常微分方程:1-2變量可分離方程_第1頁
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文檔簡介

1、1.2 變量可分離方程變量可分離方程yxyedxdy122yxdxdy先看例子:xyeye定義1形如( ) ( )(1.1)dyf xydx方程,稱為變量分離方程.,)(),(的連續(xù)函數(shù)分別是這里yxyxf),(yxFdxdy1122( )( )( )( ) 1.2Mx Ny dxMx Ny dy()一、變量分離方程的求解一、變量分離方程的求解,10分離變量,)()(dxxfydy這樣變量就“分離”開了.( )(1.3)( )dyf x dxcy的某一原函數(shù))(1y的某一原函數(shù))(xf(1.3)( , )(1.1).yx c由所確定的函數(shù)就為的解( ) ( )(1.1)dyf xydx兩邊積分

2、得02( )0,(1.1)y當(dāng)時(shí) 將寫成例:122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分離變量:兩邊積分:000,()0,(1.1),(1.1),.yyyy若存在使則也是的解 可能它不包含在方程的通解中 必須予以補(bǔ)上注:例1求微分方程)101 (yydxdy的所有解.解:再積分方程兩邊同除以),101 (yy1)101 (cdxyydy積分得:110lncxyy得再將常數(shù)記為從上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100, 0)101 (yyyy和求出方程的所有解為由故方程的所有解為:,110為任常數(shù)cceyx. 0y和110lncxyy解:分離變量

3、后得dxxdyy123兩邊積分得:121ln2cxy整理后得通解為:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231無意義在由于函數(shù)其中xxyecc.00之一中有意義或故此解只在xx., 0應(yīng)補(bǔ)上這個(gè)解未包含在通解中此外還有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的連續(xù)函數(shù)是其中的通解xxp解:將變量分離后得dxxpydy)(兩邊積分得:1)(lncdxxpy由對數(shù)的定義有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充許也是方程的解此外ycy.,)(為任常數(shù)cceydxxp故方程的通解為1)(cdxxpey例4.1)0(cos2的特解求初值問題yxydxdy解:,xydxdy的通解先求方程cos2得將變量分離時(shí)當(dāng),0yxdxydycos2兩邊積分得:,sin1cxy因而通解為:,sin1cxy.為任意常數(shù)其中c.,0得到的且不能在通解中取適當(dāng)也是方程

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