功率譜估計(jì)模型法

1、功率譜估計(jì)功率譜估計(jì) - -參數(shù)估計(jì)方法參數(shù)估計(jì)方法周期圖法的不足周期圖法的不足v估計(jì)方法的方差性能差估計(jì)方法的方差性能差 在功率譜密度計(jì)算中沒(méi)有實(shí)現(xiàn)求均值的運(yùn)算v分辨率低分辨率低 樣本數(shù)據(jù)x(n)是有限長(zhǎng)的，相當(dāng)于在無(wú)限長(zhǎng)樣本數(shù)據(jù)中加載了窗函數(shù)(矩形窗、Hanning等)參數(shù)模型功率譜估計(jì)參數(shù)模型功率譜估計(jì)vMA模型模型vAR模型模型vARMA模型模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型v如果一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)如果一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)通過(guò)一個(gè)線性時(shí)不通過(guò)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)變系統(tǒng)(LSI)h(n)，則系統(tǒng)輸出，則系統(tǒng)輸出y(n)也是寬平穩(wěn)隨也是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，并且機(jī)過(guò)程，并且y(

2、n)的功率譜密度和的功率譜密度和x(n)的功率譜的功率譜密度滿足下式：密度滿足下式：v其中其中Pyy、Pxx分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密度，而度，而H(w)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。2( )( ) |( )|yyxxhPwPwHw平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型v如果系統(tǒng)輸入為白噪聲信號(hào)如果系統(tǒng)輸入為白噪聲信號(hào)u(n)，其功率譜密，其功率譜密度為常數(shù)度為常數(shù)2，則輸出信號(hào)功率譜密度，則輸出信號(hào)功率譜密度Pxx(w)完全完全由系統(tǒng)傳遞函數(shù)由系統(tǒng)傳遞函數(shù)|H(w)|2決定，因此我們通過(guò)對(duì)決定，因此我們通過(guò)對(duì)H(w)進(jìn)行建模，

3、從而得到輸出信號(hào)的功率譜密進(jìn)行建模，從而得到輸出信號(hào)的功率譜密度。度。H(z)u(n)x(n)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型v在上圖中，輸入在上圖中，輸入u(n)為白噪聲信號(hào)，其方差為為白噪聲信號(hào)，其方差為2 ，則系統(tǒng)輸出，則系統(tǒng)輸出x(n)的功率譜密度的功率譜密度Pxx(w)為：為：22( )|( )|xxPwH w平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型v因此我們利用確定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)因此我們利用確定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的特性的特性去表征隨機(jī)信號(hào)去表征隨機(jī)信號(hào)x(n)的功率譜密度，稱為參數(shù)模的功率譜密度，稱為參數(shù)模型功率譜估計(jì)。型功率譜估計(jì)。v參數(shù)模型功率譜估計(jì)的步驟：

4、參數(shù)模型功率譜估計(jì)的步驟： 對(duì)H(z)選擇合適的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型 根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)x(n)，或者x(n)的自相關(guān)函數(shù)，確定H(z)的參數(shù) 利用H(z)估計(jì)x(n)的功率譜。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型vH(z)的模型：的模型： AR模型：auto-Regressive 此模型只有極點(diǎn)，沒(méi)有零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)其幅度譜結(jié)構(gòu)存在譜峰11( )1piiiH za z平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型 MA模型：Moving-Average 此模型只有零點(diǎn)，沒(méi)有極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜谷點(diǎn)。1( )1qiiiH zb z 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參

