(完整版)高中數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明教案及章節(jié)測(cè)試及答案

1、推理與證實(shí) 一、核心知識(shí) 1. 合情推理 （ 1） 歸納推理的定義：從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論,像這樣的推理通 常稱為歸納推理.歸納推理是由局部到整體,由個(gè)別到一般的推理. （ 2） 類比推理的定義：根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象之間在某些方面的相似或相同, 推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?這樣的推理稱為類比推理.類比推理是由 特殊到特殊的推理. 2. 演繹推理 （1） 定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論包括定義、公理、定理等 根據(jù)嚴(yán)格的邏輯法那么得到新結(jié)論的推理過程.演繹推理是由一般到特殊的推理. （2） 演繹推理的主要形式：三段論 “三段論可以表示為：大前題：M 是 P小前提：S 是 M

2、結(jié)論：S 是 P. 其中是大前提,它提供了一個(gè)一般性的原理；是小前提,它指出了一個(gè)特 殊對(duì)象；是結(jié)論,它是根據(jù)一般性原理,對(duì)特殊情況做出的判斷. 3. 直接證實(shí) 直接證實(shí)是從命題的條件或結(jié)論出發(fā),根據(jù)的定義、公理、定理,直接推 證結(jié)論的真實(shí)性.直接證實(shí)包括綜合法和分析法. 1綜合法就是“由因?qū)Ч?從條件出發(fā),不斷用必要條件代替前 面的條件,直至推出要證的結(jié)論. 2分析法就是從所要證實(shí)的結(jié)論出發(fā),不斷地用充分條件替換前面的條件或 者一定成立的式子,可稱為“由果索因.要注意表達(dá)的形式：要證 A,只要 證 B,B 應(yīng)是 A 成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用,不要將它們割 裂開. 4. 反證法

3、 1定義：是指從否認(rèn)的結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,證實(shí)結(jié)論的否定 是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的證實(shí)方法. 2一般步驟：1假設(shè)命題結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立；從假設(shè) 出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾；從矛盾判定假設(shè)不正確,即所求證命題正2 確. (3)反證法的思維方法：正難那么反5.數(shù)學(xué)歸納法(只能證實(shí)與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題)的步驟(1)證實(shí)：當(dāng) n 取第一個(gè)值 n0(n0N*)時(shí)命題成立; 假設(shè)當(dāng) n=k(kCN*,且 kn0)時(shí)命題成立,證實(shí)當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立 由(1),(2)可知,命題對(duì)于從 n0 開始的所有正整數(shù) n 都正確. 、典型例題 通過觀察上述兩等式的規(guī)律,

4、請(qǐng)你寫出一般性的命題： 3/*_=(* sin1(240)sin2(120)sin2 1 例 1.f(x 1) 2f(x) f(x)2 ,f(1)1(xN*),猜測(cè)f(x)的表達(dá)式為(B .4 A.f(x) 2x2 B. f(x) C. .1 f(x)一 D.f(x) 2 2x1 例 2. f(n) 計(jì)算得f(2) 3f(4) 2 2, f(8) f(16) ,f(32) 7,由此推測(cè): 2時(shí), 例 3. 2n 2 1 -(n ：sin2*30 242 sin90sin150 3; .2 sin5 .2_,2 sin65sin125 證實(shí)：左邊=一 1cos(2120) 2 1cos(2240

5、) 2 31r -cos2cos(2 1r 一cos2cos2cos1202 120 sin2 )cos(2 240) sin120cos2cos240sin2sin240 1rc1- 一cos2-cos2 22 3. sin 2 1cos22 3. =右邊 2 (將一般形式寫成sin2( 60o)sin2 -2/sin( o、 60) )并給出(*)式的證實(shí). 120) 3等均正確.) 2 例 4.假設(shè)a,b,c均為實(shí)數(shù),且ax232y-,by22z,cz22x. 236 求證：a,b,c中至少有一個(gè)大于0o 答案：(用反證法) 假設(shè)a,b,c者B不大于 0,即a0,b0,c0,那么有abc

6、0, 而abc(x22y-)(y22z-)(z22x-)(x1)2(y1)2(z1)2()3236236 =(x1)2(y1)2(z1)23 (x1)2,(y1)2,(z1)2均大于或等于 0,30,abc0,這與假設(shè)abc0 矛盾,故a,b,c中至少有一個(gè)大于0o 例 5.求證：1+3+5+(2n+1)=n2(nCN*) 三、課后練習(xí) 1 .數(shù)列 1,3,6,10,15,的遞推公式可能是(B) a1=1,a=1, .an+1=an+n(nCN*)an=an1+n(nCN*,n2) a1=1,a=1, .an+1=an+(n1)(nCN*)an=an1+(n1)(nCN*,n2) 解析記數(shù)列為

7、an,由觀察規(guī)律：a2比 a1多 2,a3比 a 多 3,a4比 a3多 一,一.一&=1,-* 4,可知當(dāng) n?2 時(shí),an 比 a.1 多 n,可得遞推關(guān)系(n2,nCN). anan1=n 2 .用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)等式 1+2+3+(n+3)=(n+(n+3)2 2n+4)(nek)時(shí),驗(yàn) 證 n=1,左邊應(yīng)取的項(xiàng)是(D) A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4 解析當(dāng) n=1 時(shí),左=1+2+(1+3)=1+2+4,故應(yīng)選 D. 1111 3 .f(n)=一+下,那么(D) nn+1n+2n 21 A.f(n)中共有 n 項(xiàng),當(dāng) n=2 時(shí),f(2) 33 7.觀察式子: 1

8、22 311 .1 222 15 -r.1 323 J_J_J_7 2232424 ,那么可歸納出式子為(C) C、1 1 22 1 32 1 n2 1 2n1 11 1 2232 11 n22n1 1 22 1 32 1 2 n 2n1 n 1-1-1 2232 12n n22n1 -a+b+c+2ab+2ac+2bc=0, .ab+ac+bc=_2w0. 5.c1,a=c+1加,b=,：c1,那么正確的結(jié)論是(B) A.abB,ac0,.cc10,所以 c+1+c,c+c10,所以 a0,貝 Uja24V2a120 a2a 答案：證實(shí)：要證,a2J2J2a2, a2a 只需證：a2J_2a172.aa a0,二兩邊均大于零,因此只需證,a21222；a 由 cosAcosCACA 所以 ABC 為等邊三角形 2 15.：a、b、cCR,且 a+b+c=1.求證：a+ 證實(shí)由 a2+b22ab,及 b2+c22bc,c2+a22ca. 三式相加得 a2+b2+c2ab+bc+ca. .3(a+b+c)(a+b+c)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c). 由 a+b+c=1,得 3(a2+b2+c2)1, 即 a2+b2+c21. 3解：一般形式：sin2sin2(60)sin2( (a 12 2)2a 只需證a24a 442a23223 只需證 a212 a 爭(zhēng)a*只需證a