結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)第2章

1、2.1 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述2.2 2.2 優(yōu)化算法中的基本概念優(yōu)化算法中的基本概念2.32.3工程優(yōu)化問題的收斂條件工程優(yōu)化問題的收斂條件 第2章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)表述及其基本概念優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 飛行器優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)問題，要求在滿足規(guī)定的戰(zhàn)術(shù)和技術(shù)條件下，尋找一組參數(shù)，使其設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最佳，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。 2.1.1 2.1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本要素優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本要素2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u設(shè)計(jì)變量u約束條件 u目標(biāo)函數(shù)1.設(shè)計(jì)變量1）設(shè)計(jì)變量類型2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u在一個(gè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案中：全部參數(shù)設(shè)計(jì)參數(shù)（給定的

2、參數(shù)，設(shè)計(jì)變量）性態(tài)參數(shù)中間參數(shù) 設(shè)計(jì)參數(shù)是設(shè)計(jì)中的自變量，通常由設(shè)計(jì)者主動(dòng)選擇 性態(tài)參數(shù)是結(jié)構(gòu)的各種性態(tài)變量，例如應(yīng)力、位移、自振頻率等等，是設(shè)計(jì)參數(shù)的因變量 設(shè)計(jì)者不能直接選出所需要的性態(tài)參數(shù)，而只能靠結(jié)構(gòu)分析來(lái)描述 中間參數(shù)是由設(shè)計(jì)參數(shù)求性態(tài)參數(shù)，例如單元的應(yīng)力是一個(gè)性態(tài)參數(shù)，求應(yīng)力時(shí)所需的內(nèi)力就是一個(gè)中間參數(shù)。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u在優(yōu)化過(guò)程中，針對(duì)具體問題，往往將設(shè)計(jì)參數(shù)中的一部分事先給定，例如在截面優(yōu)化設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)給定，結(jié)構(gòu)中桿件連接關(guān)系給定，材料給定，這稱為確定參數(shù)。 調(diào)整另一部分設(shè)計(jì)參數(shù)(截面面積)，這些可調(diào)整的設(shè)計(jì)參數(shù)，稱為設(shè)計(jì)變量。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述

3、u設(shè)計(jì)變量從性質(zhì)上可分為如下三種類型： （1)拓?fù)渥兞?。包括元件、連接點(diǎn)及支持條件的數(shù)目及空間排列秩序等。該類變量描述了結(jié)構(gòu)的構(gòu)造模式。 （2)外形變量。該類變量描述了結(jié)構(gòu)的幾何外形，通常是節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。 （3)尺寸變量。該類變量描述了組成結(jié)構(gòu)元件的截面尺寸，如桿元件的截面面積、板元的厚度、受彎元件的截面慣性矩等。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u對(duì)應(yīng)上述三類變量的優(yōu)化分別稱為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化、結(jié)構(gòu)外形優(yōu)化和結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化。 拓?fù)浜屯庑巫兞恳话愣x了結(jié)構(gòu)的布局，同時(shí)包括拓?fù)浜屯庑蔚膬?yōu)化就是結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 目前對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，還沒有有效的方法來(lái)解決拓?fù)鋬?yōu)化問題。 對(duì)于外形優(yōu)化問題，雖然有

4、不少的優(yōu)化方法可以處理，但計(jì)算工作量極大。 因此，結(jié)構(gòu)的拓?fù)浜屯庑螀?shù)多是預(yù)先給定的，或者是通過(guò)對(duì)有限個(gè)預(yù)先給定的拓?fù)浜屯庑螀?shù)的方案進(jìn)行比較來(lái)實(shí)現(xiàn)“優(yōu)化”的。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u設(shè)計(jì)變量在數(shù)學(xué)上的分類有連續(xù)變量和離散變量?jī)煞N。 例如：鋁板之類規(guī)格化材料的厚度是嚴(yán)密的離散形元件；柱子根數(shù)和加強(qiáng)件的數(shù)量之類是整數(shù)形。 2）飛行器設(shè)計(jì)變量概念 飛行器某一系統(tǒng)或任一零件、部件的設(shè)計(jì)方案，都可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示。 設(shè)計(jì)中應(yīng)采用哪些基本參數(shù)來(lái)表示一個(gè)設(shè)計(jì)方案，依設(shè)計(jì)問題的性質(zhì)、各設(shè)計(jì)階段所規(guī)定的任務(wù)而定。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u有些設(shè)計(jì)方案可以用幾何參數(shù)表