5、數(shù)模型 ARMA模型： 此模型同時(shí)有零點(diǎn)、極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜峰、譜谷111( )1qiiipiiib zH za z系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型v對(duì)于一階全極點(diǎn)傳遞函數(shù)對(duì)于一階全極點(diǎn)傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的幅度響應(yīng)實(shí)際上是：11( )1H zaz|1|( )|zH zzazav當(dāng)當(dāng)a0v當(dāng)當(dāng)ap，因此我們利用，因此我們利用p個(gè)估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，個(gè)估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，可以對(duì)可以對(duì)mp所有的自相關(guān)函數(shù)所有的自相關(guān)函數(shù)rxx (m)進(jìn)行延拓，進(jìn)行延拓，從而提高了自相關(guān)函數(shù)窗的長(zhǎng)度，增加了功率從而提高了自相關(guān)函數(shù)窗的長(zhǎng)度，增加了功率譜估計(jì)的頻域分辨率。譜估計(jì)的頻域分辨率。1( )()pxxk xxkrm

6、a rmk AR模型階數(shù)模型階數(shù)p的選擇的選擇v如果模型的階數(shù)過(guò)小，則會(huì)增加對(duì)功率譜的平如果模型的階數(shù)過(guò)小，則會(huì)增加對(duì)功率譜的平滑作用，降低譜的分辨率滑作用，降低譜的分辨率v但如果階數(shù)太高，雖然會(huì)降低預(yù)測(cè)誤差的方差，但如果階數(shù)太高，雖然會(huì)降低預(yù)測(cè)誤差的方差，但會(huì)導(dǎo)致譜峰的分裂，增加估計(jì)誤差。但會(huì)導(dǎo)致譜峰的分裂，增加估計(jì)誤差。v這是由于階數(shù)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于譜結(jié)構(gòu)中的譜峰情這是由于階數(shù)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于譜結(jié)構(gòu)中的譜峰情況。況。AR模型階數(shù)模型階數(shù)p的選擇的選擇AR模型階數(shù)模型階數(shù)p的選擇的選擇AR模型階數(shù)模型階數(shù)p的選擇的選擇v在進(jìn)行在進(jìn)行AR譜估計(jì)時(shí)，首先需要確定階數(shù)譜估計(jì)時(shí)，首先需要確定階數(shù)p。p的的選

7、擇可以基于以下三種準(zhǔn)則進(jìn)行。選擇可以基于以下三種準(zhǔn)則進(jìn)行。v最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則(FPE)v其中其中k為階數(shù)，為階數(shù)，N為樣本數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)x(n)的長(zhǎng)度，而的長(zhǎng)度，而k表示表示k階階AR模型得到的白噪聲方差。模型得到的白噪聲方差。v上式最小值對(duì)應(yīng)的階數(shù)為最終選擇的階數(shù)。上式最小值對(duì)應(yīng)的階數(shù)為最終選擇的階數(shù)。( )kNkFPE kNkAR模型階數(shù)模型階數(shù)p的選擇的選擇v阿凱克信息論準(zhǔn)則阿凱克信息論準(zhǔn)則(AIC)v同樣選擇使上式最小的同樣選擇使上式最小的k值作為模型的階數(shù)。值作為模型的階數(shù)。vAIC準(zhǔn)測(cè)和準(zhǔn)測(cè)和FPE準(zhǔn)則在樣本數(shù)據(jù)準(zhǔn)則在樣本數(shù)據(jù)x(n)長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，估計(jì)得到

8、的模型階數(shù)相似。對(duì)于較短的樣本數(shù)估計(jì)得到的模型階數(shù)相似。對(duì)于較短的樣本數(shù)據(jù)，建議使用據(jù)，建議使用AIC準(zhǔn)則。準(zhǔn)則。( )ln2kAIC kNkAR模型階數(shù)模型階數(shù)p的選擇的選擇v自回歸傳遞函數(shù)準(zhǔn)則自回歸傳遞函數(shù)準(zhǔn)則(CAT)v同樣使得上式最小的同樣使得上式最小的k為模型階數(shù)。為模型階數(shù)。111( )kiikNiCAT kNNAR模型參數(shù)的求解模型參數(shù)的求解v自相關(guān)法自相關(guān)法v利用利用Yule-Walker方程得到方程得到AR模型參數(shù)模型參數(shù)ai：221( )|1|ARpjwkkkPwa e12(0)(1)(1)(1)(1)(0)(2)(2)(1)(2)(0)( )xxxxxxxxxxxxxxx

