快速傅里葉變換在數(shù)字信號分析與處理中的應(yīng)用

1、銅陵學(xué)院信號分析與處理期末考查論文系 別 電氣工程系 專 業(yè) 電氣工程及其自動化1班 年 級 11級 學(xué) 號 1109141003 姓 名 陳愛東 授 課 教 師 董德智 2013年 6月 18 日 快速傅里葉變換在數(shù)字信號分析與處理中的應(yīng)用摘要快速傅氏變換（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計算機系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說是進(jìn)了一大步。傅里葉變換的理論與方法在“數(shù)理方程”、“線性系統(tǒng)分析”、“信號處理、仿真”等很多學(xué)科領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用,由于計算

2、機只能處理有限長度的離散的序列,所以真正在計算機上運算的是一種離散傅里葉變換.雖然傅里葉運算在各方面計算中有著重要的作用，但是它的計算過于復(fù)雜，大量的計算對于系統(tǒng)的運算負(fù)擔(dān)過于龐大，使得一些對于耗電量少，運算速度慢的系統(tǒng)對其敬而遠(yuǎn)之，然而，快速傅里葉變換的產(chǎn)生，使得傅里葉變換大為簡化，在不犧牲耗電量的條件下提高了系統(tǒng)的運算速度，增強了系統(tǒng)的綜合能力，提高了運算速度，因此快速傅里葉變換在生產(chǎn)和生活中都有著非常重要的作用，對于學(xué)習(xí)掌握都有著非常大的意義。關(guān)鍵詞快速傅氏變換；快速算法；簡化；廣泛應(yīng)用緒論傅立葉變換在生產(chǎn)生活中的重要性非常突出，它將原來難以處理的時域信號相對比較容易地轉(zhuǎn)換成了易于分析的

3、頻域信號，可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工，把信號轉(zhuǎn)化為可以對其進(jìn)行各種數(shù)學(xué)變化的數(shù)學(xué)公式，對其進(jìn)行處理。最后還可以.利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號，它是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。然爾，它在運算上過于復(fù)雜，過于宏大的運算過程，對于一些相對簡單的低功耗處理器來說，難以自如應(yīng)對，因此，快速傅里葉變換則顯出了它的優(yōu)越性?？焖俑凳献儞Q（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。對于計算機處理信號方面上是一大進(jìn)步。系統(tǒng)的速度不但取決于本身的速度，

4、而且還在相當(dāng)大的程度上取決于算法，算法運算量的大小直接影響著對設(shè)備的控制質(zhì)量。通過傅立葉變換（DFT），運用測試軟件進(jìn)行檢測，可以看出快速傅里葉變換大大的提高了運算速度，它為各系統(tǒng)的設(shè)計提供了簡單算法，有著十分重要的意義。一.快速傅里葉變換原理數(shù)字信號的傅里葉變換,通常采用離散傅里葉變換(DFT)方法。DFT 存在的不足是計算量太大,很難進(jìn)行實時處理。計算一個N 點的DFT ,一般需要次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運算.因此,當(dāng)N較大或要求對信號進(jìn)行實時處理時,往往難以實現(xiàn)所需的運算速度。1965年,J.W.Cooly和J.W.Tukey發(fā)現(xiàn)了DFT的一種快速算法,經(jīng)其他學(xué)者進(jìn)一步改進(jìn),

5、很快形成了一套高效運算方法,這就是現(xiàn)在通用的快速傅里葉變換, 簡稱FFT( The Fast Fourier Transform)?？焖俑道锶~變換的實質(zhì)是利用式(1)中的權(quán)函數(shù)的對稱性和周期性,把N點DFT進(jìn)行一系列分解和組合,使整個DFT的計算過程變成一系列疊代運算過程,使DFT的運算量大大簡化,為DFT及數(shù)字信號的實時處理和應(yīng)用創(chuàng)造了良好的條件?？焖俑道锶~變換算法如下：X(n)=K=0N=1x0（k）enkN n=0,1,2N-1 (1)由(1)式可知，對每一個n，計算X()須作N次復(fù)數(shù)乘法及N-1次復(fù)數(shù)加法，要完成這組變換共需N2 次乘法及N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。但以下介紹的快速傅里葉變

