2015年全國高考數(shù)學(xué)卷文科卷1及解析(同名11346)

1、2022年全國高考數(shù)學(xué)卷文科卷1學(xué)校: 班級：考號(hào)：一、選擇題(題型注釋)1. 集合4 = x|x = 3 + 2,“wN,3 = 6,&10,12,14,那么集合Ap|B中的元素個(gè)數(shù)為(A)5(B) 4(C) 3(D) 22.己知點(diǎn)4(0,1)/(3,2),向gAC = (-4,-3),那么向ftBC=()(A) (-7.-4)(B) (7,4)(C) (-1,4)(D) (L4)3.復(fù)數(shù)Z滿足(Z l = l + i，那么2=()(A)-2-i(B) -2 + /(C) 2-i(D) 2 + z4. 如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長.那么稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任

2、取3個(gè)不同的數(shù)，那么這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()3 111(A)(B) -(C) (D)10510205. 橢閲E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為1, E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2 =8x的焦點(diǎn)啦介，AB是C的準(zhǔn)線 與E的兩個(gè)交點(diǎn)，那么AB=()(A)3(B) 6(C) 9(D) 126. ?九章算術(shù)?是我國占代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如卜問題：“今有委米依垣內(nèi)角，卜周八尺，高五 尺，問：積及為米幾何？ 其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部 的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體枳和堆放的米各為多少？ 己知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約 為3,估算出

3、堆放的米有()(A) 14斛 22 斛 (C) 36斛(D) 66 斛7. 己知僅是公差為1的等差數(shù)列,S“為an的前川項(xiàng)和,假設(shè)Ss = 4S4,那么q°=()1719(A)(B) (C) 10(D) 12228. 函數(shù)/(X)= COS(QY+°)的局部圖像如以下圖，那么/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為()(A) (R/t ,/i4- k Z13B) (2k 、2k 7r + ), k w Z4 413(C) (k 、k + -)、k w Z44(D) (2k-,2k + -),keZ449. 執(zhí)行右面的程序框圖.如果輸入的Z = 0.01,那么輸出的=()(A)5610己知函

4、數(shù)f(x)二2 曰一 2,xvi -log2(x + lXx>l(D) 12且 f(a) = -3,那么 /(6-a)=(7531(A)-(C)(D)444411.圓柱被一個(gè)平面截去一局部后與半球(半徑為廠)組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖 如以下圖，假設(shè)該幾何體的外表積為16 + 20/r.那么r=()12設(shè)函數(shù)y = f(x)的圖像與y = 2a的圖像關(guān)于直線y = x對稱，且/(-2)+/(-4) = 1,那么«=()(A)-1(B) 1(C) 2(D) 4二. 填空題(題型注釋)13. 數(shù)列©中q = 24+】 = 2d,S為©的前

5、n項(xiàng)和，假設(shè)Sn = 126 ,那么 =.14. 函數(shù)f(x) = a+x+l的圖像在點(diǎn)(1J )的處的切線過點(diǎn)(厶7),貝U 6/=.|x+y-2<015. 假設(shè)x,y滿足約束條件Jx-2y + l<0，那么z二3x+y的最犬值為2x-y + 2n016. 己知尸是雙曲線C:亍一二=1的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)，A0,66,當(dāng) WF周長瑕小時(shí)，該三8角形的面枳為.三、解答題題型注釋17. 本小題總分值12分己知分別是M3C內(nèi)角的對邊，sin'B = 2sinAsinC.I 假設(shè)a = b,求cosB;II假設(shè)B = 9T,且a =近,求的而積.18. 本小題總分值12分如

6、圖四邊形ABCD為菱形.G為AC與BD交點(diǎn)，BE丄平lABCD ,I 證明：平面AEC丄平面3Q；II假設(shè)ZABC = 120°, AE丄EC,三棱錐E-ACD的體積為逅，求該三棱錐的側(cè)面積.319. 本小題總分值12分某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x 單位：T元 對年銷住雖y單位：t和年利潤z 單位：T元的影響，對近8年的宜傳費(fèi)兀和年銷估:崑;“ =1,2,8 數(shù)據(jù)作了初步處理，得到卜面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)最的值. Xyf (兀-療/I/I8 _ _ 工(兀一 x)(x-y) /I8 _ _ 工(Wj-w)(x y)14695Z 54 36438 40篤；為

