正定矩陣的性質(zhì)和判定方法及應(yīng)用

1、內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)本科畢業(yè)論文內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)本科畢業(yè)論文正定矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用正定矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用作 者 郝蕓蕓 系 別 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 年 級 10級 學(xué) 號 102093113 指導(dǎo)教師 高菲菲 導(dǎo)師職稱 講師 答辯日期 成 績 內(nèi) 容 提 要矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要基本概念，也是一個主要研究對象，同時矩陣論又是研究線性代數(shù)的一個有力工具而矩陣的正定性是矩陣論中的一個重要概念正定矩陣是一種特殊的矩陣，其等價定理在解題過程中可以靈活使用且正定矩陣具有一般矩陣不具有的特殊性質(zhì)，尤其是這些性質(zhì)廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域本文在第一部分介紹了實矩陣的正定性的相關(guān)定義以及其等價條件在第二部分

2、列舉了正定矩陣的一系列性質(zhì)，主要介紹了正定矩陣的關(guān)聯(lián)矩陣的正定性本文在第三部分介紹了正定矩陣的相關(guān)定理本文在第四部分介紹了矩陣正定性的判定方法：定義法、主子式法、特征值法、與單位矩陣合同法且簡單地舉了一些實例來闡述實矩陣正定性的判定最后本文分別從不等式的證明和多元函數(shù)的極值兩個方面介紹了正定矩陣的實際應(yīng)用關(guān)鍵詞：二次型正定矩陣判定方法應(yīng)用應(yīng)用 AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory i

3、s a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive defin

4、ite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of pr

5、operties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fou

6、rth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive de

7、finite matrices.Key words: Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目 錄引言 .1一、正定矩陣的定義 .1二、正定矩陣的性質(zhì) .2三、正定矩陣的有關(guān)定理 .6四、正定矩陣的判定方法 .9（一）定義法 .9（二）主子式法 .10（三）特征值法 .11（四）與單位矩陣合同法 .12E五、正定矩陣的應(yīng)用 .13（一）正定矩陣在不等式中的應(yīng)用 .13（二）正定矩陣在多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用 .14總結(jié) .16參考文獻(xiàn) .16后記 .171正定矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用引言矩陣?yán)碚撌?/p>

8、數(shù)學(xué)的一個重要分支，它不僅是一門基礎(chǔ)學(xué)科，也是最具有使用價值，應(yīng)用很廣泛的數(shù)學(xué)理論矩陣是矩陣?yán)碚撝幸粋€重要基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，而正定矩陣作為一類常用矩陣，其在計算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、運籌學(xué)、控制論、數(shù)值分析等領(lǐng)域中都具有廣泛的應(yīng)用二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)型的問題，正定二次型在二次型理論中占有很重要的地位，在實數(shù)域上文字的正定二次型與階正定矩陣是一一對應(yīng)的，本文首先運用1,nXXn二次型的有定性引出了矩陣的有定性，繼而給出了正定矩陣的定義其次本文證明了正定矩陣的一些實用性質(zhì)以及有關(guān)定理，且論述了正定矩陣的多種判定方法，最后運用正定矩陣解決了數(shù)學(xué)中不等

9、式的證明和多元函數(shù)極值的問題一、正定矩陣的定義定義定義1 13設(shè)均為實常數(shù)，則關(guān)于個實變量的二次齊次多項式,1,2, ;ijai jn ijn12,nx xx函數(shù)， 2221211 1222,nnnnfx xxa xa xa x121213 131,1222nnnna x xa x xaxx 1稱為元實二次型n定義定義2 23 只含有平方項的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形，即 222121122,nnnfy yyd yd yd y 2定義定義3 33若二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)僅為，則此標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范1,2,id in1, 1,0形定義定義4 4 1 實二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)，

10、12,nfx xx12,nc cc都有； 12,0nf c cc2如果都有，那么稱為負(fù)定的；如果都有12,0nf c cc12,nfx xx，那么稱為半正定的；如果都有，12,0nf c cc12,nfx xx12,0nf c cc那么稱為半負(fù)定的；如果二次型既不是半正定又不是半負(fù)定，那么12,nfx xx就稱為不定的12,nfx xx定義定義5 5 1 若實數(shù)域上的元二次型是正定二次型n1211(,)()nnnijijijjiijf x xxaXaaTX AX（負(fù)定二次型），則稱為正定矩陣（負(fù)定矩陣）；若二次型是半正定二次型（半負(fù)A定二次型），則稱為半正定矩陣（半負(fù)定矩陣）其中A， 1112