6、換的算法，可大大減少運算次數(shù)，提高工作效率。當(dāng)時，n和k可用二進(jìn)制數(shù)表示：nY-1又記,則（1）式可改寫為 （2）式中： (3)因為所以（2）可改成 （4） (5)則式（）即為式（）的分解形式。將初始數(shù)據(jù)代入式（）的第一個等式，可得每一組計算數(shù)據(jù)，一般將痗L-1組計算數(shù)據(jù)代入式（）的第L個等式，計算后可得第L組計算數(shù)據(jù)（L，），計算公式也可表示為= （6）式中 （7） 根據(jù)式（），第L個數(shù)組中每個 的計算只依賴于上一個數(shù)組的兩個數(shù)據(jù)這兩個數(shù)據(jù)的標(biāo)號相差，即，而且這兩個數(shù)據(jù)只用于計算第L個數(shù)組中標(biāo)號的數(shù)據(jù)（等號右端為二進(jìn)制數(shù)）。當(dāng)分別取和時，分別有。因此，用上一組的兩個數(shù)據(jù)計算所得的兩個新數(shù)據(jù)仍

7、可儲存在原來位置，計算過程中只需要N個存儲器。將與稱為第L個數(shù)組中的對偶結(jié)點對。計算每個對偶結(jié)點對只需一次乘法，事實上由式（）可得式中： ；別為式（）中取，時對應(yīng)的P值。因，于是對偶結(jié)點的有如下關(guān)系：,因此式（）可表示為P的求法：在中，i寫成二進(jìn)制數(shù)右移位，就成為顛倒位序得式（）呂，前面的個等式，每個等式均對應(yīng)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，每組數(shù)據(jù)都有N/對結(jié)點，根據(jù)式（），每對結(jié)點只需作次乘法和次加法，因此，每組數(shù)據(jù)只需N/2次乘法和N次加法，因而完成組數(shù)據(jù)的計算共需N/2次乘法和N次加法。二. 快速傅里葉變換與數(shù)字信號分析與處理的應(yīng)用:快速傅里葉變換在喇曼光譜信號噪聲平滑中的應(yīng)用引言電探測系統(tǒng)是光信號

8、的轉(zhuǎn)換、傳輸及處理的系統(tǒng). 系統(tǒng)的各個部分在工作時總會受到一些無用信號的干擾,給光譜峰的檢測判別及進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理帶來了不利因素.對光譜信號進(jìn)行數(shù)字濾波,以獲得更真實的光譜信息，顯得格外重要. 目前最為通用和有效的信號濾波處理方法是快速傅立葉變換方法.純水是一種較弱的喇曼散射介質(zhì),需要專用的喇曼散射光譜儀器才能獲得高信噪比的喇曼光譜.我們以增強型的CCD 探頭為探測器,結(jié)合普通的分光單色儀,在YAG 激光器532 nm 激光線的激勵下獲得低信噪比的純水的喇曼光譜. 信噪比較差的喇曼光譜經(jīng)過FFT 變換后,用FFT 的逆變換將濾除噪聲后的頻譜信號轉(zhuǎn)換成為光譜信號,最終獲得信噪比較高的純水的喇曼光

9、譜. 實驗原理及結(jié)果傅里葉變換的基本表達(dá)式為 （） （）式（1）中的x（n）(n=0,2,N-1)是列長為N的輸入序列，即實驗采集到的時域上的切片數(shù)據(jù);x(k)(=0,1,N-1)是列長為N的輸出序列，即經(jīng)過傅里葉變換后的頻域上的數(shù)據(jù)。 對數(shù)字化后的光譜信號而言, x(n)是一組離散的實數(shù)信號；而X(k)分為實部x(v)和虛部y()2部分。x()和y()又可組成振幅譜A()和相位譜P()：（）（）通過對式(3)和式(4)性能的考察,發(fā)現(xiàn)A()和P()中既含有目標(biāo)信號的信息,也含有噪聲的信息,如果二者所在的區(qū)域不同, 則可以通過傅里葉變換分析出噪聲信息, 將之從捕獲的信號中去除,從而達(dá)到噪聲平滑

10、的目的, 獲得高信噪比的目標(biāo)信號.純水普通喇曼散射的信號很弱,我們在532nm 脈沖激光泵浦液滴的條件下獲得其散射光譜.由于樣品信號極其微弱,在將CCD 的增益調(diào)至最大時,獲得如圖1 所示的純水的喇曼光譜. 光譜的信噪比值用如下方式估算:設(shè) 為含噪聲圖像為消除噪聲后的圖像,圖像的均方根誤差為 (5)信噪比定義為除噪聲后的信號與均方根誤差之比 (6)計算出642. 86 643. 62 nm 光譜區(qū)的信噪比為SN R 17. 圖多通道光譜分析儀采集的含有噪聲的純水普通喇曼散射信號圖2 傅里葉變換后的頻譜圖對圖2 幅度譜縱軸取對數(shù)得圖噪聲幅度門限值低于2 ×105 ,經(jīng)門限濾波處理,在頻