7、霉(I )根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y = abx與y = c + dJ7，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類 型(給出判斷即可，不必說明理由)；(II) 根據(jù)(I)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程：(III) 這種產(chǎn)品的年利潤z與x, y的關(guān)系為z = 0.2y x，根據(jù)(1門 的結(jié)果答復(fù)以卜問題：(I )當(dāng)年宣傳費(fèi)x = 90時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？(II)當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(血,嶺)，(冷，冬)，(叫,叫),其回歸線V=Q + 0"的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為: n工(叫- 7)(嶺-厲_ _0=, a=

8、v - 0u1=120. (本小題總分值12分)過點(diǎn)A(LO)且斜率為k的直線1與圓C： (x2)'+(y 3)' = l交于M, N兩點(diǎn).(I )求k的取值范圍：(II) OMON = 12,其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.21. (本小題總分值12分)設(shè)函數(shù)f(x) = e2x-ahix.9(I )討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(1【)證明：當(dāng)。>0時(shí)f(x)>2a + ahi.a22. (本小題總分值10分)選修4-1：幾何證明選講如圖AB是00直徑，AC是O0切線，BC交00與點(diǎn)E.(I )假設(shè)D為AC中點(diǎn)，求證：DE是G0切線；(II)假'

9、;儀OA = CE ,求上4C3的人小.23. (本小題總分值10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C:x = -2,圓C2:(x-l)2+(y-2)2=l,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系.(I )求C，G的極坐標(biāo)方程.(II)假設(shè)直線C,的極坐標(biāo)方程為&晉(PWR),設(shè)C,，G的交點(diǎn)為M,N ,求厶C.MN的面積.24. (本小題總分值10分)選修4-5：不等式選講己知函數(shù)/(x) = |x+l|-2|x-«|,f/>0 . ( I )當(dāng)a = l時(shí)求不等式/(%)>1的解集：(【I)假設(shè)/(x)圖 像與x軸闈成的三角形

10、面枳大于6求a的取值范闈.參考答案1. D【解析】試題分析：由條件知,當(dāng)n二2時(shí)，3n+2二8,當(dāng)n=4時(shí),3n+2=14,故AAB=8,14,應(yīng)選D.考點(diǎn)：集合運(yùn)算2. A【解析】-AB = OB-OABC= AC-AB = (-7, -4),應(yīng)選 A.試題分析: 考點(diǎn)：向最運(yùn)算3. C【解析】試題分析：(z l)i = l + j，z二匕+2 i,應(yīng)選C.i-r考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算4. C【解析】 試題分析：從1, 2, 3, 4. 51,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法,其中的勾股數(shù)只有3,4,個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為丄，應(yīng)選C.10考點(diǎn)：古典概型5.

11、 B【解析】試題分析：拋物線C:y2=Sx的焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x = 2,橢圓E的右焦點(diǎn)為(2.0),橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為二+真= l>b>0), c=2, a- /rq if y：e = = 、*. a = 4 9 :. It = a2 c* = 12 :橢圓 E 方程為f - = 1 >a 216 12將X = -2代入橢圓E的方程解得A (-2,3), B (-2, 3), A I AB 1=6,應(yīng)選B.考點(diǎn)：拋物線性質(zhì)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)6. B3209【解析】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為“那么Ix2x3r = 8,所以廣=蘭，所以米堆的體枳為Ixi

12、x3x():x5434 33320故堆放的米約為4-22,應(yīng)選B.9考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體枳公式7. B【解析】試題 分析：公差d = l , Ss = 4S4 ,8q+*x8x7 = 4(4q + *x4x3),解得 二+©o = q + 9 = + 9 = 丁，應(yīng)選 B.考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式8. D試題分析：由五點(diǎn)作圖知1兀4 25 3兀(0 = U2【解析】解得 ar=n , (p=,所以 /(x) = cos(xr+),令442k7T<7rx+巴 <2k7r+7T,kwZ ,解得 2k-丄 v x<2k + -t keZ、故單調(diào)減區(qū)間為(