5、示，如導(dǎo)彈的外形幾何參數(shù)，零件的幾何尺寸、剖面尺寸等；u有些則可以用某些相關(guān)的物理量表示，如航程，飛行高度，發(fā)動(dòng)機(jī)推力或發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)等；還有的可以用代表某些性能的導(dǎo)出量，如過(guò)載，導(dǎo)引系數(shù)，燃料的比沖，渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)的壓氣機(jī)增壓比和渦輪前溫度等表示。u設(shè)計(jì)變量定義 設(shè)計(jì)變量是指在設(shè)計(jì)過(guò)程中，能夠用以描述設(shè)計(jì)特性的獨(dú)立變量。一組設(shè)計(jì)變量構(gòu)成一個(gè)設(shè)計(jì)方案。(簡(jiǎn)單講, 設(shè)計(jì)中可調(diào)整的參數(shù)）2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述給定的 已知量基本參數(shù)未知的 設(shè)計(jì)變量2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u設(shè)計(jì)變量通常用 X=(x1, x2, xn)T ，表示，它們構(gòu)成一個(gè)n維列向量X，即 其中: xin維向量X的第i個(gè)分量； T

6、nxxxX),(21u設(shè)計(jì)空間以設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸，所構(gòu)成的空間2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 如有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量，則構(gòu)成一個(gè)二維設(shè)計(jì)空間。 X=(x1, x2)T是一個(gè)二維空間的設(shè)計(jì)向量，在設(shè)計(jì)平面(x1ox2)上的每一個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)有一定的x1和x2值，因此向量X代表一個(gè)雙變量的設(shè)計(jì)方案2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 若三個(gè)設(shè)計(jì)變量，就構(gòu)成一個(gè)三維設(shè)計(jì)空間。 設(shè)計(jì)向量為X=(x1, x2, xn)T 。 若設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)n3，稱為超維幾何設(shè)計(jì)空間。設(shè)計(jì)向量代表一組設(shè)計(jì)參數(shù)x1, x2, xn ，是一個(gè)n變量的設(shè)計(jì)方案。 2.約束條件 要使設(shè)計(jì)的工程結(jié)構(gòu)能夠滿足設(shè)計(jì)者所要求的各項(xiàng)功能，設(shè)計(jì)者必須對(duì)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、

7、位移、自振頻率、臨界載荷等性態(tài)變量提出一定的要求(或者說(shuō)限制)。 對(duì)性態(tài)變量的限制實(shí)際上就是對(duì)設(shè)計(jì)變量的限制。 在優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，我們把這些對(duì)設(shè)計(jì)變量的限制稱為約束條件。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中常見關(guān)于性態(tài)變量的約束條件 1） 應(yīng)力約束條件。這是以避免發(fā)生常見的各種形式的破損而建立起來(lái)的條件，破壞形式有斷裂、屈服、屈曲等。 2）變形約束條件。這是在規(guī)定的荷載條件下，滿足所要求的剛度特性而建立起來(lái)的條件。 3）動(dòng)態(tài)特性約束條件。它是保證結(jié)構(gòu)在承受動(dòng)載荷作用下不會(huì)引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生危險(xiǎn)的共振，以保證結(jié)構(gòu)的安全、正常運(yùn)行、工作人員的舒適等。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 4）（整體）穩(wěn)定性約

8、束條件。這是要求結(jié)構(gòu)具有良好的承壓穩(wěn)定性，不會(huì)在給定載荷作用下發(fā)生（整體）失穩(wěn)破壞。 5）界限約束條件。它為規(guī)范中的有關(guān)規(guī)定和理所當(dāng)然的一些構(gòu)造和工藝上的要求的條件，例如板材最小厚度、鋼筋的最小直徑以及元件斷面不能為負(fù)值等。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u概念： 優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是要設(shè)計(jì)出最優(yōu)的結(jié)構(gòu)。要評(píng)價(jià)一個(gè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，必須要有一個(gè)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。 目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，是對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行比較選擇的指標(biāo)，也就是判斷設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 3.目標(biāo)函數(shù)2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u目標(biāo)函數(shù)f(X)最小 在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般總是要求目標(biāo)函數(shù)f(X