11、12122212nnnnnnaaaaaaAaaa12nxxXx定義定義6 61子式 1112121222121,2,iiiiiiiaaaaaaPinaaa 3稱為矩陣的 階順序主子式 ijnnAai下面是正定矩陣的一些等價條件定理定理1 18 設(shè)是階實對稱矩陣，則下列命題等價：An(1)是正定矩陣A(2)的正慣性指數(shù)等于An(3)的特征值全大于零A(4)合同于階單位矩陣AnnE(5)合同于主對角元大于零的對角矩陣A(6)存在可逆矩陣，使得，其中表示的轉(zhuǎn)置PTAP PTPP注：注：二次型的正定（負(fù)定），半正定（半負(fù)定）統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定性不具備有定性的二次型及其矩陣稱為不定的二次型的有定

12、性與其矩陣的有定性之間具有一一對應(yīng)關(guān)系因此，二次型的正定性的判定可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的實對稱矩陣的正定性的判定3二、正定矩陣的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 11正定矩陣的行列式大于零證明證明設(shè)是正定矩陣因為與單位矩陣合同，所以有可逆矩陣使AACACECCC兩邊取行列式，有20AC CC推論推論1 11若是正定矩陣，則的順序主子式全大于零AA證明證明設(shè)二次型是正定的對于每個，令1211,nnnijijijfx xxa x x,1kkn下面證明是一個元的正定二次型對于任意一組不1211,kkknijijijfx xxa x xkfk全為零的實數(shù)，有1,kcc1111,0,00kkkkijijkijfcca ccf c

13、c因此是正定的由性質(zhì)可知，的矩陣的行列式1,kkfxxkf11110,1,kkkkaaknaa這就證明了矩陣的順序主子式全大于零A性質(zhì)性質(zhì)2 2 6若是正定矩陣，則的主對角元全大于零AA證明證明設(shè)，對于任意的，恒有，其中，()ijAa0X 11nnTijijijX AXa x xijjiaa令，將其代入，得,1,2,i jn(0,0,1,00)iTX 11()nnTijijijjiijX AXa x x aa，所以，從而結(jié)論得證TiiX AXa0iia 1,2,in 性質(zhì)性質(zhì)3 36正定矩陣中絕對值最大元素必可以在主對角線上取到()ijAa證明證明設(shè)是正定矩陣，則它的一切主子式都大于零如果是的

14、中絕對值最()ijAa()ija ijA大的一個元素，那么，取的二階主子式 ，由此可得A0iiijiijjijjijijjaaa aa aaa4，因此，的絕對值不可能都小于，所以，或2iijjijjiija aa aa,iijja aijaijiiaa，故中絕對值最大的元素必可以在主對角線上取到ijjjaaA性質(zhì)性質(zhì)4 48 若是正定矩陣，則，是正定矩陣，其中AkAAkE0k 證明證明由是正定矩陣，可知的特征值，則的特征值A(chǔ)A120,0,0nkA，因此是正定矩陣0(1,2,)ikinkA同理可得的特征值，因此也是正定AkE120,0,0nkkkAkE矩陣性質(zhì)性質(zhì)5 57 若是正定矩陣，則，是正

15、定矩陣，其中表示的逆矩陣，A1A*A1AA表示的伴隨矩陣*AA證明證明 首先證是正定矩陣1A因為是正定矩陣，所以可逆且，則有AATAA， 111TTAAA即為實對稱矩陣1A設(shè)的特征值為，因為是正定矩陣正定，所以A12,n A0(1,2,)iin故的特征值，因此也是正定矩陣1A111120,0,0n1A再證是正定矩陣*A由，可得，即是實*1AA A 1111TTTA AA AA AA A *TAA*A對稱矩陣因為的特征值，所以是正定矩陣*A120,0,0nAAA*A性質(zhì)性質(zhì)6 6 1若是正定矩陣，則對于任意整數(shù)，都是正定矩陣AkkA證明證明當(dāng)時，顯然是正定矩陣0k kAE當(dāng)時，由于，而，有性質(zhì)可

16、知，也是正定矩陣，故0k kk 1kkAA1A下面只需假定為正整數(shù)即可k 當(dāng)為偶數(shù)時，由于，且，由正定矩陣的等價條件(6)可知kTAA22TkkkAAA kA是正定矩陣 當(dāng)為奇數(shù)時，由于是正定矩陣，故存在實可逆矩陣，使kACTAC C由此可得：，從而仍由正定矩陣的111111222222TkkkkkkkTAAAAAC CACACA 5等價條件(6)可知，是正定矩陣kA性質(zhì)性質(zhì)7 74 設(shè)為階正定矩陣，則，其中為 的主對角元素.An1122nnAa aaiia1,2,inA證明證明 設(shè)，其中為 的階順序主子式，1TnnAAa=1AA1n121,Tnnnnaaa那么，111111111100010