13、2k 丄,2k + -),44444k wZ ,應(yīng)選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)9. C【解析】試題分析:執(zhí)行第 1 次.t=0. 01, S=l, n=0, m= - =0. 5, S=S-m=0. 5, m = =0. 25, n=l, S=0. 5>t=0. 01,是.循環(huán)， 2 2執(zhí)行第 2 次，S=S-m =0. 25, m = =0. 125, n=2, S=0. 25>t=0. 01,是,循環(huán)，2執(zhí)行第 3 次,S=S-m =0. 125, m = =0. 0625, n=3, S=0.125>t=0. 01,是,循壞，2執(zhí)行第 4 次，S=S-m=0. 062

14、5, m = =0. 03125, n=4, S=0. 0625>t=0. 01,是，循環(huán)，2執(zhí)行第 5 次，S=S-m =0. 03125, 111 = =0. 015625, n=5, S=0. 03125>t=0. 01,是,循環(huán)2執(zhí)行第 6 次，S二S-m二0. 015625, m = =0. 0078125, n=6, S=0. 015625>t=0. 01,是，循環(huán).2執(zhí)行第 7 次.S=S-m=O. 0078125, m = =0. 00390625, n=7r S=0. 0078125>t=0. 01,否，輸出 應(yīng)選 C.2考點(diǎn)：程序框圖10. A【解析

15、】試題分析：f(d) = 3,當(dāng)時(shí)，/(n) = 2fl-1-2 = -3t那么2f,_1=-l,此等式顯然不成立，當(dāng)“>1 時(shí)，-log.(« + 1) =-3,解得a = 7.7A /(6-«)=/(-1) = 2"-2 = 一一，應(yīng)選 A.4考點(diǎn)：分段兩數(shù)求值：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)丙數(shù)圖像與性質(zhì)11. B【解析】試題分析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體足半球與半個(gè)圓柱的組介體，圓柱的半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為 2r,其外表枳為-x4r:4-rx2r+r2 + 2rx2r = 5r24-4r:=16 + 20,解得 *2,應(yīng)選 B.考點(diǎn)：簡單幾何體的三視圖

16、：球的外表枳公式：圓柱的測面積公式12. C【解析】試題分析：設(shè)(x,y)是函數(shù)y = /(x)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線y = -x對稱為(一 y, x),由知 (一y,_x )在函數(shù) y = 2如的圖像匕x=2+,解得 y = log,(x) + a ,即 /(x) =-log2(-x)+a , A / (-2) + / (-4) = - log, 2 + « - log2 4 + « = 1,解得 a = 2,應(yīng)選 C.考點(diǎn)：函數(shù)對稱；對數(shù)的定義與運(yùn)算13. 6【解析】試題分析:坷=2,。申=2%,數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，S= _= 126 ,：2&qu

17、ot; = 64 ,n=6. 1-2考點(diǎn)：等比數(shù)列定義與前n項(xiàng)和公式14. 1【解析】試題分析:(x) = 3o + i, f(i)= 3a+l,即切線斜率k = 3a + l,又/(l) = a + 2,切點(diǎn)為(1,。+ 2), I切線過(2,7), "+ =3。+ 1,解得a = l.12考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；15. 4【解析】試題分析：作出可行域如圖中陰影局部所示，作出直線3x+y = 0,平移直線/。，當(dāng)直線/ :z=3x+y a點(diǎn)、A (r+ v 2=0時(shí)，z取最人值，由'解得A1,1), .z二3x+y的域人值為4.x-2y + l

18、=0考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃解法16. 12點(diǎn)【解析】試題分析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為片，由雙曲線定義知，|PF|=2a+|Pf；|,APF 的周長為|PA| + |PF| + |AF =PK+2a+PFk |+ AF| = |PA|+| Pf； |+ AF|+2a,由于2a+1 AF |是定值,要使ZAPF的周長最小.貝iJ|PA +|Ff|M小，即P、A、林共線.V A0.6>/6, F, 一3,0,直線昭的方程為亍總"即“寺_3代入宀¥ =】整理得y:+6>/6y-96 = 0,解得y = 2>/6或y = _8&舍，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2“，17. I

