行列式的計(jì)算機(jī)及應(yīng)用

1、 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目：行列式的計(jì)算及應(yīng)用 姓 名：王冉冉 指導(dǎo)教師：郭素霞系 別：數(shù)學(xué)系 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級：2002級 完成日期：2006年 5 月26日 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 論文題目： 行列式的計(jì)算及應(yīng)用 摘要：行列式是高等代數(shù)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是其它學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，本文主要討論行列式的計(jì)算方法及簡單應(yīng)用。 行列式計(jì)算常用方法有按某一行或列展開計(jì)算行列式，利用公式法，利用方陣行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式，借用第三者法，換元法，逐行或列相減法，化三角形法，析因子法，拆行(列)法,加邊法，遞推法，利用行列式的乘法法則，連加法，乘積法，對稱法。行列式在數(shù)學(xué)各分支中有著廣泛的

2、應(yīng)用，本文主要討論用行列式判斷兩直線間的位置關(guān)系與n×n方程組解的情況。 關(guān)鍵詞：行列式；計(jì)算；應(yīng)用 把一個(gè)行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù)k,等于以數(shù)k乘這個(gè)行列式 行列式產(chǎn)生于解線性方程組，然而其應(yīng)用現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了解線性方程組的范圍，成為了學(xué)習(xí)其它學(xué)科相當(dāng)重要的工具，因此行列式的學(xué)習(xí)很重要。一行列式的計(jì)算對于較低階的行列式，其計(jì)算一般采用下面的幾種方法：(1) 按行（或列）展開（可按一行或幾行）將高階行列式化為若干各低階行列式的計(jì)算；(2) 三角化法：利用行列式的性質(zhì)，對行（或列）施行消法變換，換法變換可將原行列式主對角線一側(cè)的元素化為零（即上三角或下三角），這時(shí)主對角

3、線上元素的乘積即為原行列式的值；(3) 按行列式的性質(zhì)及按行（或列）展開成一塊用來計(jì)算行列式的值。而對于n階行列式來說，由于其題型變化較多，因此除使用以上三種方法外，還要依據(jù)行列式元素間的規(guī)律來計(jì)算。下面介紹了一些行列式的計(jì)算方法。1化為三角形法由n階行列式定義可知：上（下）三角行列式，對角行列式的值等于主對角線上元素的乘積。所以要計(jì)算一個(gè)n階行列式通常是利用行列式的性質(zhì)，經(jīng)過一系列行列式的變形，把所給的行列式化簡為一個(gè)上（下）三角行列式，這就是常說的化三角法，再根據(jù)=就可求得原行列式的值。例1計(jì)算n階行列式解 因?yàn)檫@個(gè)行列式中每一行上n個(gè)元素之和都為n+1，所以將第2,3,，n列元素都加到第

4、一列上，得,注：（1）形如 （2）化三角形法計(jì)算行列式的方法比較容易掌握，是計(jì)算行列式的一種常用的方法，如下面各行列式均可以使用化三角形法計(jì)算，例如2 析因子法 如果行列式D中有一些元素是變量X(或某個(gè)參數(shù))的多項(xiàng)式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式f(x)，然后，直接地對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的線性因式（一次因式），使得f(x)與這些線性因式的乘積g(x)只相差一個(gè)常數(shù)因子c,根據(jù)多項(xiàng)式相等定義，比較f(x)與g(x)的某一項(xiàng)系數(shù)，求出c的值，這樣便求得D=f(x)=cg(x)，對于行列式中有些元素是n個(gè)變數(shù)的多項(xiàng)式也可以類似處理。 例2D= 可以看作關(guān)于多項(xiàng)式f(x),當(dāng)x

5、=±1時(shí)f()=0當(dāng)x=時(shí)f()=0所以f(x)有因子：x1,x1,x2,x2另外，由行列式定義可知，D中只含有x的最高次數(shù)為4，故D=c(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)而D中只含的系數(shù)為3，從而得c=-3. 故 D=3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)3 拆行（列）法此法是把已知的n階行列式根據(jù)性質(zhì)拆成若干個(gè)n階行列式之和，然后再求出行列式的值。例3D=+ =+當(dāng)n>2時(shí)，等號右邊的第一行列式中第二列與后面的列成比例，所以其值為0，第二個(gè)行列式中第二列于后面的列都相等，所以其值也為0。當(dāng)n=2時(shí)，D=()()當(dāng)n=1時(shí)，D=故D=例4 計(jì)算行列式D=+=0+0=

6、0例5在平面上，以點(diǎn)解： 第一行拆為 4 加邊法此法是把n階行列式適當(dāng)?shù)奶砑右恍幸涣校ɑ騧行m列）得到一個(gè)n+1(或n+m)階結(jié)行列式，使其值不變，并且要求所得的n+1(或n+m)階行列式比較容易求出其值。例5D=1+例6加邊法又稱為升階法，就是將原行列式中增添若干個(gè)適當(dāng)?shù)男信c列，構(gòu)成一個(gè)新的行列式，并以此行列式為過渡來達(dá)到計(jì)算原行列式的目的。同樣要計(jì)算n階行列式5 遞推法 此法利用行列式的性質(zhì)，把給定的n階的行列式用同樣形式的n-1級（或更低級）行列式表達(dá)出來，這種表達(dá)式稱為遞推關(guān)系式，然后，根據(jù)遞推關(guān)系式求出的一般表達(dá)式，例如上面的例5按最后一列拆成兩個(gè)行列式之和。得遞推關(guān)系式 將這n-1

