(jié)論或用其他方法）猜想圖2中P與B+D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【答案】（1）在AEB中，AEB=180°AB，在DEC中，DEC=180°DC，AEB=DEC（對頂角相等），180°AB=180°DC，A+B=D+C；（2）交點(diǎn)有點(diǎn)M、N各有1個，交點(diǎn)O有4個，所以，“8字形”圖形共有6個

27、；ABC=80°，ADC=38°，OAB+80°=DOC+38°，DCOBAO=42°，AP、CP分別是DAB和BCD的角平分線，DAM=DAB，PCM=OCD，又DAM+P=PCD+ADC，P=PCD+ADCDAM=（DCOBAO）+ADC=×42°+38°=59°；根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，OAB+B=OCD+D，BAM+B=PCM+P，所以，OCDOAB=BD，PCMBAM=BP，AP、CP分別是DAB和BCD的角平分線，BAM=OAB，PCM=OCD，（BD）=BP，整理得，2P=B+D【解析】本題

28、考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵【例題8】【題干】如圖，在ABC中，BCA，BAC和ABC的外角平分線AE、BD分別與BC、CA的延長線交于E、D若ABC=AEB，D=BAD求BAC的度數(shù) 【答案】設(shè)ABC=x，ABC=AEB，AEB=x，1=ABC+AEB=2x，2=2x，3=D=4x，BCA=2+AEC=3x，F(xiàn)BD=D+BCD=7x，DBA=FBD=7x，7x+7x+x=180°，解得x=12°，BAC=180°ABCACB=180°x3x=132°【解析】考查了三角

29、形的內(nèi)角和為180°也考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)【變式1】如圖，在ABC中，A=60°，點(diǎn)E是兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)F是兩條外角平分線，點(diǎn)A1是內(nèi)角ABC、外角ACD平分線的交點(diǎn)的交點(diǎn)（1）求A1EC的度數(shù)；（2）求BFC的度數(shù)；（3）探索A1與A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【答案】（1）點(diǎn)E是兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，EBC=ABC，ECB=ACB，BEC=180°（ABC+ACB）=180°（180°A）=90°+A=120°，A1EC=180°120°=60°；（2）點(diǎn)F是兩條外角

30、平分線，F(xiàn)BC=（180°ABC），ECB=（180°ACB），BFC=180°（180°ABC+180°ACB）=（ABC+ACB）=（180°A）=90°A=60°，（3）A1=A理由如下：點(diǎn)A1是內(nèi)角ABC、外角ACD平分線的交點(diǎn)的交點(diǎn)ACD=2A1CD，ABC=2A1BD，A1=A1CDA1BD，A=ACDABD，A=2A1CD2A1BD=2（A1CDA1BD）A=2A1，即A1=A；【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°也考查了三角形外角性質(zhì)友情提示，此題與例題7可以作為常用

31、知識讓學(xué)生熟悉并且記憶【變式2】如圖，已知MON=90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上移動，OAB的角平分線與ABO的外角平分線交于點(diǎn)C當(dāng)OAB=60°時，求ACB的度數(shù)；試猜想，隨著點(diǎn)A，B的移動，ACB的度數(shù)是否變化？說明理由【答案】如圖，延長AB到點(diǎn)FAC平分OAB（已知），BAC=OAB（角平分線的定義），BC平分OBF（已知），CBF=OBF（角平分線定義），OBF=MON+OAB（三角形的外角性質(zhì)），CBF=ACB+BAC（三角形的外角性質(zhì)），ACB=CBFBAC=（MON+OAB）OAB=MON=×90°=45°，即ACB=45

32、°；ACB大小不變理由如下：由知，ACB=CBFBAC=MON=45°即ACB的度數(shù)是定值【解析】考查三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)以及角平分線的定義。四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）A三角形的角平分線B三角形的中線C三角形的高D三角形的中位線【答案】C三角形的中線、角平分線一定在三角形內(nèi)部，而鈍角三角形的高在三角形外部【解析】考查了三角形的高、中線和角平分線，要熟悉它們的性質(zhì)方可解答2.如圖，在長方形網(wǎng)格中，每個小長方形的長為2，寬為1，A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形面積為2，則滿足條件的

33、點(diǎn)C個數(shù)是（）A2B3C4D5【答案】CC點(diǎn)所有的情況如圖所示：【解析】正確選取分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到不遺不漏3.三角形的重心是三角形的（）A三條中線的交點(diǎn)B三條角平分線的交點(diǎn)C三邊垂直平分線的交點(diǎn)D三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】AA、三條中線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)是三角形的重心；B、三條角平分線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)是三角形的內(nèi)心；C、三邊垂直平分線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)是三角形的外心；D、三條高所在直線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)是三角形的垂心【解析】本題考查了三角形重心的概念，明確重心的畫法是解題的關(guān)鍵4.ABC的面積為60，點(diǎn)0是重心，連接BG并延長交AC于D，連接GA，則GAB的面積為（）A40B30C20D

