復變函數(shù)總結(jié)

1、第一章復數(shù)與復變函數(shù)、復數(shù)幾種表示(1 )代數(shù)表示z x yi(2)幾何表示：用復平面上點表示復數(shù)z、點z、向量z視為同一概念(3) 三角式：z r(cos i sin )(4) 指數(shù)式：z rei輻角Argz arg z 2k|z|x2 y2yarctan丄,x 0,xyarcta n,x 0,y 0xargzyarcta n,x 0,y 0x/2, x 0, y 0/2, x 0,y0z z2i、乘幕與方根1乘幕： z rei ，znrnein2k argz.2方根：n z n|z|e n i, k 0,1,2, n第二章解析函數(shù)一、連續(xù)、導數(shù)與微分概念類似于一元實變函數(shù)求導法那么與一元實

2、變函數(shù)類似函數(shù)點解析的定義：函數(shù)在一點及其點的鄰域內(nèi)處處可導注：1點解析點可導， 點可導推不出點解析2區(qū)域內(nèi)解析與可導等價二、 定理1 w f(z) u iv在Zo可導 u,v在Zo可微，滿足C-R方程定理 2 w f(z) u iv 在區(qū)域 D 內(nèi)解析可導u,v在區(qū)域D內(nèi)可微，滿足C-R方程討論1 u,v在區(qū)域D內(nèi)4個偏導數(shù)存在且連續(xù)，滿足 C-R方程 w f(z) u iv 在區(qū)域 D 內(nèi)解析可導三、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關系1、定義 1調(diào)和函數(shù)：滿足拉普拉斯方程，且有二階連續(xù)偏導數(shù)的函定義 2設 (x,y),(x, y) 是區(qū)域 D 內(nèi)調(diào)和函數(shù)，且滿足 C-R 方程，yy那么稱是 的共軛調(diào)

3、和函數(shù)。2、定理 1解析函數(shù)的虛部與實部都是調(diào)和函數(shù)。定理 2函數(shù)在 D 內(nèi)解析 虛部是實部的共軛調(diào)和函數(shù)。3、問題：解析函數(shù)的實部或虛部 ，求虛部或?qū)嵅?理論依據(jù)：1虛部、實部是調(diào)和函數(shù)。2實部與虛部滿足 C-R 方程。求解方法：例如 v1 偏積分法：先求 u,uy，再求 uUxdx(y)，得出(y)2利用曲線積分：求(x,y)ux,uy,du ，再 uuxdx uydy c(xo,yo)四、初等函數(shù)1、指數(shù)函數(shù) wezexeiyex(cos y i sin y)性質(zhì)：1ez是單值函數(shù),2ez除無窮遠點外處處有定義3ez 04ez處處解析，) ez5ez1 z2ez1ez26ez是周期函數(shù)，

4、周期是2k i2、對數(shù)函數(shù)w Lnz In |z| iargz i2k 多值函數(shù)主值枝ln z In | z| iargz單值函數(shù)性質(zhì)：1定義域是z 0，2多值函數(shù)3除去原點和負實軸的平面內(nèi)連續(xù)4除去原點和負實軸的平面內(nèi)解析,(Lnz) -(In z)-z ,z ,5Ln(wz2) Lnzj Lnz2Ln 三 Ln Lnz2J3、幕函數(shù)w z e Lnz(z 0,是復常數(shù)1 為正整數(shù),函數(shù)單值、處處解析,2 為負整數(shù),函數(shù)單值、除去z 0及其負實軸處處解析,4、三角函數(shù)或 cosiiiie e . e e,sin22i定義:coszizizizize e . e e,sin z22itan z

5、seczsin z/ cos z, cot z cosz/sin z1/ cosz, cscz 1/ sin z性質(zhì)：周期性、可導性、奇偶性、零點、等于實函數(shù)一樣各種三角公式、求導公式照搬注: sin z, cosz 的有界性保護成立。第三章復變函數(shù)的積分一、復積分 f(z)dz (u vi)d(x yi) udx vdy i vdx udy cccc:;fdz c的正向為逆時針方向計算方法：1第二類曲線積分計算2化為普通定積分c:z z(t)x(t) iy(t), t :a bcf(z)dzbau(x(t),y(t)iv(x(t),y(t)x(t) iy(t)dt重要結(jié)果:|“|琵 c n為

