專題函數(shù)的周期性

1、 專題 函數(shù)的周期性一 知識(shí)點(diǎn)精講1周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集2性質(zhì)若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則是周期函數(shù)，且周期為。3幾種特殊的具有周期性的抽象函數(shù)： 函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）（1），則的周期 （2），則的周期（3），則的周期 （4），則的周期（5），則的周期（6），則的周期數(shù)（7），則的周期（8）函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為偶函數(shù)，則

2、其周期為（9）函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)（10）函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)、都對(duì)稱，則函數(shù)是為周期的周期函數(shù)（11）函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) (12)，則的周期.二 典例解析1設(shè)f(x)是(, +)上的奇函數(shù)，f(x+2)= f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=( )A.0.5 B. 0.5 C.1.5 D. 1.52若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為（ ）A B C D3已知在R上是奇函數(shù)滿足，則 4已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，則= 例5已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函

3、數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。證明：； 求的解析式；求在上的解析式。9、函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足和，當(dāng)時(shí)，求解析式。10、已知偶函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足，若方程在上只有三個(gè)實(shí)根，且一個(gè)根是4，求方程在區(qū)間中的根。附參考答案： ： ： ：y軸即 ：y軸： ：C ： ：方程的根為共9個(gè)根。2.是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 （ ） A5 B4 C3 D24.是偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則f(1992)= 6.數(shù)列中 7 已知是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.求在上的解析式。8 的定義域是R，且,若,求 的值。9已知函數(shù)滿足，若，試求(2005)

4、。（2009山東理）10. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f（2009）= f（5）=1,故選C.（2009山東理）16.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 【解析】:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且

5、,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上是增函數(shù),所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以答案:-8（2009全國(guó)一）（11）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù) (C) (D) 是奇函數(shù)解: 與都是奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，即是奇函數(shù)。故選D專題 函數(shù)對(duì)稱性一 知識(shí)點(diǎn)精講：I 函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性（自身對(duì)稱）若，則具有周期性；若，則具有對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性”。

6、1、 圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論1： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2、 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3、 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱2、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論1、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論2、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論3、 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱II 兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性（相互對(duì)稱）（利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解）1、與圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱2、與圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)3、函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱4、函數(shù)與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱5.函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱 推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2:函數(shù)與 圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱二 典例解析：1、定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時(shí), ,則_。解析：關(guān)于直線對(duì)稱，又是

7、奇函數(shù)，故有，,2、已知函數(shù)滿足，則圖象關(guān)于_對(duì)稱。解析：這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，由上述結(jié)論知圖象關(guān)于對(duì)稱3、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于關(guān)于_對(duì)稱。解析：這是兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，兩函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱4、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，則的圖象關(guān)于_對(duì)稱。解析：這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，的圖象關(guān)于y軸即對(duì)稱5、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，則的圖象關(guān)于_對(duì)稱。解析：關(guān)于直線對(duì)稱，是由向左平移一個(gè)單位得到的， 故的圖象關(guān)y軸對(duì)稱6、設(shè)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，有，則關(guān)于_對(duì)稱，圖象關(guān)于_對(duì)稱，。解析：令， 則有 關(guān)于直線 即關(guān)于對(duì)稱，是由縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模P(guān)于 對(duì)稱。7、已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足，且方程有5

8、個(gè)實(shí)根，則這5個(gè)實(shí)根之和為（ ）A、5 B、10 C、15 D、18解析：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故五個(gè)實(shí)根，有兩對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱，它們的和為，還有一個(gè)根就是。故這5個(gè)實(shí)根之和為15，正確答案為8、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，則下列命題中，若是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；若是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱；若，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；與圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中正確命題序號(hào)為_。解析： 錯(cuò) 關(guān)于直線對(duì)稱， 對(duì) 錯(cuò) 若，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱； 對(duì)第十五講 抽象函數(shù)問題一 知識(shí)點(diǎn)精講： 1 所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號(hào)表示的函數(shù)。由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函

9、數(shù)問題，這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是各種考試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題之一。研究發(fā)現(xiàn)，由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，聯(lián)想已學(xué)過的基本函數(shù)，再由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能有的相關(guān)結(jié)論，是使抽象函數(shù)問題獲解的一種有效方法。2中學(xué)階段常用抽象函數(shù)的“原型”（函數(shù)）1(為常數(shù)）2=（且）3（且）4(為常數(shù)）5或=(常數(shù)）6= 方法：想具體函數(shù)的運(yùn)算法則，代特殊值。二典例解析例1設(shè)函數(shù)滿足，且()=0，、R；求證：為周期函數(shù)，并指出它的一個(gè)周期例2已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)0時(shí)，0，(-1)=-2，（1）求證在上的奇函數(shù)。 (2) 求證在上的增函數(shù)（3）求函數(shù)在區(qū)間-2，1上的值域。例3已知函

10、數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)0，且當(dāng)<0時(shí)，1 （1）當(dāng)0時(shí)，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調(diào)性例4已知函數(shù)定義域?yàn)?0,+)且單調(diào)遞增，滿足(4)=1，（1）證明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范圍；（4）試證()=（nN）例5已知函數(shù)對(duì)于一切正實(shí)數(shù)、都有且1時(shí)，1，(2)=(1) 求證：0；（2）求證：（3）求證：在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)（4）若=9，試求的值。三 課堂檢測(cè)例2（2006安徽）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_ ；1.(2006山東)定義在R上的奇函數(shù)滿足，則= ( ) A）-1 B 0 C 1 D 22.(2007啟東質(zhì)檢)已知函數(shù)y=f