19、 - II 14【解析】試題分析：I先由正弦定理將sm2 = 2smAsinC化為變得關(guān)系，結(jié)介條件a = b.用其中一邊把另外兩邊 表示出來，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；H由】知夕=2皿，根據(jù)勾股定理和即町求出c,從 而求出USC的而積.試題解析：1由題設(shè)及正弦定理可得庁=2ac.又 a = b ,可得 b = 2c, a = 2c,zj- i z*- b' i由余弦定理可得cosB = =2ac 4II由1知 = 2ac.因?yàn)? = 90° ,由勾股定理得a2+c2=fe2.i&a2 +c2 = 2cic , c = a = fl.所以A ABC的面積為1.

20、考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理；運(yùn)算求解能力18. I 見解析II 3+2巧【解析】試題分析：丨由四邊形ABCD為菱形知AC丄BD,由BE丄平面ABCD知AC丄BE,由線面垂直判定定理知AC丄平 面BED,由面而垂直的判定定理知平面AfC丄平而II設(shè)AB二X,通過解直角三角形將AG、GC、GB、 GD用x表示出來，在R0AEC中，用x表示EG,在RFAEBG中，用x表示EB,根據(jù)條件二梭錐E ACD的體枳 為半求出X,即可求出三棱錐E-ACD的側(cè)面積.試題解析：I因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC丄BD, 因?yàn)锽E丄平面ABCD,所以AC丄BE,故AC丄平面BED.又ACu平面AEC,所以平面AEC

21、丄平面BEDII設(shè) AB= A ,在菱形 ABCD 中，由 z ABC二 120° ,可得 AG=GC= A*, GB=GD=-.2 2因?yàn)锳E丄EC,所以在RfAAEC中,可得EG=X.由BE丄半面ABCD.知AEBG為直角三角形,町得BE= X2由己知得.三棱錐E-ACD的體積叫"“#x"cGD叱尊宀£故“2從而可得AE二EC二ED二所以AEAC的面枳為3, AEAD的面枳與AECD的面積均為故三棱錐E-ACD的側(cè)面枳為3+2考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)；面面垂直的判定：三棱錐的體積與外表枳的計(jì)算；邏輯推理能力；運(yùn)算求解能力19. I y = c +

22、dj?適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型 y = 100.6+68j7 III【解析】試題分析：I由散點(diǎn)圖及所給甫數(shù)圖像即町選出適合作為擬合的函數(shù)；II令w-J?,先求出建立y關(guān)于 R的線性回歸方程，即可y關(guān)于x的回歸方程：【II i利用y關(guān)于x的回歸方程先求出年銷售量y的預(yù)報(bào)值, 再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0. 2y-x即町年利潤z的預(yù)報(bào)值：ii 根據(jù)1【的結(jié)果知，年利潤z的預(yù) 報(bào)值，列出關(guān)干X的方程，利用二次兩數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最人值時(shí)的年宣傳費(fèi)用.試題解析：I由散點(diǎn)圖町以判斷，y = c + d血適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型.3_Vh;

23、一 w： yII令先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于d= = 121=68,Z、r16工叫一 w1=1/ c=y-Jvv=563-68X6. 8=100. 6 y關(guān)于w的線性冋歸方程為y = 100.6 +68vv.y關(guān)于x的回歸方程為y = 100.6+68J7 (Ill) (i)由(II)知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y = 100.(5+68阿二576. 6,£ = 576.6x0.2 49 = 66.32.(ii)根據(jù)(II)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值Z = 0.2(100.6+68yx)-x = -x+13.6/x4-20.12 ,.當(dāng)J7二=6.8 .即x = 46

