2017屆上海市嘉定區(qū)高三數(shù)學(xué)一模試題答案及解析

1、2021屆上海市嘉定區(qū)高三數(shù)學(xué)一模試題答案及解析一、填空題(共12小題,1-6每題4分,7-12每題5分,共54分)1 .設(shè)集合A式刈x-2|<1,xCR,集合B=Z,那么AAB=2.【分析】利用交集定義求解.【解答】解：|x2|<1,即1<x2V1,解得1<x<3,即A=(1,3),集合B=Z,那么AHB=2,故答案為：22 .函數(shù)y=sin(cox-)(>0)的最小正周期是陽(yáng)那么二2.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值.【解答】解：=y=sin(xg)(>0),.T一二0."=："-(JL)=2故答案是：2.3 .設(shè)i

2、為虛數(shù)單位,在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)丁2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為言.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么、幾何意義、兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出.斛m斛：旻孜l)2=3Ti=(3Yjj=25對(duì)應(yīng)的八'、(而'萬(wàn)；)至J原點(diǎn)的距離梯)T.TZu23O故答案為：目.4 .假設(shè)函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1),那么實(shí)數(shù)a=3.【分析】由題意可得函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a過(guò)(1,4),代入求得a的值.【解答】解：函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1),即函數(shù)f(x)=log2(x+1)+a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,4),4=log2(1+1)

3、+aa=3.故答案為：3.5 .a+3bn展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64,貝Un=6.【分析】令二項(xiàng)式中的a=b=1得到展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和,根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式得到各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和2n,據(jù)列出方程求出n的值.【解答】解：令二項(xiàng)式中的a=b=1得到展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和4n又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n據(jù)題思得一7二84,斛得n=6.2n故答案：66 .甲、乙兩人從5門(mén)不同的選修課中各選修2門(mén),那么甲、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有60種.【分析】間接法：先求所有兩人各選修2門(mén)的種數(shù),冉求兩人所選兩門(mén)都相同與都不同的種數(shù),作差可得答案.【解答】解：根據(jù)題意,采用間接法

4、：由題意可得,所有兩人各選修2門(mén)的種數(shù)C52C52=100,兩人所選兩門(mén)都相同的有為C52=10種,都不同的種數(shù)為C52C32=30,故只恰好有1門(mén)相同的選法有100-10-30=60種.故答案為60.7 .假設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2cm,圓心角為270°的扇形,那么這個(gè)圓錐的體積為冗cm3.-2-【分析】利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)可得底面半徑,進(jìn)而求出圓錐的高,代入圓錐體積公式,可得答案.【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r,由題意,得：C32兀r=$2,解得r=7.故圓錐的高h(yuǎn)=jt=-y-,圓錐的體積V烏冗2h笆cmcm3.38故答案為：n88,假設(shè)數(shù)

5、列an的所有項(xiàng)都是正數(shù),且歷+/+樸=n2+3n(nN*),那么號(hào)【分析】利用數(shù)列遞推關(guān)系可得an,再利用等差數(shù)列的求和公式、極限的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【解答】解：+72+-+/a=n2+3n(nN*),；n=1時(shí)=4,解得ai=16.n?2時(shí),且H+W/T=(n-1)2+3(n-1),可得：=2n+2,an=4(n+1)2故答案為：2.；=4(n+1).=2.9.如圖,在ABC中,/B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,那么【考點(diǎn)】余弦定理.【解答】解：在4ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,AB的長(zhǎng)為5g.由余弦定理得cos/ADC=11二二-二,./A

6、DC=120,/ADB=60在ABD中,AD=5,/B=45,/ADB=60,由正弦定理得擊駕1n魯,AB=_故答案為：牛.10 .有以下命題：假設(shè)函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),那么f(x)的值域?yàn)?;假設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(|x|)=f(x);假設(shè)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),那么f(x)不存在反函數(shù)；假設(shè)函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f1(x),且f1(x)與f(x)不完全相同,那么f(x)與f1(x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上；其中真命題的序號(hào)是.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))【分析】函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),那么f(x)=0.利用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷.利用單調(diào)函數(shù)的