7、個(gè)更式兩邊相加，得而所以6 利用行列式乘法法則7連加法 若行列式中某列（行）加上其余乘上某因子的各列（行），使該列（行）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式計(jì)算的方法稱為連加法。例8 計(jì)算行列式D=解 該行列式的特點(diǎn)是各列元素之和都是x+(n-1)a,先把第2行至第n行元素同時(shí)相加到第一行，并提出公因式，得 8. 乘積法根據(jù)拉普拉斯定理，所得行列式乘法運(yùn)算規(guī)則如下:其中（2）兩個(gè)行列式的乘積可以象矩陣的乘法一樣來計(jì)算，假如兩個(gè)行列式的階數(shù)不同，只要把他們的階數(shù)化為相同，就可以應(yīng)用公式（2）。這種方法的關(guān)鍵是尋找有特殊結(jié)構(gòu)的一致行列式去乘原行列式的計(jì)算，這也是較為常用的方法。例9 行列式D=

8、解 ： 取行列式9. 逐行（或列）相減法例10 計(jì)算楊輝三角規(guī)律給出的行列式 解： 設(shè) 利用組合公式把第(n-1)行乘(-1)加到第(n)行上去，在將第(n-2)行乘(-1)加到第(n-1)行上去，如此下去，直到將第一行乘(-1)加到第二行上去，得逐行列相減法就是自上而下（自左自右）對行（或列）施行消法變換將行列式簡化以利于計(jì)算行列式的值。 10換元法即利用性質(zhì)設(shè) 例11 設(shè)求證: 證明：將它的左端行列式按第一拆開，得再將上式右邊第一個(gè)行列式按第二列拆開，這樣繼續(xù)下去，最后得11 利用方陣行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式解：因?yàn)閚階方陣12. 借用“第三者”法（即成以一個(gè)適當(dāng)?shù)男辛惺剑├?3計(jì)算 設(shè)方陣

9、為 求解：取，注：在例子中，不僅計(jì)算出了的行列式的值，同時(shí)也證明了相似于1個(gè)對角矩陣。13. 利用公式法。因?yàn)殡A范德蒙行列式例14：計(jì)算行列式解： 14 按某一行（列）展開計(jì)算行列式因?yàn)閷τ谌我庖粋€(gè)n階行列式 例15 計(jì)算n階行列式 解： 因?yàn)樵搉階行列式D中第一列上只有兩個(gè)元素不為零，所以按第一列展開，得到注：給出一個(gè)n階行列式D，如果有某一行（列）上只有一二個(gè)元素不為零，則就選定按這一行(列)展開；或者利用行列式的性質(zhì)化簡使行列式的某一行(列)上元素為零，然后按這一行（列）展開來計(jì)算它.二行列式的應(yīng)用1 在空間幾何中可以判斷兩直線間的位置關(guān)系 由點(diǎn)及方向矢量所定的直線 （1） 和由點(diǎn)及方向

10、矢量所給定的直線 （2） 之間的位置關(guān)系，完全可以由矢量的相互關(guān)系確定。 證明：直線通過點(diǎn)而方向矢量為，直線通過點(diǎn)而方向矢量為，由于有 所以直線與是共面的，由于，這兩條直線是相交的，它們所在平面的方程按（3）式為 即2. 用行列式判斷方程組解的情況 線性方程組 數(shù)域P上的方程組 （1） 與二元，三元線性方程組相類似，可以用n階行列式來討論它的解的情況。 我們知道，若n階方陣A經(jīng)過一系列初等行變換變成矩陣B，則，其中為數(shù)域P中某個(gè)非零數(shù)，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們可以利用行列式來判斷線性方程組解的情況。 考慮方程組（1），對它們的增廣矩陣施行初等行變換化成行階梯形矩陣，則相應(yīng)地，其系數(shù)矩陣經(jīng)過這些行變換

11、被化成行階梯形矩陣 R，其中R比少最后一列，于是有，其中,因而R沒有零行，即R有n個(gè)主元。設(shè)R的n個(gè)主元的列指標(biāo)依次為，由此得，因此從而于是所表示的階梯形方程組不會出現(xiàn)方程（其中d是非零數(shù)）。因此，當(dāng)時(shí)，方程組（1）有解；于是階梯形方程組的方程個(gè)數(shù)等于n，因此（1）有唯一解。若，則0，且R一定有零行，不然的話，上三角行列式=。矛盾！因此其中。 此時(shí)，有兩種可能：1）這時(shí)方程組（1）無解； 2) 這時(shí)方程組（1）有無窮多個(gè)解。以上討論可總結(jié)為下面結(jié)論 定理 如果數(shù)域P上的方程組（1）的系數(shù)矩陣A的行列式則（1）由唯一解；如果，則（1）或者無解，或者有無窮多組解。 推論1 數(shù)域P上的方程組（1）由

12、唯一解的充分必要條件是（1）系數(shù)矩陣的行列式不等于零。 把定理應(yīng)用到齊次方程組上便有如下結(jié)論 推論2 數(shù)域P上的齊次方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式不等于零。 例2 取何值時(shí)，方程組 有非零解？ 解：根據(jù)推論2，上述方程組有非零解，當(dāng)且僅當(dāng) 而 = 因此，當(dāng)或時(shí)，所給方程有非零解以上就是對行列式計(jì)算和應(yīng)用的一些簡單歸納。如有不妥之處，請給予改正。參考文獻(xiàn)1 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)編。線性代數(shù)M。北京：高等教育出版社2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系幾何與代數(shù)教研室小組編代數(shù)。高等代數(shù)M。北京：人民教育出版社3 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編。線性代數(shù)M。北京：高等教育出版社4 彭玉芳、伊福源。線性

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