11、譜圖中將幅度譜低于該門限值的頻率成分去除,獲得的頻譜用FFT 的逆變換返回得到門限濾波曲線如圖5 所示.計算出642. 86643. 62 nm 光譜區(qū)的信噪比為SN R484. 與圖1 相比,光譜的信噪比有了極大的改善.3 結(jié)論在光譜信號受到光子噪聲調(diào)制的條件下,如果光譜信號的變化頻率低于高頻光子噪聲的變化頻率,則可以通過快速傅里葉變換,獲得目標(biāo)信號和噪聲信號的頻譜,進(jìn)行低通濾波和門限濾波后,分別將具有高頻和不同振幅的噪聲信號去除,實現(xiàn)對弱光譜信號干擾噪聲的抑制,得到高信噪比的光譜信號?？焖俑道锶~變換在效果上，減輕了噪聲的干擾，同時計算也不會帶來過于復(fù)雜的計算。.采用異步實現(xiàn)的快速傅里葉變換

12、處理器1.引言快速傅里葉變換(FFT)是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一個重要的分析工具,廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通訊、圖像處理、聲納和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。已經(jīng)開發(fā)出多種專用快速傅里葉變換處理器,大大提高了快速傅里葉變換的運算速度。異步集成電路具有功率效率高、電磁兼容性(EMC)好、功耗低和沒有時鐘歪斜(Skew)的特性,同時又具有潛在的高性能,以及便于系統(tǒng)模塊化設(shè)計的優(yōu)勢1。異步集成電路運算的性能是平均性能,而不是最差性能。這樣,當(dāng)平均性能與最差性能差別較大時,異步集成電路有希望達(dá)到比同步電路更高的潛在性能。異步集成電路采用大量本地時序控制信號來取代整體時鐘,避免了當(dāng)前在超大規(guī)模集成電路設(shè)計中遇到的時鐘樹設(shè)計和代價問題

13、。2.原理及結(jié)果異步實現(xiàn)的快速傅里葉變換處理器的結(jié)構(gòu)如圖4所示。處理器的控制由本地的握手信號控制,每個單元獨立地工作,避免了同步電路中的時鐘分配問題。處理器在輸入數(shù)據(jù)準(zhǔn)備好后開始工作,整個運算完成時產(chǎn)生一個完成信號。采用0.6m 標(biāo)準(zhǔn)CMOS工藝,設(shè)計一個8點的異步快速傅里葉變換處理器。該處理器具有2×8 比特的輸入,2×15 比特的輸出,2×20 比特的內(nèi)部運算精度。在電路設(shè)計完成之后,采用華晶2上華的0.6m CMOS2P2M 混合電路工藝,建立了異步標(biāo)準(zhǔn)單元庫,然后對異步快速傅里葉變換處理器進(jìn)行了全定制設(shè)計。處理器的版圖如圖5 所示。圖4 異步快速傅里葉變換

14、處理器結(jié)構(gòu)功能仿真：用晶體管構(gòu)成的電路網(wǎng)表描述每個單元(加法器、乘法器等) ,然后用Hspice 進(jìn)行功能仿真。根據(jù)電路Hspice 仿真結(jié)果,通過抽象模型,建立每個單元的功能和延遲的邏輯模型。異步邏輯和運算模塊的抽象過程比同步模塊要復(fù)雜得多,因為同步模塊只要用功能加上一個最差延遲就可以描述模塊的功能性能模型。CMOS 的抽象過程就是用邏輯描述建立FFT的邏輯網(wǎng)表(帶延遲) ,再用Verilog 進(jìn)行邏輯仿真。性能仿真：響應(yīng)時間是異步集成電路性能分析時常用的度量標(biāo)準(zhǔn)5。響應(yīng)時間是指請求信號到完成信號之間的延遲,它主要有兩種類型:最差響應(yīng)時間和平均響應(yīng)時間。其中, 最差響應(yīng)時間主要依賴于電路的結(jié)