7、定義進(jìn)行判斷.利用反函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【解答】解：假設(shè)函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),那么f(x)=0,為常數(shù)函數(shù),所以f(x)的值域是0,所以正確.假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù),那么f(-x)=f(x),所以f(|x|)=f(x)成立,所以正確.由于函數(shù)f(x)工在定義域上不單調(diào),但函數(shù)f(x)存在反函數(shù),所以錯(cuò)誤.原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,但不一定在直線y=x上,比方函數(shù)v=4肝1與其反函數(shù)y=x2-1(x<0)的交點(diǎn)坐標(biāo)有(-1,0),(0,1),顯然交點(diǎn)不在直線y=x上,所以錯(cuò)誤.故答案為：.11 .設(shè)向量京二(1,-2),而=(a,-1),而=(-b,0),其中

8、.為坐標(biāo)原點(diǎn),a>0,b>0,假設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線,那么WT的最小俏為8.【分析】AB、C三點(diǎn)共線,那么標(biāo)二雇,化簡(jiǎn)可得2a+b=1.根據(jù)L#=(Wg)abab(2a+b),利用根本不等式求得它的最小值【解答】解：向量6i=(1,-2),0B=(a,1),0C=(b,.),其中.為坐標(biāo)原點(diǎn),a>0,b>0,.屈=OB-0A=(a-1,1),AC=OC-0A=(-bT,2),.A、B、C三點(diǎn)共線,；標(biāo)二說(shuō),.卜PT)解得2a+b=1,14=(i玲)(2a+b)=2+2舍用"+2fF¥=8,當(dāng)且僅當(dāng)甘,吟,取等號(hào),故:窄的最小值為8,故答案為：812

9、.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2cm,高為5cm,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為13cm.,1rs71B【分析】將三棱柱展開(kāi)兩次如圖,不難發(fā)現(xiàn)最短距離是六個(gè)矩形對(duì)角線的連線,正好相當(dāng)于繞三棱柱轉(zhuǎn)兩次的最短路徑.【解答】解：將正三棱柱ABC-A1B1G沿側(cè)棱展開(kāi),再拼接一次,其側(cè)面展開(kāi)圖如下圖,也即為三棱柱的側(cè)面上由求得矩形的長(zhǎng)等于6X2=12,寬等于5,由勾股定理d=.t'=13故答案為：13.、選擇題共4小題,每題5分,總分值20分13 .&2是“2<4的A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分

10、也非必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】先求出x2<4的充要條件,結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.【解答】解：由x2<4,解得：2Vx<2,故x<2是x2<4的必要不充分條件,應(yīng)選：B.14 .假設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列a的首項(xiàng)aK0,公差d>0,an的前n項(xiàng)和為S,那么以下結(jié)論中一定正確的選項(xiàng)是a.sn單調(diào)遞增b.Sn單調(diào)遞減C.3有最小值d.sn有最大值【分析】S=na1+'"nJdtn2+3告Xn,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.【解答】解：Sn=na1+-d*n2+Vn,.,有最小化應(yīng)選：C.15.給出以下命題:(1)

11、存在實(shí)數(shù)a使si門(mén)E+msd.一,一兀一一,一,一一(2)直線r二一斤是函數(shù)y=sinx圖象的一條對(duì)稱軸.(3) y=cos(cosx)(xR)的值域是cosl,1.(4)假設(shè)a,B都是第一象限角,且a>B,那么tana>tan3其中正確命題的題號(hào)為()A.(1)(2)B.(2)(3)C(3)(4)D.(1)(4)【分析】(1)利用輔助角公式將sinQtcos=2sinla+p-)可判斷(1)；(2)根據(jù)函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱軸方程可判斷(2)；(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出y=cos(cosx)(xR)的最大值與最小值,從而可判斷(3)的正誤；(4)用特值法令a,B都是第一象

12、限角,且a>就可判斷(4).【解答】解：(1)(1)錯(cuò)誤；n"itI(2):y=sinx圖象的對(duì)稱軸方程為EZ),k=-1,環(huán)一-,(2)正確；(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得y=cos(cosx)的最大值為ymax=COS0=1,ymin=cos(cos1),其值域是cos1,1,(3)正確；(4)不妨令武號(hào)電滿足%B都是第一象限角,且a>B,1tana<tan3(4)錯(cuò)誤；應(yīng)選B.爐916.如果對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y,不等式：-cos2x?asinx-恒成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-8,-yB.3,+8)C.-2/2,RID.-3,3【分析】將不等式?-cos2

