兩點(diǎn)間的距離公式

1、3.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式3.3.2兩點(diǎn)間的距離【教材導(dǎo)讀】一、情景導(dǎo)入 已知平面上點(diǎn)A（1,3），你能求出A點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離嗎？若已知平面上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)，又該如何求得這兩點(diǎn)之間的距離？二、教材導(dǎo)讀1.兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)已知平面上點(diǎn)A（1,3），在平面直角坐標(biāo)系中建立直角三角形，由勾股定理可求得A點(diǎn)與原點(diǎn)O之間的距離：那么已知平面上任意兩點(diǎn)，是否能用相同方法求得的距離呢？ 閱讀教材P104內(nèi)容，掌握應(yīng)用幾何方法推導(dǎo)出兩點(diǎn)間距離公式的過程.2.兩點(diǎn)間的距離公式平面上兩點(diǎn)，間的距離公式：由公式可知，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離；3.在平面向量一章中我們通過向量的模也得到了兩點(diǎn)間的距離公式：平面上

2、兩點(diǎn)，則：（1）（2）注意比較兩種情形下推證方法.4. 沙爾定理:設(shè)A、B是軸上任意一條有向線段，O是原點(diǎn)，OA=，OB=，那么有：于是 顯然，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，與坐標(biāo)軸平行的直線上的有向線段也符合沙爾定理.由此我們理解兩點(diǎn)間距離公式的特例：（1）當(dāng)軸時(shí)，；（2）當(dāng)軸時(shí)，.請(qǐng)完成自主評(píng)價(jià)1【課堂點(diǎn)金】一、重難點(diǎn)突破1. 熟悉兩點(diǎn)間距離公式例1在直線上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)的距離為，并求直線的方程.【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)系. 點(diǎn)在直線上， 可設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得：即解得，直線PM的方程為，即【評(píng)析】通過運(yùn)算熟練掌握兩點(diǎn)間距離公式.【變式1】求與A（32，10），B（42，0），C（0，0

3、）等距離點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】2.兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例2.以點(diǎn)A（1，3），B（2，8），C（7，5）為頂點(diǎn)的ABC是A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形【解析】方法一（綜合法）：根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式及余弦定理可以判斷三角形的形狀.只需判斷最大角，由余弦定理，：為鈍角.故ABC為鈍角三角形，選C.方法二（向量法）：由題意：,故為鈍角, ABC為鈍角三角形，選C.【變式2】已知兩點(diǎn)， 求的最大值.【解析】例3等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C和頂點(diǎn)B都在直線2x+y6=0上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1, 1)，求邊AB, AC所在的直線方程. 【解析】從確定直線AB, AC 的條件入手，直線AC滿

4、足:經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于直線2x+y6=0,直線AB滿足:經(jīng)過點(diǎn)A且與直線2x+y6=0成角，（或|AB|等于點(diǎn)A到直線2x+y6=0的距離的倍）解法1（從距離入手）AC垂直于直線2x+y6=0，設(shè)直線AC的方程為x-2y+c=0,把A(1, 1)代入得c=-3, 故直線AC的方程為x-2y-3=0,，設(shè)B(x,y),則，解得或，所以直線AB的方程為或解法2（從角度入手）: 直線AC的斜率為，由點(diǎn)斜式并化簡(jiǎn)得，直線AC的方程為x-2y-3=0.考慮直線AB, AC的夾角為，設(shè)直線AB, AC的方向向量分別為則，解得或，所以直線AB的方程為或【評(píng)析】求直線方程的一般步驟:(1)尋找所求直線的滿足的兩

5、個(gè)條件；(2)將條件轉(zhuǎn)化,使轉(zhuǎn)化后的條件更利于列出方程組；(3)列方程組求解.【變式3】過點(diǎn)P（2，1）作直線l分別交x,y軸于A,B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|取得最小值時(shí)直線l的方程.【解析】【評(píng)析】設(shè)直線方程要從條件和結(jié)論兩方面考慮，為更好表示|PA|·|PB|和|OA|·|OB|,本題用點(diǎn)斜式設(shè)出方程或用設(shè)傾斜角的補(bǔ)角最簡(jiǎn)便.二、教材挖掘1.利用向量的模推導(dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式：若向量，則.若已知平面上兩點(diǎn)，則向量，即：平面上兩點(diǎn)，的距離公式為.【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，求以線段為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng).【解析】方法一:由題設(shè)知，則故所求的兩條