9、)最小。 在某些問題中(如使用壽命、有效載重、安全系數(shù)等)要求目標(biāo)函數(shù)最大。為統(tǒng)一處理起見，可人為地在數(shù)學(xué)上規(guī)定目標(biāo)函數(shù)為-f(X)的形式，這樣就可以將求最大值的問題轉(zhuǎn)化為求最小值的問題。 因此，在以后的討論中，不再分別說(shuō)最大或最小問題，統(tǒng)一作為最小問題處理。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述通常根據(jù)不同類型的問題和不同要求，確定不同形式的目標(biāo)函數(shù)。如在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中實(shí)際上還經(jīng)常遇到希望一個(gè)量最大而另一個(gè)量最小的問題，這時(shí)目標(biāo)函數(shù)可以取這兩個(gè)兩相減或相除的形式。在實(shí)際設(shè)計(jì)問題中目標(biāo)函數(shù)還有待我們進(jìn)一步研究。在某些工程設(shè)計(jì)中，有時(shí)可能出現(xiàn)兩個(gè)或更多個(gè)應(yīng)當(dāng)成為目標(biāo)函數(shù)的量。如有的需要同時(shí)考慮重量和造價(jià)，這

10、時(shí)目標(biāo)函數(shù)可定義為： 其中 是加權(quán)系數(shù) )()()(21XfXfXf,2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 2.1.2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式）（或MaxMinXf)(求設(shè)計(jì)變量，X=(x1, x2, xn) T，使目標(biāo)函數(shù)：()012()012ijg Xih Xj， ， ，m， ， ，lu含義： 設(shè)計(jì)最優(yōu)化的任務(wù)歸結(jié)為求一組設(shè)計(jì)變量，從而找到一個(gè)設(shè)計(jì)方案，使此方案滿足規(guī)定的約束條件，同時(shí)其目標(biāo)函數(shù)又是最小的。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u分類： 目標(biāo)函數(shù), 約束條件為線性函數(shù) 線形規(guī)劃問題 目標(biāo)函數(shù)，約束條件為非線性函數(shù) 非線形規(guī)劃問題 2.1.3 基本術(shù)語(yǔ)2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 由n個(gè)設(shè)計(jì)變量所

11、組成的數(shù)學(xué)空間稱為n維設(shè)計(jì)空間，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)f(x)為某一定值時(shí)，則在n維空間中形成一等值超曲面，而每一個(gè)不等式約束方程在n維空間中形成一超曲面，這些超曲面組合成所謂約束界面。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u在設(shè)計(jì)空間中，所有的約束邊界面將設(shè)計(jì)空間劃分為兩個(gè)區(qū)域： 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 一個(gè)是滿足所有約束的設(shè)計(jì)點(diǎn)所組成的區(qū)域，稱為可行域，即該區(qū)域中的每一點(diǎn)都代表著一個(gè)可行的方案； 另一個(gè)區(qū)域是由不滿足所有的約束點(diǎn)所組成的區(qū)域，稱為不可行域，即該區(qū)域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)不可行的方案。u關(guān)于約束和可行域的概念可借助圖來(lái)理解。我們面臨的問題是在所有的可行方案中找出最佳方案，也就是在可行域中找出最優(yōu)點(diǎn)。

12、2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u基本術(shù)語(yǔ)（1）可行域（可行區(qū)）（2）可行解 若 ， 則X為可行解。（3）內(nèi)點(diǎn) 若 ， 則X為內(nèi)點(diǎn)。（4）邊界點(diǎn) 若 則X為邊界點(diǎn)。m, 2 , 1j , 0)x(gXjXm, 2 , 1j , 0)x(gXXjam, 2 , 1j , 0)x(gXXjb2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述（5）臨界約束 對(duì)一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)X，若有 ， 則 是X點(diǎn)的臨界約束。（6）非可行解 若 ， 則X為不可行解（7）最優(yōu)解 若 ， 且使 則X為最優(yōu)解。RjCj , 0)x(gmj1 , 0)x(g/ jCjRRjCj , 0)x(gXX)max(min)x(f 2.1.4 優(yōu)化算法的一般描述 2.

13、1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述 優(yōu)化技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用密切相關(guān)，它是數(shù)值計(jì)算而不是解析解，一般具有簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)，可以反復(fù)地進(jìn)行計(jì)算，是滿足精度要求的近似解，滿足這些要求的計(jì)算方法是數(shù)值迭代方法。n基本思想：從某一個(gè)選定的初始設(shè)計(jì)點(diǎn)x0出發(fā)，按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的辦法確定適當(dāng)?shù)乃阉鞣较蚝筒介L(zhǎng)，獲得第一個(gè)修改設(shè)計(jì)點(diǎn)x1，計(jì)算此點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值f(x1)，使其滿足f(x1)f(x0),然后以x1點(diǎn)為新的起點(diǎn)重復(fù)上述步驟。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表述u一般迭代格式： S是方向向量 是單位方向向量 一般來(lái)說(shuō)優(yōu)化算法就是確定方向向量S和步長(zhǎng)SXX(k)1)(k21TS)(SSS2.2 優(yōu)化算法中的基本概念