13、x?asinx-恒成立轉(zhuǎn)化為寺魯?asinx+1-sin2x包成ay4yy9立,構(gòu)造函數(shù)f(y)號(hào)號(hào),利用根本不等式可求得f(y)min=3,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為asinx-sin2x<2包成立.通過(guò)對(duì)sinx>0、sinx<0、sinx=0三類討論,可求得對(duì)應(yīng)情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍,最后取其交集即可得到答案.【解答】解：？實(shí)數(shù)x、y,不等式看-cos2x?asinx-£恒成立？(號(hào)?asinx+1-sin2x恒成立,令f(y)=七,那么asinx+1sin2x&f(y)min,當(dāng)y>0時(shí),f(y)噂心2k史=3(當(dāng)且僅當(dāng)y=6時(shí)取“邛,f(y)min=3

14、；4yV4y當(dāng)y<0時(shí),f(y)2j(4)(-S)=-3(當(dāng)且僅當(dāng)y=-6時(shí)取"=',4yV4yf(y)max=-3,f(y)min不存在；綜上所述,f(y)min=3.所以,asinx+1-sin2x<3,即asinx-sin2x02恒成立.八一.2右sinx>0,a<sinx+'smx包成立,令sinx=t,那么0<tw1,再令g(t)工看(0<t01),貝Ua&g(t)min.一2-由于g'(t)=1一百<0,|2,一、一,、所以,g(t)工+不在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞減,因此,g(t)min=g(1)=3

15、,所以a<3;2_-_右sinx<0,那么a-sinx+上,恒成立,同理可得a>-3；假設(shè)sinx=0,002恒成立,故aCR綜合,-3<a<3.應(yīng)選：D.三、解做題(共5小題,總分值76分)17. (14分)(2021?上海一模)如圖,AB,平面BCDBC,CD,AD與平面BCD所成的角為30°,且AB=BC=2(1)求三棱錐A-BCD的體積；(2)設(shè)M為BD的中點(diǎn),求異面直線AD與CM所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).【分析】(1)由AB,平面BCD彳4CD,平面ABC由此能求出三棱錐A-BCD的體積.(2)以C為原點(diǎn),CD為x軸,CB為y軸,

16、過(guò)C作平面BCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由此能求出異面直線AD與CM所成角的大小.【解答】解：(1)如圖,由于AB±¥面BCD,所以AB±CD,又BC±CD,所以CD,平面ABC,由于AB,平面BCDAD與平面BCD所成的角為30°,故/ADB=30,由AB=BC=2彳#AD=4,AC=2/2,BD訴百=贈(zèng),CD=/(2盛產(chǎn)-#=26,那么VaBCD=yxSADCDXAB.XBCMCDXAS=X2K275X2JV2=3(2)以C為原點(diǎn),CD為x軸,CB為y軸,過(guò)C作平面BCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,那么A(0,2,2),D(

17、272,0,0),C(0,0,0),B(0,2,0),M,匕Q),AD=(2恒-2,-2),磨=(厄1,Q),設(shè)異面直線AD與CM所成角為9,|ad|-|H|=V3=Te=arcc哈.異面直線AD與CM所成角的大小為arcco18. 14分2021?上海一模在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且8sinJ-2832酷7.I求角A的大??；II假設(shè)a=Jli,b+c=3,求b和c的值.【分析】I在ABC中有B+C=tt-A,由條件可得：41cosB+C-4cos2A+2=7,解方程求得cosA的值,即可得到A的值.222II由余弦定理二口地二也與一工*及a*,b+c=3,解方程組求得b

18、和c的Zbc2【解答】解：I在4ABC中有B+C=lA,由條件可得：41-cosB+C-4cos2A+2=7,1分4分又cosB+C=cosA,.4cos2A4cosA+1=0.解得8桑二/,又AC0,n,6分222II由二口/二知b+:一日4,艮PB1e2一社2±3bc.8分2.zbcz又一.I.八廿3辰二210分12分19. 14分2021?上海一模某地要建造一個(gè)邊長(zhǎng)為2單位：km的正方形市民休閑公園OABC將其中的區(qū)域ODC開(kāi)挖成一個(gè)池塘,如圖建立平面直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2),曲線OD是函數(shù)y=a*圖象的一局部,對(duì)邊OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b