9、xpxxxxxxxxarrrprarrrprarprprrp AR模型參數(shù)的求解模型參數(shù)的求解vYule-Walker方程中的自相關(guān)函數(shù)方程中的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)為有偏為有偏估計(jì)值：估計(jì)值：21(0)( )pxxk xxkra rk1 | |01( )( ) ()Nmxxnrmx n x nmN AR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v系數(shù)矩陣不僅僅是對(duì)稱的，而且沿著和主對(duì)角系數(shù)矩陣不僅僅是對(duì)稱的，而且沿著和主對(duì)角線平行的任意一條對(duì)角線上的元素都相等，這線平行的任意一條對(duì)角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣，可以利用矩陣，可以利用Levinson-Durbi

10、n遞推算法得到遞推算法得到p個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)ai以及方差以及方差2。AR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v如果采用有偏估計(jì)得到自相關(guān)函數(shù)，就可以利如果采用有偏估計(jì)得到自相關(guān)函數(shù)，就可以利用用Levinson-Durbin高效的求解高效的求解AR模型參數(shù)，并模型參數(shù)，并且可以保證求解的系數(shù)且可以保證求解的系數(shù)ai在單位圓內(nèi)，即保證在單位圓內(nèi)，即保證AR模型的穩(wěn)定性。這種方法稱為自相關(guān)法模型的穩(wěn)定性。這種方法稱為自相關(guān)法v同時(shí)自相關(guān)法計(jì)算的白噪聲信號(hào)功率會(huì)隨著階同時(shí)自相關(guān)法計(jì)算的白噪聲信號(hào)功率會(huì)隨著階數(shù)的增加而減小或者保持不變。數(shù)的增加而減小或者保持不變。AR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v

11、但自相關(guān)法也存在一定的問(wèn)題，由于在求解自但自相關(guān)法也存在一定的問(wèn)題，由于在求解自相關(guān)函數(shù)的時(shí)候，進(jìn)行了矩形加窗處理，降低相關(guān)函數(shù)的時(shí)候，進(jìn)行了矩形加窗處理，降低了分辨率。了分辨率。v同時(shí)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，估計(jì)誤差會(huì)比較同時(shí)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，估計(jì)誤差會(huì)比較大，出現(xiàn)譜峰偏移和譜線分裂。大，出現(xiàn)譜峰偏移和譜線分裂。AR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v協(xié)方差法協(xié)方差法(1)(1,1)(2,1)( ,1)(0,1)(2)(1,2)(2,2)( ,2)(0,2)(1, )(2, )( , )(0, )( )pxxxxpxxxxxxxxparrr prarrr prrprpr p prpap

12、AR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v其中的自相關(guān)函數(shù)為：其中的自相關(guān)函數(shù)為：v同時(shí)白噪聲的方差為：同時(shí)白噪聲的方差為：1*1( , )()()Nxn pr k lx nl x nkNp21(0,0)(0, )pxxk xxkra rkAR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v計(jì)算自相關(guān)函數(shù)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的取值范圍與自計(jì)算自相關(guān)函數(shù)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的取值范圍與自相關(guān)法不同，這樣保證了不對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行矩相關(guān)法不同，這樣保證了不對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行矩形窗的截?cái)?，因此如果樣本函?shù)的長(zhǎng)度較短時(shí)，形窗的截?cái)?，因此如果樣本函?shù)的長(zhǎng)度較短時(shí)，可以獲得比自相關(guān)法更好的譜分辨率。如果樣可以獲得比自相關(guān)法更好的譜分辨率。

