江西省吉安縣高中數(shù)學第2章解三角形2.1.1正弦定理課件北師大版必修5

1、2.1.1 正弦定理正弦定理1.在ABC中，三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c：(1)角的關系為_；(2)邊的關系為_；(3)邊角關系為_.ABCabc，abc大角對大邊2.在RtABC中的有關定理或結論在RtABC中，若C90，則有：(1)AB ，0A90，0B90；(2)a2b2c2(勾股定理)；90ccc一般三角形是否仍成立？一般三角形是否仍成立？ACBDab在銳角三角形中：作在銳角三角形中：作AB邊上的高邊上的高CDsinCDaB sinCDbA sinsinaBbA 所以所以即即sinsinabAB 同理同理sinsinacAC ACBDab在鈍角三角形中：作在鈍角三角形中：作A

2、B邊上的高邊上的高CDsinCDAb sinsin(B)sinCDBDBCa 即即sinsinabAB sinsinCDaBbA所以所以sinsinsinabcABC外接圓法外接圓法ABCDBD 作作ABC外接圓的直徑外接圓的直徑CDabc2sinsin2bbbRbBDR 同理有同理有2,2sinsinacRRAC 即即2sinsinsinabcRABC 面積法面積法.Oyx解解:如圖建立直角如圖建立直角坐標系坐標系.過過C點作點作CD AB于于D.D則點則點C的坐標的坐標(bcosA,bsinA)(bcosA,bsinA)于是于是ABC的面積的面積 S=Abcsin21同樣可得同樣可得S=B

3、acsin21ABCbacCabsin211sin2bcA 1sin2acB 1sin2abC同除以同除以 ， 12abc得得sinsinsinABCabcsinsinsinabcABC即即【例 1】已知在ABC 中，c10，A45，C30，求 a，b 和 B.c10，A45，C30，B180(AC)105.由asinAcsinC，得 acsinAsinC10sin45sin3010 2.由bsinBcsinC，得 bcsinBsinC10sin105sin3020sin75206 245 65 2.解解 已知兩角及一邊解三角形已知兩角及一邊解三角形 正弦定理正弦定理 探究一探究一 正弦定理在

4、解三角形中的應用正弦定理在解三角形中的應用解析 B 角最小，b 邊為最短邊， 由正弦定理csinCbsinB， 得 bcsinBsinCsin45sin6063， 最短邊長為63. 已知兩邊及一邊的對角解三角形已知兩邊及一邊的對角解三角形【例【例2 2】已知下列各三角形的兩邊及其一邊的對角，解】已知下列各三角形的兩邊及其一邊的對角，解 三角形三角形. . (1)b10，c5 6，C60；解 b10，c5 6 sinBbsinCc10sin605 622.又bcBC即 B45，A180(BC)75.absinAsinB10sin75sin45106 24225( 31)一個解一個解(2)a2 3

5、，b6，A30；解解a2 3， b6 A30 sinBbsinAa6sin302 332.又 ab B60或 120，當 B60時，C90，casinCsinA2 3sin90sin304 3，當 B120時，C30A.兩個解兩個解(3)a10，b20，A80.無解無解解a10，b20，A80Sin BbsinAa20sin802sin80110oo本題無解正弦定理可實現(xiàn)三角形中邊角的相互轉化：正弦定理可實現(xiàn)三角形中邊角的相互轉化：(1)(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角(2)(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角已知兩邊和其中一邊的對角，求另一

6、邊和兩角【例 3】在ABC 中，sinAcosA22，AC2，AB3，求ABC 的面積sin Acos A 2cos(A45)22，cos(A45)12又 0A180，A4560，A105.sin Asin105sin(4560)sin45cos60cos45sin602 64.SABC12ACABsin A12232 6434( 2 6)解解111sinsinsin222SabCacBbcA三角形面積公式：三角形面積公式：探究二探究二 用正弦定理求有關三角形的面積問題用正弦定理求有關三角形的面積問題【變式 2】已知三角形面積為14，外接圓面積為，則這個三角形的三邊之積為()A 1B2C12D

7、4設三角形外接圓半徑為 R，則由R2，R1，由 S12ab sin Cabc4Rabc414，abc1.解：解：【例 4】在ABC 中，若 sin A2sin B cos C，且 sin2Asin2Bsin2C，試判斷ABC 的形狀在ABC 中，根據(jù)正弦定理：asin Absin Bcsin C2R(R 為ABC 外接圓的半徑)sin2Asin2Bsin2C，(a2R)2(b2R)2(c2R)2，即 a2b2c2. A90，BC90.由 sin A2sin B cos C，得 sin 902sin B cos(90B)，sin2B12.B 是銳角，sin B22，B45，C45. ABC 是等腰直角三角形解解探究三探究三 用正弦定理判斷三角形的形狀用正弦定理判斷三角形的形狀【變式】在ABC中，若acosAbcosBccosC，則ABC為_三角形由正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，ac