15、構(gòu)和實現(xiàn),而平均響應(yīng)時間不僅與電路結(jié)構(gòu)有關(guān),還與輸入的數(shù)據(jù)相關(guān)。文中采用Star2SimXT ,對整個異步快速傅里葉變換處理器進(jìn)行了電路仿真,得到芯片完成一次變換的最差響應(yīng)時間為42.85 ns ,平均響應(yīng)時間為31.15 ns ,功耗約為350.7mW。3. 結(jié)論設(shè)計了一個異步的快速傅里葉變換處理器,該電路可以在異步邏輯控制下工作。性能分析表明,異步快速傅里葉變換處理器的平均性能較同步設(shè)計有優(yōu)勢。但是,異步集成電路完成信號的產(chǎn)生往往需要增加一部分電路。這不僅增加了芯片的面積,而且?guī)砹艘欢ǖ难舆t,異步集成電路性能的優(yōu)勢能否實現(xiàn),與這部分電路設(shè)計是否合理有很大的關(guān)系。另外,由于缺少成熟的EDA

16、工具、算法和設(shè)計方法學(xué)的支撐,異步集成電路設(shè)計技術(shù)在超大規(guī)模集成方面還面臨很多挑戰(zhàn)，還需繼續(xù)改進(jìn)。三. 快速傅里葉算法在哈特曼夏克傳感器波前重構(gòu)算法中的應(yīng)用1. 引言哈特曼夏克傳感器因其波前測量實時性好等特點而廣泛用于自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中,隨著應(yīng)用研究的發(fā)展,哈特曼夏克波前測量傳感器的空間分辨率也要相應(yīng)提高。哈特曼夏克傳感器測量的是波前相位斜率,需要經(jīng)過波前復(fù)原求出相位值,復(fù)原的方法主要有區(qū)域法和模式法兩類,為了滿足實時性的要求,哈特曼夏克傳感器的子孔徑較少,測量的空間分辯率因此比干涉儀低。當(dāng)增加哈特曼夏克傳感器的子孔徑數(shù)提高空間分辨率、提高測量精度時,區(qū)域法和模式法的運算量非常大,實時性降低,限

17、制了高分辨率哈特曼夏克傳感器在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)等領(lǐng)域的進(jìn)一步應(yīng)用。針對實時性問題,提出了分塊算法和迭代法進(jìn)行波前重構(gòu)。在區(qū)域法重構(gòu)波前的基礎(chǔ)上,應(yīng)用快速傅里葉變換(FFT) 算法,提高波前復(fù)原算法的實時性,為高分辨率哈特曼夏克傳感器在自適應(yīng)光學(xué)技術(shù)及其它領(lǐng)域的應(yīng)用作算法準(zhǔn)備。2. 實驗原理及結(jié)果快速傅里葉變換算法以其運算速度快、所需內(nèi)存小而被廣泛用于數(shù)字信號處理領(lǐng)域9。在求解由(1)式確定的線性方程組的過程中,需要實現(xiàn)方程系數(shù)矩陣的對角化,而這一過程可以通過快速傅里葉變換算法實現(xiàn),從而實現(xiàn)(1) 式的快速求解。首先,不考慮區(qū)域中邊界處的相位估計差分方程,在波前重構(gòu)的區(qū)域內(nèi),即1iM -1,1jN

18、 -1,(1)式嚴(yán)格成立,并由它導(dǎo)出波前估計的矩陣方程組表示為 (2)對(2)式的矩陣AO作正交變換,得: (4)其中（） 應(yīng)用快速傅里葉變換算法,乘法運算量可由直接作線性變換的 次降為次,當(dāng)哈特曼夏克傳感器的子孔徑數(shù)比較大時,運算速度可大幅度提高,從而提高哈特曼夏克傳感器波前重構(gòu)算法的實時性。在波前估計的計算式(2)中,只考慮了哈特曼夏克傳感器區(qū)域內(nèi)的估計點,需要知道區(qū)域邊界處的相位值,才能準(zhǔn)確求解式,而哈特曼夏克傳感器測量的是斜率值,給出的是諾依曼邊界條件,需要作邊界條件的近似求解,求得邊界處的相位值。在邊界上: (10)由于實際被測的波前相位是連續(xù)光滑的曲面,則在邊界上的相位點是封閉連續(xù)的曲線,設(shè): 則邊界上的相位最小二乘解的矩陣表達(dá)式為 (11)其中,A為(2)式中AO的形式,對角線元素為2,維數(shù)2(M +N)-1×2(M +N)-1,<G為2(M+N)-1×