13、如果樣本函數(shù)的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于階數(shù)本函數(shù)的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于階數(shù)p時(shí)，自相關(guān)法和協(xié)時(shí)，自相關(guān)法和協(xié)方差法的性能是差不多的。方差法的性能是差不多的。v同時(shí)協(xié)方差法求解的是非同時(shí)協(xié)方差法求解的是非Toeplitz陣，不能用迭陣，不能用迭代的方法計(jì)算，因此運(yùn)算復(fù)雜度較大。同時(shí)也代的方法計(jì)算，因此運(yùn)算復(fù)雜度較大。同時(shí)也不能像自相關(guān)法一樣保證不能像自相關(guān)法一樣保證AR模型的穩(wěn)定性。模型的穩(wěn)定性。AR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v修正的協(xié)方差法修正的協(xié)方差法v與協(xié)方差法類似，自相關(guān)函數(shù)的求解修正為：與協(xié)方差法類似，自相關(guān)函數(shù)的求解修正為：v同時(shí)估計(jì)的白噪聲方差為：同時(shí)估計(jì)的白噪聲方差為：1*1*01( ,

14、)()()2()() ()Nxn pNpnr k lx nl x nkNpx nk x nl 21(0,0)(0, )pxxk xxkra rkAR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v修正的協(xié)方差法從線性預(yù)測(cè)的角度分析，實(shí)際修正的協(xié)方差法從線性預(yù)測(cè)的角度分析，實(shí)際上是同時(shí)進(jìn)行前向、后向預(yù)測(cè)，因此其估計(jì)譜上是同時(shí)進(jìn)行前向、后向預(yù)測(cè)，因此其估計(jì)譜的分辨率比較高，譜峰的偏移也比較小。的分辨率比較高，譜峰的偏移也比較小。v但缺點(diǎn)同樣是需要求解非但缺點(diǎn)同樣是需要求解非Toeplitz陣，計(jì)算比較陣，計(jì)算比較復(fù)雜。復(fù)雜。AR模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度vBurg遞推法遞推法以上提到的自相關(guān)法、協(xié)

15、方差法和修正的協(xié)方差以上提到的自相關(guān)法、協(xié)方差法和修正的協(xié)方差都要估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)，如果能免去都要估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)，如果能免去自相關(guān)函數(shù)的求解，從而直接根據(jù)樣本函數(shù)得自相關(guān)函數(shù)的求解，從而直接根據(jù)樣本函數(shù)得到到AR模型參數(shù)模型參數(shù)ai，從而可以減少中間步驟，提，從而可以減少中間步驟，提高譜估計(jì)的性能。同時(shí)采用前向、后向線性預(yù)高譜估計(jì)的性能。同時(shí)采用前向、后向線性預(yù)測(cè)。測(cè)。這種算法對(duì)短數(shù)據(jù)的功率譜估計(jì)比自相關(guān)函數(shù)法這種算法對(duì)短數(shù)據(jù)的功率譜估計(jì)比自相關(guān)函數(shù)法要準(zhǔn)確。要準(zhǔn)確。應(yīng)用應(yīng)用v針對(duì)含噪正弦信號(hào)針對(duì)含噪正弦信號(hào)v數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)64點(diǎn)，采用分段平均周期圖法和點(diǎn)，采用分段平均周期圖法和A

16、R模型模型1122( )5*sin()5*sin()( )x nw nwnv n應(yīng)用應(yīng)用vAR模型，模型，周期圖法周期圖法0123456-10-5051015202530應(yīng)用應(yīng)用v數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為64，采用分段的周期圖法和，采用分段的周期圖法和AR模型模型( )( )(2)x nw nw n( )22cos2xxPww應(yīng)用應(yīng)用vAR模型，模型，周期圖法周期圖法0123456-15-10-50510應(yīng)用應(yīng)用v數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為64點(diǎn)，取不同階數(shù)點(diǎn)，取不同階數(shù)(4、20)的的AR模型模型對(duì)譜估計(jì)的影響。對(duì)譜估計(jì)的影響。( )( )0.18* (2)x nv nx n應(yīng)用應(yīng)用01234567-