34、10【答案】C連接CG并延長交AB于點(diǎn)E，G是ABC的重心，GE=CE，SGAB=SABC=×60=20【解析】考查三角形的重心及三角形的面積公式5.（2013南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個三角形，則最多能組成三角形的個數(shù)為（）A1B2C3D4【答案】C四條木棒的所有組合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9；3，8，9能組成三角形【解析】三角形三邊關(guān)系：任兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊；注意多解和取舍6.如圖，在ABC中，BD平分ABC，BE是AC邊上的中線，如果AC=10cm，則AE= cm，

35、如果ABD=30°，則ABC= 【答案】BE是AC邊上的中線，AC=10cm，AE=AC=×10=5cm，BD平分ABC，ABD=30°，ABC=2ABD=2×30°=60°【解析】根據(jù)題意，E是邊AC的中點(diǎn)，所以AE=AC，代入數(shù)據(jù)計算即可；根據(jù)角平分線的定義，ABC=2ABD，然后代入數(shù)據(jù)計算即可7.如圖，在ABC中，A=84°，D是BC延長線上的一點(diǎn)，ABC的平分線與ACB的平分線交于點(diǎn)E，ABC的平分線與ACD的平分線交于點(diǎn)E，那么BEC= ，BECE= 【答案】在ABC中，A=84°，ABC+ACB=18

36、0°A=96°又ABC的平分線與ACB的平分線交于點(diǎn)E，EBC+ECB=（ABC+ACB）=48°，BEC=180°（EBC+ECB）=132°BECE=ECE=（ACD+ACB）=×180°=90°【解析】考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)8.如圖，在ABC中，1=2，3=4，BOC=120°，則A= 【答案】1+2+3+4+A=180°，2+4+BOC=180°，而1=2，3=4，22+24+A=180°，2+4+BOC=180°，22+24+2BOC=3

37、60°，2BOCA=180°，而BOC=120°，A=2×120°180°=60°【解析】考察三角形內(nèi)角和定理9.ABC邊長a，b，c均為整數(shù)，且a和b滿足|a4|+（b1）2=0，求ABC中c邊的長【答案】|a4|+（b1）2=0，a=4，b=1又a，b，c均為三角形的三邊，3c5c為整數(shù)，c=4答：ABC中c邊的長為4【解析】本題要特別注意非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零；初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）10.在ABC中，已知ABC=60

38、76;，ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)求ABE、ACF和BHC的度數(shù)【答案】BE是AC上的高，AEB=90°，ABC=60°，ACB=50°，A=180°60°50°=70°，ABE=180°90°70°=20°，CF是AB上的高，AFC=90°，ACF=180°90°70°=20°，ABE=20°，EBC=ABCABE=60°20°=40°，A

39、CF=20°，ACB=50°，BCH=30°，BHC=180°40°30°=110°【解析】此題主要考查了三角形的高，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和為180°，理清角之間的關(guān)系【鞏固】1（2012房山區(qū)一模）任意四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，把AOB、AOD、COD、BOC的面積分別記作S1、S2、S3、S4，則下列各式成立的是（）AS1+S3=S2+S4BS3S2=S4S1CS1S4=S2S3DS1S3=S2S4【答案】D過點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E，則S1=CODE，S2=AODE，同理可證：

40、，S1S3=S2S4【解析】解題時抓住不同底等高三角形面積間的數(shù)量關(guān)系2.如果一個三角形的各邊長均為整數(shù)，周長大于4且不大于10，請寫出所有滿足條件的三角形的三邊長【答案】解：周長大于4且不大于10，周長為5，6，7，8，9，10，當(dāng)周長為5時，最長邊不能超過2，三邊長只能是2，2，1；當(dāng)周長為6時，最長邊不能超過2，三邊長只能是2，2，2；當(dāng)周長為7時，最長邊不能超過3，三邊長只能是2，2，3；1，3，3；當(dāng)周長為8時，最長邊不能超過3，三邊長只能是2，3，3；當(dāng)周長為9時，最長邊不能超過4，三邊長只能是2，3，4；3，3，3；1，4，4；當(dāng)周長為10時，最長邊不能超過4，三邊長只能是2，4

