多元函數(shù)的基本概念

1、第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1. 鄰域:設(shè)P0(x0, y0)是xOy面上一點(diǎn), 是某一正數(shù), 與P0(x0, y0)距離小于 的點(diǎn)P(x, y)的全體, 稱為 P0的 鄰域, 記為U(P0, ).即: U(P0, ) = P | |P0P| 或)()(| ),(),(20200yyxxyxPU注: 去心鄰域 U(P0, ) = P |0 |P0P| xyoP0下頁上頁首頁xyoEP2. 區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn): U(P) E則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn).注: 若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn), 則稱E為開集.例如: 點(diǎn)集 E1= (x,y)| x2 + y2 1是開集. 點(diǎn)集 E2= (x,y)| x2 + y2 1

2、不是開集.設(shè)E為一平面點(diǎn)集, P為E的一點(diǎn), 如果存在點(diǎn)P的某個鄰域U(P), 使這個鄰域整個包含在E內(nèi),xyo1下頁上頁首頁(2) 邊界點(diǎn): 設(shè)E為一平面點(diǎn)集, P1為一點(diǎn), 不論P(yáng)1點(diǎn)是否屬于E, 如果P1的任何鄰域內(nèi), 既有屬于E的點(diǎn), 也有不屬于E的點(diǎn), 則稱點(diǎn)P1為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn).注: 點(diǎn)集E的全體邊界點(diǎn)所成的點(diǎn)集, 稱為點(diǎn)集E的邊界.例如: 點(diǎn)集 E= (x, y)| 1 x2 + y2 0 是區(qū)域.E2 = (x,y)| 1 x2 + y2 4 也是區(qū)域.xoyP1P2xyo12例如:P1P2下頁上頁首頁 E3 = (x,y)| x2 + y2 1 (x,y)| (x2)2 +

3、(y2) 2 0. 使得E內(nèi)任何點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都小于M, 即: (x, y)E.x2 + y2 0例如: 函數(shù) 的定義域?yàn)?x, y)| x y2 0, 即 y2 x.2yxzyx0 x+y=0yx0 x = y2 下頁上頁首頁注2: 二元函數(shù)也引入了多值函數(shù), 單值函數(shù)的概念.例如: 由方程 x2 + y2 + z2 = a2, 確定的函數(shù)222yxaz是多值函數(shù), 它有兩個單值支:222222 yxazyxaz及下頁上頁首頁(2) 二元函數(shù)的圖形.設(shè)函數(shù) z = f (x, y)的定義域?yàn)镈, 將空間點(diǎn)集 (x, y, z)| z = f (x, y), (x, y)D 稱為二元函數(shù) z

4、= f (x, y)的圖形.xyzPDMz = f (x, y)xyo下頁上頁首頁1. 定義: 設(shè)二元函數(shù)y =f (x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)附近有定義,若對于任意給定的0, 總存在 0.當(dāng)時 )()(|020200yyxxPP都有|),(|Ayxf成立，則稱常數(shù)A為二元函數(shù)f (x, y)當(dāng)PP0(或xx0, yy0)時的極限，記作AyxfAPfyyxxPP),(lim)(lim000或下頁上頁首頁注1：二元函數(shù)的極限稱為二重極限；二重極限存在是指點(diǎn)P(x, y)以任何方式趨于 P0(x0, y0)時， z = f (x, y)都無限接近于A. 注2：二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣

5、到n元函數(shù).xyoP0下頁上頁首頁例1：設(shè))0( ,1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證：0),(lim00yxfyx證：|01sin)( |0),(| 2222yxyxyxf22yx 0, 取 , 則當(dāng)時，22)0()0(0yx總有成立222222|0)(1sin)( |yxyxyx故0),(lim00yxfyx下頁上頁首頁注3： 若P(x, y)以某一特殊方式趨于P0(x0, y0)時，f (x, y)能無限接近于某一定值, 還不能判定函數(shù)的極限是否存在；反之, 若當(dāng)P(x, y)以不同方式趨于P0(x0, y0)時，函數(shù)趨于不同的值，則可判定函數(shù)的極限不存在。下頁上頁首頁