17、2-1.5-1-0.500.511.522.5MA模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v與與AR模型一樣，首先推導(dǎo)模型一樣，首先推導(dǎo)MA參數(shù)參數(shù)bi與樣本數(shù)與樣本數(shù)據(jù)據(jù)x(n)的正則方程。的正則方程。v首先，首先，MA模型參數(shù)為：模型參數(shù)為：1( )1qiiiH zb z MA模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v輸入白噪聲信號(hào)輸入白噪聲信號(hào)u(n)、MA模型以及輸出模型以及輸出x(n)之之間為線性卷積的關(guān)系：間為線性卷積的關(guān)系：v與與AR模型進(jìn)行相同的分析，得到：模型進(jìn)行相同的分析，得到：1( )( )()qkkx nu nu nk b200,1,., ( )0q mkm kkxxb bmq

18、rmmqMA模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度vMA模型只有模型只有q個(gè)零點(diǎn)，并且注意個(gè)零點(diǎn)，并且注意MA的正則方的正則方程，程，MA模型計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)的取值范圍為模型計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)的取值范圍為-q q，并且類似于，并且類似于MA模型參數(shù)模型參數(shù)bi的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)v這樣估計(jì)的功率譜密度為：這樣估計(jì)的功率譜密度為：221( )|1|qjwkkkP wb eMA模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度v注意到，根據(jù)計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)注意到，根據(jù)計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)得到的功得到的功率譜為：率譜為：v因此從譜估計(jì)的角度，因此從譜估計(jì)的角度，MA模型譜估計(jì)等效于經(jīng)模型譜估計(jì)等效于經(jīng)典譜

19、估計(jì)中的自相關(guān)法，譜估計(jì)的分辨率低。典譜估計(jì)中的自相關(guān)法，譜估計(jì)的分辨率低。( )( )qjwmBTxxmqPwrm e220|qjwkkkb eARMA模型估計(jì)功率譜密度模型估計(jì)功率譜密度vARMA模型實(shí)際上模型實(shí)際上AR模型和模型和MA模型的綜合，模型的綜合，其正則方程為：其正則方程為：v其中其中h(k)為為ai和和bi的函數(shù)，因此該方程為非線性的函數(shù)，因此該方程為非線性方程，求解較為復(fù)雜。方程，求解較為復(fù)雜。2101()( )0,1.,( )()pq mk xxkkkxxpk xxka rmkh k bmqrma rmkmq最大熵譜估計(jì)方法最大熵譜估計(jì)方法vrxx(k)的最大熵外推法的最

20、大熵外推法v經(jīng)典譜估計(jì)中是零值外推，對(duì)于窄帶信號(hào)是很經(jīng)典譜估計(jì)中是零值外推，對(duì)于窄帶信號(hào)是很不精確的，如何對(duì)不精確的，如何對(duì)rxx(k)進(jìn)行外推？進(jìn)行外推？v這里這里re(k)表示自相關(guān)函數(shù)的外推值表示自相關(guān)函數(shù)的外推值1(1)| | (1)( )( )( )NjwkjwkxxxxekNkNPwrk er k e最大熵譜估計(jì)方法最大熵譜估計(jì)方法v對(duì)對(duì)re(k)的約束條件是什么？的約束條件是什么？ 保證得到的功率譜密度是實(shí)數(shù)，并且是非負(fù)的。 使隨機(jī)信號(hào)x(n)的熵最大，等價(jià)為使得x(n)盡可能的白化，對(duì)功率譜而言，使得估計(jì)的功率譜Pxx(w)盡可能平坦。最大熵譜估計(jì)方法最大熵譜估計(jì)方法v對(duì)于能量