41、，4；3，3，4【解析】考查了三角形的三邊關(guān)系，三角形三邊關(guān)系定理3.（2013達(dá)州）在ABC中，A=m°，ABC和ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得A1；A1BC和A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得A2；A2012BC和A2012CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則A2013= 度【答案】解：A1B平分ABC，A1C平分ACD，A1BC=ABC，A1CA=ACD，A1CD=A1+A1BC，即ACD=A1+ABC，A1=（ACDABC），A+ABC=ACD，A=ACDABC，A1=A，A1=m°，A1=A，A2=A1=A，以此類推A2013=A=°【解析】解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出A1

42、=A，并能找出規(guī)律4. 解答下列問題（1）如圖，ABC中，ABC=50°，ACB=70°，D為邊BC上一點(diǎn)（D與B、C不重合），連接AD，ADB的平分線所在直線分別交直線AB、AC于點(diǎn)E、F求證：2AEDCAD=170°；（2）若ABC=ACB=n°，且D為射線CB上一點(diǎn)，（1）中其他條件不變，請直接寫出AED與CAD的數(shù)量關(guān)系（用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）DE平分ADB，設(shè)ADE=BDE=x°AED=ABC+BDE，ABC=50°，AED=x°+50°，ADB=ACB+CAD，CAD=ADBACB，ACB=

43、70°，ADB=（2x）°，CAD=（2x）°70°由×2，得：2AEDCAD=170°；（2）2AEDCAD=（3n）°或2AED+CAD=540°（3n）°【解析】設(shè)ADE=BDE=x°，則可表示出AED；再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可表示出CAD，即可推出兩個角的關(guān)系5.（1）如圖（1），ABC中，ABC、ACB的平分線交于O，A=40°，求BOC度數(shù)（2）如圖（2），DEF兩個外角的平分線相交于點(diǎn)G，D=40°，求EGF的度數(shù)（3）由（1）、（2）可以發(fā)現(xiàn)BOC與EGF有怎

44、樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)A=D=n°，BOC與EGF是否還具有這樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？【答案】（1）A=40°，ABC+ACB=180°40°=140°BO、CO是ABC、ACB角平分線，OBC+OCB=（ABC+ACB）=×140°=70°，BOC=180°（OBC+OCB）=180°70°=110°；（2）設(shè)ABC的兩個外角為、則G=180°（+），利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和可知+=D+DFE+D+DEF=180°

45、+40°=220°，G=180°（+）=70°；（3）A=D=n°，BOC與EGF互補(bǔ)證明：當(dāng)A=n°時，BOC=180°（180°n°）÷2=90°+，D=n°，EGF=180°360°（180°n°）÷2=90°，A+D=90°+90°=180°，BOC與EGF互補(bǔ)【解析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等

46、于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和【拔高】1.已知點(diǎn)P是射線ON上一動點(diǎn)（即P可在射線ON上運(yùn)動），AON=30°，當(dāng)A=時，AOP為直角三角形；當(dāng)A滿足 時，AOP為鈍角三角形【答案】若AOP是直角三角形，應(yīng)分為兩種情況：當(dāng)A=90°時，AOP是直角三角形，當(dāng)APO=90°時，A=180°90°30°=60°，若AOP是鈍角三角形，應(yīng)分為兩種情況：當(dāng)A是鈍角時，A90°，AOP是鈍角三角形；當(dāng)APO時鈍角時，A60°，AOP是鈍角三角形；【解析】本題考查了三角形的分類和三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討

47、論2如圖，A、B兩點(diǎn)同時從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A以每秒x個單位長度沿x軸的負(fù)方向運(yùn)動，點(diǎn)B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運(yùn)動（1）若|x+2y5|+|2xy|=0，試分別求出1秒鐘后A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)BAO的鄰補(bǔ)角和ABO的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，問：點(diǎn)A、B在運(yùn)動的過程中，P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由；（3）如圖，延長BA至E，在ABO的內(nèi)部作射線BF交x軸于點(diǎn)C，若EAC、FCA、ABC的平分線相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作BE的垂線，垂足為H，試問AGH和BGC的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并說明理由【答案】（1）解方程組：，得：，A（1，0），B

48、（0，2）；（2）P的大小不發(fā)生變化，P=180°PABPBA=180°（EAB+FBA）=180°（ABO+90°+BAO+90°）=180°（180°+180°90°）=180°135°=45°；（3）AGH=BGC，理由如下：作GMBF于點(diǎn)M由已知有：AGH=90°EAC=90°（180°BAC）=BAC，BGC=BGMCGM=90°ABC（90°ACF）=（ACFABC）=BAC，AGH=BGC【解析】考查角平分線性質(zhì)

