定積分的幾何應(yīng)用

1、第五節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用分布圖示 面積表為定積分的步驟 定積分的微元法 平面圖形的面積 例1 例2 例3 例4 例5 直角坐標(biāo)系情形 參數(shù)方程情形 例6 例7 極坐標(biāo)系情形 例8 例9 旋轉(zhuǎn)體的體積 例10 例11 例12 平行截面面積為已知的立體的體積 例13 平面曲線的弧長 例14 例15 例16 例17 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題5-5 返回內(nèi)容要點 一、直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積討論定積分 的幾何意義 二、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積 設(shè)曲線的方程由極坐標(biāo)形式給出 ，則由曲線，射線和所圍成的曲邊扇形的面積微元 所求曲邊扇形的面積 例題選講直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積例1 (E01) 求由和所圍

2、成的圖形的面積.解 面積微元: 所求面積: 例2 (E02) 求由拋物線與直線所圍成的面積.解 如圖，并由方程組解得它們的交點為選為積分變量，則的變化范圍是任取其上的一個區(qū)間微元則可得到相應(yīng)面積微元從而所求面積 例3 求由和所圍成的圖形的面積.解 面積微元: 所求面積:例4 計算由曲線和所圍成的圖形的面積。解 面積微元: 所求面積:例5 (E03) 求橢圓所圍成的面積.解 橢圓面積: 面積微元:例6 (E04) 求雙紐線所圍平面圖形的面積.解 面積微元:所求面積:極坐標(biāo)系下平面圖形的面積例7 (E05) 求心形線所圍平面圖形的面積解 面積微元:所求面積:例8 連接坐標(biāo)原點及點的直線、直線及軸圍

3、成一個直角三角形. 將它繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個半徑為高為的圓錐體，計算圓錐體的體積.解 體積微元:所求體積:例9 (E06) 計算由橢圓圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積.解 如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體可視為由上半橢圓及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體 .取為自變量，其變化區(qū)間為任取其上一區(qū)間微元相應(yīng)于該區(qū)間微元的小薄片的體積，近似等于底半徑為高為的扁圓柱體的體積，即體積微元故所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為特別地，當(dāng)時，可得半徑為的球體的體積例10 計算由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.解 體積微元:所求體積:例11 求曲線,所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解 體積

4、微元:所求體積:例12 求由曲線所求圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 做草圖, 并求得曲線的交點坐標(biāo)分別為 例13 (E08) 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角（圖6-3-9），計算這平面截圓柱體所得立體的體積.解 截面面積:體積微元: 所求體積:例14 (E09) 求圓的周長.解 如圖，將圓的方程化為參數(shù)方程則所求圓周長例15 (E10) 求曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長度.解 弧長微元:所求弧長: 例16 計算星形線的全長.解 由圖形（如圖）的對稱性可知，星形線的全長為其在第一象限部分的4倍,則由弧長公式得例17 (E11) 求心形線的周長.解 如圖，此心形