21、有限的信號(hào)，具有高斯分布的隨機(jī)信對(duì)于能量有限的信號(hào)，具有高斯分布的隨機(jī)信號(hào)號(hào)x(n)具有最大的熵率，并且具有最大的熵率，并且x(n)是高斯是高斯AR過(guò)過(guò)程，即程，即x(n)的功率譜是全極點(diǎn)形式的譜結(jié)構(gòu)。的功率譜是全極點(diǎn)形式的譜結(jié)構(gòu)。最大熵譜估計(jì)方法最大熵譜估計(jì)方法v根據(jù)以上要求外推的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)以上要求外推的自相關(guān)函數(shù)rxx(k)：v而而ap為自相關(guān)正則方程的解：為自相關(guān)正則方程的解：1( )()0pxxk xxkrka rkll 11(0)(1)( )1(1)(0)(1)00( )(1)(0)xxxxxxppxxxrrrparrrparprpr 最大熵譜估計(jì)方法最大熵譜估計(jì)方法v最大熵譜估

22、計(jì)的解釋是：根據(jù)給定隨機(jī)信號(hào)最大熵譜估計(jì)的解釋是：根據(jù)給定隨機(jī)信號(hào)x(n)，利用對(duì)利用對(duì)x(n)AR模型的限制，對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行模型的限制，對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行外推，并且假設(shè)外推，并且假設(shè)x(n)為高斯分布。為高斯分布。v實(shí)際上最大熵譜估計(jì)與實(shí)際上最大熵譜估計(jì)與Yule-Walker方法估計(jì)功方法估計(jì)功率譜是等價(jià)的。率譜是等價(jià)的。最大熵譜估計(jì)方法最大熵譜估計(jì)方法v這里對(duì)最大熵譜估計(jì)方法的描述，用于解釋該這里對(duì)最大熵譜估計(jì)方法的描述，用于解釋該方法譜估計(jì)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題。方法譜估計(jì)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題。v最大熵估計(jì)外推對(duì)數(shù)據(jù)強(qiáng)加了一個(gè)全極點(diǎn)模型，最大熵估計(jì)外推對(duì)數(shù)據(jù)強(qiáng)加了一個(gè)全極點(diǎn)模型，因此因此MEM估計(jì)是否優(yōu)于傳

23、統(tǒng)方法，取決于所分估計(jì)是否優(yōu)于傳統(tǒng)方法，取決于所分析的信號(hào)類型，以及信號(hào)模型逼近析的信號(hào)類型，以及信號(hào)模型逼近AR過(guò)程的程過(guò)程的程度度特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v對(duì)于帶有白噪聲的正弦波組合，由于正弦波之對(duì)于帶有白噪聲的正弦波組合，由于正弦波之間是非諧波的關(guān)系間是非諧波的關(guān)系 ，因此不能用基于傅立葉變，因此不能用基于傅立葉變換的周期圖法進(jìn)行分析。而特征分解法可以得換的周期圖法進(jìn)行分析。而特征分解法可以得到比到比AR模型更高的分辨率，特別是信噪比比較模型更高的分辨率，特別是信噪比比較低的時(shí)候，譜估計(jì)的效果比較理想。低的時(shí)候，譜估計(jì)的效果比較理想。特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v一階諧波過(guò)程

24、：一階諧波過(guò)程：v其中復(fù)指數(shù)其中復(fù)指數(shù)A1=|A1|ej?1 , ?1是均勻分布的隨機(jī)變是均勻分布的隨機(jī)變量，量，w(n)是方差為是方差為w2 的白噪聲的白噪聲11( )( )jnwx nAew n特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v復(fù)數(shù)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)矩陣定義為：復(fù)數(shù)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)矩陣定義為：*(0)(1)(1)(1)(0)(2)(1)(2)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrrrMrrrMRrMrMr特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)vRss的秩為的秩為1.)(|)(2211keAkrwjkwxxxxsswwRRR111111(1)(2)21(1)(2)11|1jwj Mwjwj