17、1nnTTTnnnnAAEEAaaAA=兩邊取行列式得 ：，111TnnAAaA因為是正定矩陣，所以，都是正定矩陣，那么 A1A11A由上式可知1100TAA， 1nnAAa同理，其中為的級順序主子式陣，這樣繼續(xù)下去可得 121,1nnAAa2AA2n .12-1, -11122nnnnnnnnAAaAaaa aa性質(zhì)性質(zhì)8 85任意兩個同階正定矩陣的和是正定矩陣，更一般地，多個正定矩陣的正線性組合也是正定矩陣證明證明設(shè),都是正定矩陣，又設(shè)由,是正定矩陣，可得AB,0a b AB則有,TTAABB，TTTaAbBaAbBaAbB所以是實對稱矩陣因為對任意有aAbB0()nXXR，()TTTXa

18、AbB XaX AXbX BX由性質(zhì)4可知是正定矩陣，則有，所以,aA bB0TaX AX 0TbX BX 因此是正定矩陣()0TXaAbB XaAbB6多于兩個矩陣的情形可按同樣方式得出結(jié)論，并利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：（1）當(dāng)時已證明命題成立；2n （2）假設(shè)時命題成立，現(xiàn)證明時命題也成立1nk1nk設(shè)是同階正定矩陣，對任意有12,1,kkA AA A121,0kka aa a0()nXXR，11111111()0TTTTkkkkkkkkXa Aa AaAXa X A Xa X A XaX AX其中每一項均為正所以當(dāng)時，結(jié)論成立1nk綜合（1）（2）可知，對于一切的自然數(shù)，多個正定矩陣的正線

19、性組合必為正n定矩陣性質(zhì)性質(zhì)9 98 如果是正定矩陣，是任意實數(shù)，則存在正定矩陣，使得AmBmAB證明由于是正定矩陣，所以存在正交矩陣，使，其中AQ100TnQ AQ，所以1,0n100TnAQQ令，則，結(jié)論得證 100mTmnBQQmAB三、正定矩陣的有關(guān)定理定理定理2 25若，都是正定矩陣，則是正定矩陣AB00AB由定理2的推廣，可以得到如下推論：推論推論2 2若，都是正定矩陣，則ABCD是正定矩陣12340(0,1,2,3,4)0il Al Blil Cl D推論推論3 3若都是正定矩陣，則是正定矩陣12,sA AA12sAAA定理定理3 35正定矩陣的合同矩陣一定是正定矩陣7證明證明設(shè)

20、為階正定矩陣，為階實對稱矩陣且與合同BnAnB由正定矩陣的等價條件可知，與單位矩陣合同又因為與合同，那么BnEABA也與單位矩陣合同，即為正定矩陣nEA定理定理4 45若,是實對稱矩陣，的特征值全大于，的特征值全大于若ABAaBb，則是正定矩陣0abAB證明證明性質(zhì)5已證得是實對稱矩陣，且由已知條件可知，都是正定矩陣，ABAaEBbE由性質(zhì)5可得是正定矩陣()()AaEBbE設(shè)是的任一特征值，則AB，()()()()EABabEAaEBbE這表明是的特征值由于是正定矩陣()ab()()AaEBbE()()AaEBbE，故，所以，即的特征值全大于 ，從而為正()0ab()0abAB0AB定矩陣推

21、論推論4 4設(shè)都是實對稱矩陣，的特征值均大于若12,sA AAiA(1,2, )ia is，則是正定矩陣10siia12sAAA定理定理5 59 若,是正定矩陣，則是正定矩陣的充要條件是ABABABBA證明證明 必要性：設(shè)是正定矩陣，則是實對稱矩陣，從而ABABTTTABABB ABA充分性：由知，故是實對稱矩陣ABBATTTABB ABAABAB由于正定，存在可逆矩陣使得，從而BPTBP P，11()TTTABAP PP PAP PPPAPP即與相似，因而與有相同的特征值因為正定，故也正定ABTPAPABTPAPATPAP，的特征值全大于零，故的特征值全大于零，所以是正定矩陣TPAPABAB

22、定理定理6 67若是實對稱矩陣，且可逆，則是正定矩陣AA2A證明證明 由已知可知，則是實對稱矩陣.又因為TAA 222TTAAA2A，故與合同，從而是正定矩陣正定.121TAA AE2AE2A對定理6推廣，可以得到如下推論：推論推論5 5 若是實對稱矩陣，且可逆，則是正定矩陣.AA2()kAkZ8注：當(dāng)滿足推論的條件時，不一定是正定矩陣?yán)鏏21()kAkZ，則是實對稱矩陣，且可逆顯然不123AAA 212121123kkkA是正定矩陣定理定理7 76 設(shè)都是階正定矩陣，則也是正定矩陣，其中 ,ijijAaBbn ijCcijijijca b證明證明是實對稱矩陣，顯然也是實對稱矩陣任取，則由矩