6、例2. 設(shè) f (x, y) =,22yxxy022 yx0 ,022 yx證明：不存在),(lim00yxfyx證明：令P(x, y)沿直線 y = kx 趨于O(0, 0), 則2202200)(limlimkxxkxxyxxyxkxyx21kk當(dāng)k=1時，極限為;21當(dāng)k=0時，極限為0.故極限不存在。下頁上頁首頁注4. 二元函數(shù)極限有與一元函數(shù)極限類似的四則運(yùn)算法則，夾逼定理.例3. 求2233)2, 1(),(limyxyxyx解：2233)2, 1(),(limyxyxyx2)2, 1(),(2)2, 1(),(3)2, 1(),(3)2, 1(),(limlimlimlimyxy

7、xyxyxyxyx418157下頁上頁首頁例4.sin1lim00 xyyyx求解：xyyyxsin1lim00 xyxyxyxsinlim00 xyxyxyxyxsinlimlim0000100下頁上頁首頁1. 定義：設(shè)z =f (x, y)在P0(x0, y0)的鄰域內(nèi)有定義.若),(),(lim0000yxfyxfyx或( )()(lim00PfPfPP則稱 z =f (x, y)在點(diǎn)P0連續(xù). 若f (x, y)在點(diǎn)P0不連續(xù)，則點(diǎn)P0稱為 f (x, y)的間斷點(diǎn). 若f (x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱 f (x, y) 在D內(nèi)連續(xù).下頁上頁首頁例如：.1cos222222R

8、yxRyxz的間斷點(diǎn)是圓注：二元函數(shù)的連續(xù)概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)上去.下頁上頁首頁2. 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1. (最大值和最小值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)在D上一定有最大值和最小值. 即: P1, P2 D , 對于PD. 都有f (P2) f (P) f (P1) 下頁上頁首頁性質(zhì)2. (介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù), 如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值. 則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。 特別地：設(shè)m, M分別是f (P)在D上的最大值、最小值, mM , 則 QD,使 f (Q)= 下頁上頁首頁3. 多元

9、初等函數(shù)(1) 二元基本初等函數(shù) 考慮一個變量x或y的基本初等數(shù)，將它們當(dāng)成二元函數(shù). 如：C, x , y , sinx, siny，稱為二元基本初等函數(shù).下頁上頁首頁(2) 二元初等函數(shù) 將二元基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合所組成的函數(shù)，稱為二元初等函數(shù).例如：sin(x2 y),22yx 都是二元初等函數(shù).結(jié)論：多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).(定義區(qū)域指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域)注: 類似地定義多元初等函數(shù)下頁上頁首頁例5. 求xyyxyx21lim解：是二元初等函數(shù)xyyxyxf),(定義域 D =(x, y) | x 0 或 y 0因D不連通，故D不是區(qū)域. 但D1=(x,

10、 y)| x 0, y 0是區(qū)域, 且D1 D故D1是 f (x, y)的一個定義區(qū)域, 且P0(1, 2) D1故xyyxyx21lim212123yxoP0D1下頁上頁首頁例6. 求xyxyyx11lim00解：xyxyyx11lim00)11()11)(11(lim00 xyxyxyxyyx)11(1lim00 xyyx110121下頁上頁首頁多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義下頁上頁首頁 若若點(diǎn)點(diǎn)),(yx沿沿著著無無數(shù)數(shù)多

11、多條條平平面面曲曲線線趨趨向向于于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時時，函函數(shù)數(shù)),(yxf都都趨趨向向于于 A，能能否否斷斷定定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題下頁上頁首頁思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41下頁上頁首頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tyt

12、xf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習(xí)習(xí) 題題下頁上頁首頁 6 6、函函數(shù)數(shù)yxz 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、函函數(shù)數(shù)xyzarcsin 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8、函函數(shù)數(shù)xyxyz2222 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .下頁上頁首頁三三、 證證明明：0lim2200 yxxyyx. .四四、 證證明明極極限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 . .下頁上頁首頁一、一、 1 1、 ),(