25、 Mwssj Mwj MweeeeRAee特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v定義定義v則則Rss可以用可以用e1表示：表示：v因此因此Rss的非零特征值為的非零特征值為M|A1|21111,.,jwjMw TeeeHsseeAR1121| 22111 1111|HssReAee eM Ae特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)vRxx和和Rss的特征向量是一致的。的特征向量是一致的。vRxx的特征根是的特征根是Rss的特征根和噪聲方差之和的特征根和噪聲方差之和222()()()xxisswwisswissiw isswiRvRRvRI vR vvv22max1|wM A特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估

26、計(jì)v根據(jù)根據(jù)Rx 的特征值和特征矢量獲得關(guān)于的特征值和特征矢量獲得關(guān)于x(n)的參的參數(shù)：數(shù)： Rx進(jìn)行特征值分解，最大的特征值為M|A1|2+w2 ，其它的特征值均為w2 利用Rx 的特征值求信號(hào)功率|A1|2和噪聲方差：2min2maxmin1|wAM特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì) 最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量為e1，則e1第二個(gè)系數(shù)為 ejw1, 其頻率即為w1特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v基于信號(hào)自相關(guān)矩陣分解的頻率估計(jì)算法：將基于信號(hào)自相關(guān)矩陣分解的頻率估計(jì)算法：將樣本空間分為信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后樣本空間分為信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后用頻率估計(jì)函數(shù)估計(jì)頻率值。用頻率估計(jì)函

27、數(shù)估計(jì)頻率值。v假設(shè)隨機(jī)信號(hào)假設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(n)由由p個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)和白噪聲信個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)和白噪聲信號(hào)組成：號(hào)組成：v其中其中s(n)為正弦信號(hào)，為正弦信號(hào)，v(n)為白噪聲為白噪聲1( )( )( )( )ipjnwiix ns nv nAev n特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)vX(n)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)：信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)：v其中其中Pi是功率：是功率： Pi =|Ai|221( )( )ipjkwxxiwirkPek 特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v則則x(n)的自相關(guān)矩陣為：的自相關(guān)矩陣為：(1)2(2)2(1)(2)2iiiiiijwj Mwiwiiiiijwj Mwiiwiiiixx

28、j Mwj MwiiiwiiiPPePePePPeRPePeP特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v其中其中ei為：為：2Hxxsswwi i iwiRRRPee2(1)1,.,iiijwj wj MwTieeee特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v設(shè)設(shè)vi是是Rss的特征矢量：的特征矢量：vvi也是也是Rxx的特征矢量，并且的特征矢量，并且Rxx的特征根是的特征根是Rss特特征根和噪聲方差之和：征根和噪聲方差之和：222()()xxisswwissiwissiiw iiwiR vRRvR vIvvvv2xsiiw特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)vRss的秩為的秩為p，因此，因此Rss有有p個(gè)非零特

29、征根，因此個(gè)非零特征根，因此Rxx特征根分為特征根分為p個(gè)大于個(gè)大于w2 的特征根，和的特征根，和M-p個(gè)為個(gè)為w2 的特征根的特征根。v對(duì)應(yīng)于特征根的分類，特征矢量也分為兩類。對(duì)應(yīng)于特征根的分類，特征矢量也分為兩類。實(shí)際上，大于實(shí)際上，大于w2的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)信號(hào)的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)信號(hào)子空間，而等于子空間，而等于w2的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)噪的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)噪聲子空間。聲子空間。v這樣可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)這樣可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rxx的特征根求解，最的特征根求解，最小的特征根就是白噪聲信號(hào)的方差。小的特征根就是白噪聲信號(hào)的方差。特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì)v如果自相關(guān)矩陣如果自相關(guān)矩陣Rxx的維數(shù)的維數(shù)M=p+1，則，則p個(gè)大于個(gè)大于w2 的特征根，的特征根，1個(gè)等于個(gè)等于w2 的特征根，因此信號(hào)的特征根，因此信號(hào)子空間的特征矢量為子空間的特征矢量為p個(gè)，噪聲子空間的特征個(gè)，噪聲子空間的特征矢量為矢量為1個(gè)，定義為個(gè)