11、(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)=0，對(duì)任意xR，都有f(x+4)=f(x)+f(4) 成立，則f(2006)= ( )A4012 B2006 C2008 D03.已知y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(2x)的圖象的對(duì)稱軸是（ ）A.x=1 B.x=2 C.x= D.x=4.已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，若，且，則 5.(2006安徽)函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件,若f(1)=5,則f(f(5)=_6已知函數(shù)滿足：，則 。7已知函數(shù)對(duì)一切，都有，求證:（1）是奇函數(shù)；（2）若f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(x)恒等于0.8已知函數(shù)f(x)的定義域是x0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的

12、任意x1,x2都有，且當(dāng)時(shí)，（1）求證：f(x)是偶函數(shù)；（2）f(x)在(0,+)上是增函數(shù)；（3）解不等式4 (2010重慶)（15）已知函數(shù)滿足：，則_.（2009福建理）5.下列函數(shù)中，滿足“對(duì)任意，（0，），當(dāng)<時(shí)，都有>的是A= B. = C .= D 5【答案】：A解析依題意可得函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，故由選項(xiàng)可得A正確。（2009陜西理）12定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有.則當(dāng)時(shí),有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) (B) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (C) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：C (2009四川

13、理) 12.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點(diǎn)定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法，綜合題。（同文12）解析：令，則；令，則由得，所以，故選擇A。（2008陜西理）11定義在上的函數(shù)滿足（），則等于（ ） A2 B3 C6 D9解：令，令；令，再令得（2007山東理）6 給出下列三個(gè)等式：，。下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是A B C D 【答案】:B【分析】：依據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)A，C滿足其中的一個(gè)等式，而D滿足，B不滿足其

14、中任何一個(gè)等式.（2001廣東理）22(本小題滿分14分)設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)任意，都有且()求；()證明是周期函數(shù)；22.()解：因?yàn)閷?duì)，都有（）（）·（x）,所以（）0， 3 分（2008重慶理）（(6)若定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，有,則下列說法一定正確的是A 為奇函數(shù) B為偶函數(shù)C 為奇函數(shù) D為偶函數(shù)解：令，得，所以,即，所以 為奇函數(shù),選C(2007安徽理)（11）定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為D （A）0（B）1（C）3（D）5定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的

15、一個(gè)正周期，則可能為5，選D。抽象函數(shù)問題的“原型”解法抽象函數(shù)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是各種考試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題之一。研究發(fā)現(xiàn)，由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，聯(lián)想已學(xué)過的基本函數(shù)，再由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能有的相關(guān)結(jié)論，是使抽象函數(shù)問題獲解的一種有效方法。所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號(hào)表示的函數(shù)。由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函數(shù)問題，這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是各種考試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題之一。研究抽象函數(shù)問題的解法，對(duì)教師的教學(xué)，學(xué)生深刻理解并牢固掌握函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)好大綱規(guī)定的基本函數(shù)知識(shí)顯得尤為重要。抽象來源于

16、具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的。如有可抽象為。那么=就叫做抽象函數(shù)滿足的“原型”（函數(shù)），分析抽象函數(shù)問題的解題過程及心理變化規(guī)律可知，一般均是由抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的某類（基本）“原型”函數(shù)，并由“原型”函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能具有的某種性質(zhì)使問題獲解的，稱這種解抽象函數(shù)問題的方法為“原型”解法。下面給出中學(xué)階段常用的“原型”（函數(shù)）并舉例說明“原型”解法。一、中學(xué)階段常用抽象函數(shù)的“原型”（函數(shù)）1、(為常數(shù)）2、=（0且1）3、 (0且1)4、(為常數(shù)）5、或=(為常數(shù)） 6、=二、“原型”解法例析【例1】 設(shè)函數(shù)滿足，且()=

17、0，、R；求證：為周期函數(shù)，并指出它的一個(gè)周期。分析與簡(jiǎn)證：由想：=2coscos原型：=，為周期函數(shù)且2為它的一個(gè)周期。猜測(cè)：為周期函數(shù)，2為它的一個(gè)周期令=+，= 則=0為周期函數(shù)且2是它的一個(gè)周期?！纠?】 已知函數(shù)滿足，若，試求(2005)。分析與略解：由想：(+)=原型：=為周期函數(shù)且周期為4×=。猜測(cè)：為周期函數(shù)且周期為4×1=4=-(+4)=是以4為周期的周期函數(shù)又f(2)=2004=-f(2005)=- 【例3】 已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)0時(shí)，0，(-1)=-2，求函數(shù)在區(qū)間-2，1上的值域。分析與略解：由：想：(+)=+原型：（為常數(shù)）為

18、奇函數(shù)。0時(shí)為減函數(shù)，0時(shí)為增函數(shù)。猜測(cè)：為奇函數(shù)且為R上的單調(diào)增函數(shù)，且在2,1上有4,2設(shè)<且，R 則>0 ()>0=0,為R上的單調(diào)增函數(shù)。令=0,則(0)=0,令=，則()=為R上的奇函數(shù)。(-1)=- (1)=-2 (1)=2，(-2)=2(-1)=-4-42(x-2,1)故在-2,1上的值域?yàn)?4，2【例4】 已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)0，且當(dāng)<0時(shí)，1（1）當(dāng)0時(shí)，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調(diào)性分析與略解：由：想：原型：=（0, 1），=10。當(dāng)1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，且0時(shí)，1，0時(shí)，01；01時(shí)為單調(diào)減函數(shù)，且0時(shí)，1，0時(shí)，01。猜測(cè)： 為減函數(shù)，且當(dāng)0時(shí)，01。（1）對(duì)于一切、R，且(0)0令=0，則(0)=1，現(xiàn)設(shè)0，則-0，f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）設(shè)<，、R，則<0，()1且1， f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)【例5】 已知函數(shù)定義域?yàn)?0,+)且單調(diào)