24、.24時(shí)，2取得最人值.2故宣傳費(fèi)用為16. 24 T元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值ii人.12分考點(diǎn)：非線性擬介：線性回歸方程求法：利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測：應(yīng)用意識(shí)【解析】試題分析：(1)設(shè)出直線1的方程，利用鬪心到直線的距離小于半徑列出關(guān)于k的不等式，即可求出k的取值范圉：(II)設(shè)將直線1方程代入圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理將兀耳，開兒用k表示出來，利用平面向最數(shù)量枳的坐標(biāo)公式及OM -ON = 12列出關(guān)于k方程，解出k,即町求出試題解析：(I)由題設(shè)，可知II線1的方程為y = H + 1.因?yàn)椤颗cC交干兩點(diǎn)，所以汁解得應(yīng)3所以R的取值范I韋I是(II)設(shè)將y 仏+ 1代入

25、方程x-2 2+ y-3亠1,整理得(1 + f-4伙+ l)x + 7 = 0, 所以兀+丕二：伙：?，兀丕=1 + r1 + ROM -ON-xx2+)2=1+i2 xrv2由題設(shè)可得必(1屮+8=12,解得R=l,所以1的方程為y=x + l.1+r故圓心在直線1上,所以|MN|=2.考點(diǎn)：直線與圓的位豐關(guān)系：設(shè)而不求思想：運(yùn)算求解能力21. ( I )當(dāng)a<0時(shí)，廣(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)。>0時(shí)，廣(X)存住唯一零點(diǎn).(II)見解析【解析】試題分析：(I )先求出導(dǎo)函數(shù)，分dSO與a>0考慮/(x)的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(1【)由(I)可設(shè)廣(x)在0,+8

26、 的唯一零點(diǎn)為人，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值,即町證明其最小值不小于2a+a hi即證明了所證不等式.試題解析：(I ) /(兀)的定義域?yàn)?,+oo , fx)=2e2x- x>0 x當(dāng)a SO時(shí).fx)>Of廣(x)沒有零點(diǎn):當(dāng)G>0時(shí)，因?yàn)閼魡握{(diào)遞增，-巴單調(diào)遞增，所以廠(x)在0,+oo fa) >0當(dāng)b滿足Ovbv巴且bv丄時(shí), x44廣(b)vO,故當(dāng)。>0時(shí),廣(x)存在唯一零點(diǎn).(II)由1 I ),可設(shè)廣(x)在0,+oo的唯一零點(diǎn)為x°,當(dāng)兀w 0, %時(shí)，廣(x)vO；當(dāng) XW 和+8 時(shí)，/*(%)&g

27、t; 0.故/(兀)在0, X。單調(diào)遞減，在X0,+oo單調(diào)遞增，所以當(dāng)A = X0時(shí)，/(X)取得最小值，故小值為f(x0).ca由于2e21# - =0,所以f (x0)= - + 2ax0 + aln n2a + aln .2x0aa2 故當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>2a + f71n.a考點(diǎn)：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么；甫數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算 求解能力.22. ( I )見解析(II) 60°【解析】試題分析：(I)由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，AE丄BC, AC丄AB,由直角三角形中線性質(zhì)知DE二DC, 0E二OB,利用等量

28、代換町證ZDEC+Z0EB=90o ,即ZOED二90° ,所以DE是圓0的切線：(II)設(shè)CE二1,由04 = 辰E得,AB二2JT,設(shè)AE二X,由勾股定理得BE = J2 - ,由克角三角形射影定理可得AE = CEBE ,列出關(guān)于x的方程，解出X,即可求出ZACB的犬小.試題解析：(I連結(jié)AE,由己知得，AE丄BC, AC丄AB,在 RtAAEC 中，由得 DE二DC,ZDEC=ZDCE,連結(jié) OE, ZOBE=ZOEB,V ZACB+ZABC=90 ° ,化 ZDEC+ZOEB二90° ,Z0ED=90° ,.DE是圓0的切線.(II)設(shè) CE=1. AE 二 x,由己知得 AB=2>/3 , BE = J2_W ,由射影定理可得.AE'=CEBE :.X所以不等式f(x)>l的解集為x-<x<2. = 712-/ ,解得X二