定積分練習(xí)題

1、第九章 定 積 分練 習(xí) 題§1定積分概念習(xí) 題1 按定積分定義證明：2 通過(guò)對(duì)積分區(qū)間作等分分割，并取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)集，把定積分看作是對(duì)應(yīng)的積分和的極限，來(lái)計(jì)算下列定積分：（1） （2）（3） （4）§2 牛頓一菜布尼茨公式1計(jì)算下列定積分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5） （6）（7） （8）2利用定積分求極限：（1）（2）（3）（4） 3證明：若f在a,b上可積，F(xiàn)在a,b上連續(xù)，且除有限個(gè)點(diǎn)外有F（x）=f(x),則有§3 可積條件1 證明：若T是T增加若干個(gè)分點(diǎn)后所得的分割，則2 證明：若f在a,b上可積，.3.設(shè)fg均為定義在a,b上的有界函數(shù)。

2、證明：若僅在a,b中有限個(gè)點(diǎn)處則當(dāng)f在a,b上可積時(shí)，g在a,b上也可積，且3 設(shè)f在a,b上有界，證明：在a,b上只有為其間斷點(diǎn)，則f在a,b上可積。4 證明：若f在區(qū)間上有界，則。 §4 定積分的性質(zhì)1.證明:若f與g都在a,b上可積,則其中是T所屬小區(qū)間i中的任意兩點(diǎn),i=1,2,n.2.不求出定積分的值,比較下列各對(duì)定積分的大小: (1)(2)3.證明下列不等式: (1) (2); (3) (4)4.設(shè)f在a,b上連續(xù),且f(x)不恒等于零,證明5.設(shè)f與g都在a,b上可積,證明在a,b上也都可積.6.試求心形線上各點(diǎn)極徑的平均值.7.設(shè)f在a,b上可積,且在a,b上滿足證明

3、在a,b上也可積.8.進(jìn)一步證明積分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值點(diǎn)(a,b).9.證明:若f與g都在a,b上可積,且g(x)在a,b上不變號(hào),M、m分別為 f(x)在a,b上的上、下確界,則必存在某實(shí)數(shù)(mM),使得10.證明:若f在a,b上連續(xù),且則在(a,b)內(nèi)至少存在兩點(diǎn)x1,x2,使f(x1)= f(x2)=0.又若這時(shí)f在(a,b)內(nèi)是否至少有三個(gè)零點(diǎn)?11.設(shè)f在a,b上二階可導(dǎo),且.證明:(1) (2)又若則又有12.證明:(1) (2)§5 微積分學(xué)基本定理·定積分計(jì)算(續(xù))習(xí) 題1 設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，u、v均為可導(dǎo)函數(shù)，且可實(shí)行復(fù)合f&

4、#176;u與f°v證明：2設(shè)f在a,b上連續(xù)，證明F”3求下列極限： （1） （2）4計(jì)算下列定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）（10） （11） （12）5.設(shè)f在-a,a上可積。證明：（1）若f為奇函數(shù)，則（2）若f為偶函數(shù)，則6設(shè)f為（-，+）上以p為周期的連續(xù)周期函數(shù)。證明對(duì)任何實(shí)數(shù)a，恒有7設(shè)f為連續(xù)函數(shù)。證明：（1）（2）8設(shè)J（m,n）為正整數(shù)）。證明：并求J(2m,2n).9證明：若在（0，）上f為連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任何a0有， 則為常數(shù)。10設(shè)f為連續(xù)可微函數(shù)，試求并用此結(jié)果求11設(shè)為a,b上嚴(yán)格增的連續(xù)曲線（圖9-12）

5、。試證存在（a,b），使圖中兩陰影部分面積相等。12設(shè)f為0，2上的單調(diào)遞減函數(shù)。證明：對(duì)任何正整數(shù)n恒有13證明：當(dāng)x時(shí)有不等式14證明：若f在a,b上可積，則有15.證明：若在a,b上f為連續(xù)可微的單調(diào)函數(shù)，則存在使得（提示：與定理9.11及其推論相比較,這里的條件要強(qiáng)得多, 因此可望有一個(gè)比較簡(jiǎn)單的,不同于9.11的證明.）§6 可積性理論補(bǔ)敘1. 證明性質(zhì)2中關(guān)于下和的不等式(3).2. 證明性質(zhì)6中關(guān)于下和的極限式 .3. 設(shè) 試求在0,1上的上積分和下積分;并由此判斷在0,1上是否可積.4. 設(shè)在a,b上可積,且上是否可積?為什么?5. 證明:定理9.14中的可積第二充要

6、條件等價(jià)于“任給都有.6.據(jù)理回答:(1) 何種函數(shù)具有“任意下和等于任意上和”的性質(zhì)?(2) 何種連續(xù)函數(shù)具有“所有下和（或上和）都相等”的性質(zhì)？(3) 對(duì)于可積函數(shù)，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的結(jié)論？7本題的最終目的是要證明：若在a,b上可積，則在a,b內(nèi)必定有無(wú)限多個(gè)處處稠密的連續(xù)點(diǎn)，這可用區(qū)間套方法按以下順序逐一證明：（1）若T是a,b的一個(gè)分割，使得S（T）s(T)<ba，則在T中存存在某個(gè)小區(qū)間 （2）存在區(qū)間使得 （3）存在區(qū)間使得（4）繼續(xù)以上方法，求出一區(qū)間序列說(shuō)明為一區(qū)間套，從而存在而且在點(diǎn)x0連續(xù)。 （5）上面求得的的連續(xù)點(diǎn)在a,b內(nèi)處處稠密?？?/p>

7、 練 習(xí) 題1 證明：若在0，a上連續(xù)，二階可導(dǎo)，且，則有 2.證明下列命題：（1） 若在a,b上連續(xù)增，則F為a,b上的增函數(shù)。（2） 若在上連續(xù)，且（x）>0，則為上的嚴(yán)格增函數(shù)，如果要使在上為嚴(yán)格增，試問(wèn)應(yīng)補(bǔ)充定義（0）=？3、設(shè)在上連續(xù)，且證明4設(shè)是定義的上的一個(gè)連續(xù)周期函數(shù)，周期為p證明5 證明：連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)；連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中只有一個(gè)是奇函數(shù)。6 證明施瓦茨（Schwarz）不等式：若和g在a,b上可積，則7 利用施瓦茨不等式證明：（1）若在a,b上可積，則（2）若在a,b上可積，且（x）>m>0，則 （3）若、g都在a,b上可積，則有閔可夫斯基（Minkowski）不等式： 8證明：若在a,b上連