14、1 方向?qū)?shù)2 梯度定義和幾何意義3 無(wú)約束條件下函數(shù)f(x)極值（Hessian矩陣）4 拉格朗奇乘子法（Lagrange）5 Kuhn-Tucker 駐點(diǎn)條件6 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃 2.2 優(yōu)化算法中的基本概念1 方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)討論函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)沿某一方向的變化率。 設(shè)在空間中一點(diǎn)x（0）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f(x（0）)，設(shè)通過(guò)點(diǎn)x（0）有某單位向量n21sssS其中 ， ，. 為單位向量在各坐標(biāo)軸上的分量，亦即方向余弦。1s2sns 如果設(shè)計(jì)變量從點(diǎn)x（0）沿著方向 移動(dòng)距離 而獲得一個(gè)新的設(shè)計(jì)點(diǎn)x 則對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的函數(shù)值為f（x）或f（x（0）+ ），寫出商式ssxx(0)s )x

15、(f)Sx(f(0)(0)2.2 優(yōu)化算法中的基本概念u定義：當(dāng)點(diǎn)X沿著 趨于x（0）時(shí)（即 時(shí)）商式有極限，則稱此極限為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x（0）沿方向的方向?qū)?shù)， 記為 為f（x）在x（0）點(diǎn)沿s方向的方向?qū)?shù)。)x(f)x(flim)x(f(0)(0)s2.2 優(yōu)化算法中的基本概念s02.2 優(yōu)化算法中的基本概念設(shè)函數(shù)f（x）在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在x（0）點(diǎn)處對(duì) f（x）= f（x（0）+ ），進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開：s )(S )x(f)()x-(x )x(f)()x-(x |xf )x-(x |xf)x(f)x(fT)0(0)nnT)0(0)nnxn(0)11x1(0)(0)(0

16、)2.2 優(yōu)化算法中的基本概念根據(jù)點(diǎn)x（0）的一階偏導(dǎo)數(shù)可以定義一個(gè)向量：(0)1(0)T2nx xfxfxf(x) fx2.2 優(yōu)化算法中的基本概念)(S )x(f)()x-(x )x(f)x(f)x(fT)0(0)nnT)0(0)S )x(f)x(fT)0(0)s則： 內(nèi)積（梯度在方向s上的投影）2 梯度定義和幾何意義 與方向?qū)?shù)有關(guān)聯(lián)的一個(gè)概念是函數(shù)的梯度：n)0(2)0(1)0(xxn21T)0(x)f(xx)f(xx)f(xxfxfxf )x(f)0(2.2 優(yōu)化算法中的基本概念2.2 優(yōu)化算法中的基本概念 無(wú)約束條件下函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)的必要條件和充分條件。 (a) 首先看一下

17、函數(shù)f(x)在x（0）點(diǎn)處的Taylor展開 2.2 優(yōu)化算法中的基本概念3 無(wú)約束條件下函數(shù)f(x)極值（Hessian矩陣） 設(shè)計(jì)變量從點(diǎn)x（0）沿著方向 移動(dòng)距離 而獲得一個(gè)新的設(shè)計(jì)點(diǎn)x 在 x（0）點(diǎn)處泰勒展開： 如取到二次項(xiàng)ssxx(0)(0)( )(s)f xf x）（）（）（）（)0()0(1,)0(2)0(1)0(0()x(21)(x)xjjiinjijiiiniixxxxxxfxxxXfff2.2 優(yōu)化算法中的基本概念如用向量矩陣形式表示，則上式可寫為 )0()0(22)0(11)0(22)0(21)0(22)0(222)0(212)0(21)0(221)0(211)0(2)

18、0()0(22)0(11)0()0(22)0(11)0(2)0(1)0(0)()()()()()()()()(21)()()()nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxxxxxxxxxxxxXfxXfxXfXfXf）（）（2.2 優(yōu)化算法中的基本概念可簡(jiǎn)寫為）（）（）（）（）（）（）（）（）（) 0(0) 0() 0(00H21)XXXXXXXXfXfXfTT)S(H)S(21S )x(f)x(f0TT)0(0)）（）（X2.2 優(yōu)化算法中的基本概念式中 TnnxXfxXfxXfxXfxXfxXfXf)()()()()()()0(2)0(1)0()0(2)0(1)0(0）（）（nnnnnnxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfXH)()()()()()()()()()0(22)0(21)0(22)0(222)0(212)0(21)0(221)0(211)0(20）（）（2.2 優(yōu)化算法中的基本概念 是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x（0）的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為函數(shù)在該點(diǎn)的梯度。 是函數(shù)在f(x)在點(diǎn)x（0）的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的n*n階對(duì)稱矩陣，或稱為