6、任意整數(shù)二、柯西積分定理定理1柯西積分定理 設f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，那么OC f(z)dz 0 。注：條件變?yōu)閒(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，在D的邊界C上連 續(xù)，結(jié)論成立，即.f (z)dz 0。C定理2設f (z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，那么積分與路徑無關。記積分為f(z)dz，或 f ( )dzoZo原函數(shù)定義結(jié)論：F(z) Z f ( )d是f(z)的原函數(shù)。zozif(z)dz F(乙)F(z。)條件：f (z)是解析函數(shù)zo定理3 閉路變形原理柯西積分定理推廣到多連通區(qū)域C1,C2是兩條簡單閉曲線，C2在C1內(nèi)部，f(z)在G,C2所圍區(qū)域D 內(nèi)解析

7、，在Ci,C2上連續(xù)，那么C f (z)dz C f(z)dz注：定理3說明：區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲 線在區(qū)域內(nèi)的連續(xù)變動而改變它的值。三、柯西積分公式定理1 柯西積分公式f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)，C的內(nèi) 部解析即單連通區(qū)域D內(nèi)解析，zo是C的內(nèi)部一點，貝S2 i f(zo)Cz Zo注：1D為多連通區(qū)域時，公式仍 成立。2提供了計算積分的一種方法。推論1 平均值公式設f(z)在|z Zol R內(nèi)解析，在|z Zol R上連續(xù)，那么f(zo) 2 o f(zo Red )d定理2 最大模原理設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，又f(z)不是常數(shù)，那么在D內(nèi)| f (z) |沒有最大

8、值。推論1區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，假設其模在D內(nèi)一點到達最大值,那么此函數(shù)被常數(shù)。定理2的逆否命題四、解析函數(shù)的高階導數(shù)定理1 解析函數(shù)的高階導數(shù)設f(z)在簡單閉曲線C所圍的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，在C上連續(xù)，那么f(z)的各階導數(shù)均在D內(nèi)解析，且對D內(nèi)z有f(n)(z)先C 嚴z)宀d耳(z)n 1 n!f(n)(z)注：由柯西積分公式2 if (z)求導即得。第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示一、數(shù)項級數(shù) 為，其中& Xn iyn n 1定理Zn收斂的必:n 1要條件是lim Zn0n定理zn收斂n 1Xn與yn均收斂n 1n 1定理|Zn|收斂n 1Zn收斂，稱為絕對收斂n 1| Zn |發(fā)散，

9、Zn收斂，稱為條件收斂n 1n 1二、幕級數(shù)Cn(z Zo)"n 0收斂半徑 lim|加|, lim n |cn |,那么R丄 nCnn '收斂圓|z Zo| R三、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)幕級數(shù)公式:1、1n z5|z|11 znO2、z e1 zn|z|n On!3、sin zz13 z15 z,| z|3!5!11214coszzz,| z2!4!4、對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)求導數(shù)四、洛朗級數(shù)函數(shù)在環(huán)域內(nèi)展開第五章留數(shù)一、孤立奇點Z0函數(shù)在Z0不解析，在Z0的去心鄰域內(nèi)解析分類：1、可去奇點洛朗級數(shù)中沒有負幕項判定1洛朗級數(shù)，2lim f(z)存在 z z2、極點洛朗級數(shù)中有有限

10、負幕項判定1洛朗級數(shù)，2lim f(z)z Zo極點階數(shù)判定：1洛朗級數(shù)12f (z)- m (z)， (z)在 Zo解析，(zo) 0，貝S Zo 是 f(z)(z Zo)的m階極點3零點與極點關系(4) f(z)巴® , zo是分子的n階零點，是分母的m階零點， Qm>n時，zo是函數(shù)的m-n階極點，否那么，是可去奇點。3、本性奇點洛朗級數(shù)中有無限負幕項判定1洛朗級數(shù)，2lim f(z)不存在，也不是無窮。 z zo二、m階零點法 1 f(k)(Zo) 0,k 0,1, ,m 1, f(m)(Zo) 0法2函數(shù)在zo展開成幕級數(shù)三、留數(shù)Resf(z),z。 C1，C1是洛朗級數(shù)中系數(shù)。z z留數(shù)計算：可去奇點處留數(shù)為零本性奇點：通過洛朗級數(shù)求解1m 階極點：Resf(z),zo lim(z z°)m f (z)(m 1(m 1)! z z0一階極點Res f (z),z0 lim (z z0)f(z)z或Resf(z),Z0， z°是分母1階零點，不是分子零點Q(z)注：用洛朗級數(shù)求留數(shù)，不需判定奇點類型。n留數(shù)定理：Cf(z)dz 2 iResf(