6、對(duì)角線的長(zhǎng)分別為、.方法二:設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E，則:E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D（1，4）.故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為BC=、AD=.【評(píng)析】體會(huì)向量是解決幾何問題的一種工具，使用向量解決問題有時(shí)能使問題簡(jiǎn)單化.2.坐標(biāo)法教材P105例4揭示了解析幾何最基本的方法坐標(biāo)法（或稱解析法），即將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的代數(shù)問題求解. 坐標(biāo)法既是解析幾何學(xué)的基本方法，更是代數(shù)與幾何緊密結(jié)合的橋梁.這里要注意兩點(diǎn)：（1）如何根據(jù)圖形恰當(dāng)建立坐標(biāo)系？要注意圖形的對(duì)稱性、是否有垂直關(guān)系或定值線段等，恰當(dāng)建系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.（2）坐標(biāo)法

7、的基本步驟:第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量.第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.第二步：進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算.例4.求證：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于各邊平方的和?！窘馕觥窟@是教材P105例4，我們另證如下，旨在幫助大家理解建系方法及解析法：證明：以平行四邊形ABCD對(duì)角線BD所在直線為x軸，BD中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（b, c），D（a, 0），則B（a, 0）可得因此，【評(píng)析】要理解上述解決問題的基本步驟，對(duì)每一步要細(xì)究之：(1)常見建系方法有三：定值線段法（條件中有定值線段）、定角法（條件中有定角）、垂線法（條件中有垂直關(guān)系）.（2）解析幾何的運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

8、的攔路虎，需認(rèn)真對(duì)待.三、總結(jié)提升1.本課知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖用代數(shù)方法解決幾何問題兩點(diǎn)間的距離公式直角三角形勾股定理2.拓展性知識(shí)（1）直線上兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)A、B是斜率為的直線上的兩點(diǎn)，求證： 【解析】由直線AB的斜率為，可設(shè)直線AB的方程為，由于直線經(jīng)過A 和B ，故，從而【評(píng)析】（1）本題結(jié)論揭示了利用直線斜率等元素進(jìn)行刻畫直線上兩點(diǎn)間的距離，請(qǐng)大家記住這一結(jié)論，在后續(xù)學(xué)習(xí)中大大的有用?。?）這一結(jié)論的幾何意義如下：如圖，斜率為的直線有兩點(diǎn)A 和B ，分別過點(diǎn)A作y軸垂線、過B作x軸垂線，兩垂線交于點(diǎn)C,設(shè)直線的傾斜角為.在RtABC中，或，故. 事實(shí)上，（2）兩相交直線的夾角定義兩相交直

9、線所組成的不大于900的角為直線所成角（也稱直線的夾角）.易知.設(shè)直線的方向向量分別為，那么.我們可以利用這一關(guān)系求解兩相交直線的夾角大?。▍⒁娎?解法2）.3.問鼎高考已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1求直線PN的方程【解析】設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為，由題設(shè)有 ，即，整理得： 因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為1，所以30°，直線的斜率為± ，直線的方程為 將式代入式整理得解得代入式得點(diǎn)P 的坐標(biāo)為或；或直線PN 的方程為：或【自主評(píng)價(jià)】【自主評(píng)價(jià)1】1已知，則|AB|等于（ ）A. 4 B. C. 6 D.【自主評(píng)價(jià)2】一、選擇題1已知點(diǎn)且，則a的值

10、為（ ）. A.1 B.5 C. 1或5 D. 1或52點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則的長(zhǎng)為（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 63已知，點(diǎn)C在x軸上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （ ） A. B. C. D. 4過點(diǎn)和的直線與直線垂直，則的值為 （ ）A. 6 B.2 C. D. 不能確定5.若都在直線上，點(diǎn)在直線上，則=（ ）A B2 CD 二、填空題6已知，則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為 . 7.已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)是1，點(diǎn)與點(diǎn)間的距離等于，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 8.已知正ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（2，0），B（4，2），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為_.三、解答題9.(1)已知點(diǎn)，判斷的形狀(2)已知點(diǎn)A(2,-3),若點(diǎn)在直線上,求線段