49、，三角形內(nèi)角和定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識3.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=7，OC=18，將點(diǎn)C先向上平移7個單位，再向左平移4個單位，得到點(diǎn)B（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿CO方向移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以1個單位長度/秒的速度沿OA方向移動，設(shè)移動的時間為t秒（0t7）試求出四邊形BQOP的面積；若記ABQ的面積為S1，PBC的面積記為S2，當(dāng)S1S2時，求t的取值范圍【答案】（1）將點(diǎn)C先向上平移7個單位，即點(diǎn)C落在AB的延長線上，縱坐標(biāo)為7，橫坐標(biāo)為18，再向左平移4個單位，橫坐標(biāo)變?yōu)?84=14，故其坐標(biāo)為（14，7）；（2）S四邊

50、形BQOP=S梯形ABCOSABQSPBC=（AB+OC）PCAO=（14+18）×7×14×（7t）×2t×7=1127（7t）7t=11249+7t7t=63S1=SABQ=×14×（7t）=497t，S2=SPBC=×2t×7=7t又S1S2，497t7t，t又0t7，t的取值范圍是t7【解析】（1）要熟悉平移的定義：平移是指在平面內(nèi)，將一個圖形上的所有點(diǎn)都按照某個方向作相同距離的移動，這樣的圖形運(yùn)動叫作圖形的平移運(yùn)動，簡稱平移平移不改變物體的形狀和大小平移可以不是水平的（2）利用三角形和梯形的面積

51、公式，將三角形和梯形的面積用含t的代數(shù)式表示出來，再進(jìn)一步解答課程小結(jié)1. 確定三角形的個數(shù)2. 三角形的角平分線、中線和高線的性質(zhì)3. 三角形的面積的應(yīng)用4. 三角形的穩(wěn)定性5. 三角形的重心6. 三角形三邊關(guān)系7. 三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)的應(yīng)用課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如圖，ABC的角平分線AD、中線BE相交于點(diǎn)O，則AO是ABE的角平分線；BO是ABD的中線；DE是ADC的中線；ED是EBC的角平分線的結(jié)論中正確的有（）A1個B2個C3個D4個【答案】BABC的角平分線AD、中線BE相交于點(diǎn)O，BAD=CAD，AE=CE，在ABE中，BAD=CAD，AO是ABE的角平分線，正確；AOOD，

52、所以BO不是ABD的中線，錯誤；在ADC中，AE=CE，DE是ADC的中線，正確；ADE不一定等于EDC，那么ED不一定是EBC的角平分線，錯誤【解析】用到的知識點(diǎn)為：三角形一個角的平分線與對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫三角形的角平分線；連接三角形的頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中線2.在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)、生活中有以下四種情況：用“人”字梁建筑屋頂； 自行車車梁是三角形結(jié)構(gòu)；用窗鉤來固定窗扇； 商店的推拉防盜鐵門其中用到三角形穩(wěn)定性的是（）ABCD【答案】C用“人”字梁建筑屋頂，是利用三角形具有穩(wěn)定性；自行車車梁是三角形結(jié)構(gòu)，是利用三角形具有穩(wěn)定性；用窗鉤來固定窗扇，是利用三角形具有穩(wěn)定性；商店的

53、推拉防盜鐵門，不是利用三角形具有穩(wěn)定性；綜上所述，用到三角形穩(wěn)定性的是【解析】考查三角形的穩(wěn)定性，要熟悉生活中物品形狀3.要判斷ABC的面積是DBC的面積的幾倍，只有一把僅有刻度的直尺，需要度量的次數(shù)最少是（）A3次以上B3次C2次D1次【答案】D解：連接AD并延長交BC于M，作DFBC交AP于點(diǎn)F一次測量AM（AD）即可得AD，AM長，即可算出DM長，由，即可求出ABC的面積是DBC的面積的幾倍所以只量一次【解析】根據(jù)同底三角形的面積比等于高之比求解4.在ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心，如果DG=2，那么線段AD的長是（）A2B3C6D12【答案】CAD是BC邊上的中線，G是重心，如果DG=2，AG=2DG=4，線段AD的長是6。【解析】主要考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍5. O是ABC的重心，則圖中與ABD面積相等的三角形個數(shù)為A3B4C5D6【答案】CO是ABC的重心，BD=CD，又ABD與ADC的高相等，ABD與ACD的面積相等=SABC，同理可知：CBE與ABE，ACF與BCF面積相等，并且都為ABC面積的一半，圖中與ABD面積相等的三角形個數(shù)為5個，【解析】考查三角形面積、重心的性質(zhì)及等積變換的知識點(diǎn)。6.已知三角形三邊長分別為2，x，13，若x為正整數(shù)，則