19、(k>0)的圖象,與線段DB交于點(diǎn)N(點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合),且線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)：(1)求證：b=-1r；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S(t),并求S的最大值.廠kx+b【分析】(1)根據(jù)函數(shù)y=a$過(guò)點(diǎn)D,求出解析式y(tǒng)=2x2；由之,消去ylV=2k得4=0即可證實(shí)b二-好;U(2)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(t,2t2),代入直線MN的方程,用t表示出直線方程為y=4tx-2t2,令y=0,求出M的坐標(biāo)；令y=2求出N的坐標(biāo)；將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S(t),利用根

20、本不等式求出S的最大值.【解答】(1)證實(shí)：函數(shù)y=ax2過(guò)點(diǎn)D(1,2),代入計(jì)算得a=2,y=2X2；,產(chǎn)kx+b由+門(mén)之,消去y得2x2-kx-b=0,亡由線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,得=(k)2-4X2Xb=0,解得b=-：(2)解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,那么P(t,2t2);直線MN的方程為y=kx+b,12即y=kx-與丁過(guò)點(diǎn)P,8kt一=2t2,解得k=4t；y=4tx2t2令y=0,解得x*,；M4,0;將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為S=S小2用X/梆4+D)=4-(碟);由t+*>2?l*=收,當(dāng)且僅當(dāng)t等",即t=1時(shí)"哦立

21、,所以S04-2血；即S的最大值是4-/2,20. (16分)(2021?上海一模)函數(shù)f(x)=9x-2a?3x+3：(1)假設(shè)a=1,xC0,1時(shí),求f(x)的值域；(2)當(dāng)xC-1,1時(shí),求f(x)的最小值h(a)；(3)是否存在實(shí)數(shù)m、n,同時(shí)滿足以下條件：n>m>3;當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閙,n時(shí),其值域?yàn)閙2,n2,假設(shè)存在,求出m、n的值,假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)設(shè)t=3x,那么小(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,小(t)的對(duì)稱軸為1=2,當(dāng)a=1時(shí),即可求出f(x)的值域；(2)由函數(shù)小(t)的對(duì)稱軸為t=a,分類討論當(dāng)a<二時(shí),當(dāng)

22、之0203時(shí),當(dāng)a>3時(shí),求出最小值,那么h(a)的表達(dá)式可求；(3)假設(shè)滿足題意的m,n存在,函數(shù)h(a)在(3,+00)上是減函數(shù),求出h(a)的定義域,值域,然后列出不等式組,求解與矛盾,即可得到結(jié)論.【解答】解：(1)二.函數(shù)f(x)=9x-2a?3x+3,設(shè)t=3x,te1,3,貝小(t)=t22at+3=(ta)2+3a2,對(duì)稱軸為t=a.當(dāng)a=1時(shí),小(t)=(t1)2+2在1,3遞增,小(t)e小(1),小(3),函數(shù)f(x)的值域是：2,6；(H);函數(shù)小(t)的對(duì)稱軸為t=a,當(dāng)xC1,1時(shí),tC,3,當(dāng)a<3時(shí),ymin=h(a)=()(y)二;當(dāng)土Wa&am

23、p;3時(shí),ymin=h(a)=(|)(a)=3a2;當(dāng)a>3時(shí),ymin=h(a)=(J)(3)=126a.|282a/193312-6a,己>3(田)假設(shè)滿足題意的m,n存在,<n>m>3,h(a)=12-6a,函數(shù)h(a)在(3,+00)上是減函數(shù).又h(a)的定義域?yàn)閙,n,值域?yàn)閙2,n2,I12-6iePn-那么2,L12-6n=iz兩式相減得6(n-m)=(n-m)?(m+n),又.n>m>3,mnw0,.m+n=6,與n>m>3矛盾.滿足題意的m,n不存在.21.(18分)(2021?上海一模)無(wú)窮數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足：a1=a,rSn=anan+1-1,其中a*1,常數(shù)rCN；(1)求證：an+2-an是一個(gè)定值；(2)假設(shè)數(shù)列an是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)T,使得對(duì)任意nCN*,都有an+T=an成立,那么稱an為周期數(shù)列,T為它的一個(gè)周期,求該數(shù)列的最小周期；(3)假設(shè)數(shù)列an是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,Cn=2?3n1(nCN*),