23、陣,A BC1(,)0TnXxx,A B是正定矩陣，可知：，11110,0nnnnTTjkjkjkjkjkjkX AXa x xX BXb x x且存在階可逆矩陣，使得，即n ijQqTBQ Q，1( ,1, )njkljlklbq qj kn所以，11111111nnnnnnnnjkjkjkjkljlkjkjkjljklkjkjklljka b x xaq qx xax qx q對任意，因為可逆，所以總存在一個 ，使得1(,)0TnXxxQl，11(,)0nTlnlx qx q(不妨設(shè)，則由可逆知的第一列中總有一個元素不為零，設(shè)為，于是10 x QQ1lq)又由是正定矩陣有：對以上的 成立所

24、以110lx q A110nnjkjljklkjkax qx ql，即為正定矩陣110nnjkjkjkjka b x xijijCa b定理定理8 86設(shè)是正定矩陣，為實矩陣，其中為的轉(zhuǎn)置矩陣，則ABmnTBB為正定矩陣的充要條件是的秩TB ABB r Bn證明證明 必要性 設(shè)為正定矩陣，則對任意的維非零列向量，有TB ABnX9，于是，因此元齊次線性方程組只有X 0TTTXB ABBXA BX=0BX n0BX 零解，故系數(shù)矩陣的秩B r Bn充分性 因為，故為實對稱矩陣.TTTTTB ABB A BB AB=TB AB若，則齊次線性方程組只有零解，從而對任意實維非零列向量 r Bn0BX

25、n，有又因為正定，所以對于有，于是當(dāng)X0BX A0BX 0TBXA BX0X 時，有，故為正定矩陣. 0TTTXB AB XBXA BX=TB AB四、正定矩陣的判定方法(一)定義法階實對稱矩陣稱為正定矩陣，如果對于任意維實非零向量，都有nAnX則實對稱矩陣簡稱為正定矩陣，記作：0TX AX A0A用定義證明矩陣是正定矩陣需證明兩點：A(1)為實對稱矩陣A(2)對任意的非零向量，X0TX AX 運用定義判定正定矩陣適用于一些題目中未給出具體數(shù)字的矩陣，且容易推出相關(guān)矩陣所對應(yīng)的二次型大于零，根據(jù)已知條件得出所求矩陣對應(yīng)的二次型大于零，則可以確定該矩陣屬于正定矩陣?yán)? 1設(shè)是實矩陣，且是列滿秩

26、，即，證明是正定矩陣AnmA r AmTA A證明證明首先，因為，所以，是實對稱矩陣 TTTTTTA AAAA ATA A其次，由可知，齊次線性方程組只有零解因此，對任意維列 r Am0AX m向量，必有，不妨設(shè)，則是一組不全為零0X 0AX 12,TnAXa aa12,na aa的實數(shù)從而，對任意維列向量，二次型m0X ， 210nTTTiiXA A XAXAXa即二次型正定，所以矩陣是正定矩陣TTXA A XTA A例例2設(shè)是矩陣，證明當(dāng)時，是正定矩陣AmnTBEA A0B10證明證明因為，故是階實對稱矩陣，對于任意的維實向TTTTBEA AEA ABBnn量，有0 x 22TTTTTTx

27、 Bxx xx A Axx xAxAxxAx由于，則恒有，而，因此，由定義可0 x 020 x20Ax00Tx Bxx 得是正定矩陣B(二)主子式法若矩陣的各階順序主子式全大于零，則矩陣為正定矩陣AA運用主子式判定正定矩陣，首先需確定該矩陣的各階順序主子式容易求得然后根據(jù)矩陣的各階順序主子式均大于零，可以快速地判定出一個矩陣是否屬于正定矩陣，但是此法只適用于判定一些比較簡單，或方便計算各階順序主子式的矩陣?yán)? 3 設(shè)二次型，判定該二次型的矩陣是2221231231213,65744fx x xxxxx xx x否屬于正定矩陣. 解解 二次型的矩陣為，622250207A 其各階順序主子式分別

28、為全大于零，所以矩陣123626,26,16225DDDA是正定矩陣A例例4 4 取何值時，二次型的矩陣是正定矩陣t222112132233222410fxx xx xxtx xx解解二次型對應(yīng)的矩陣為f，1111221210Att要使矩陣正定，必須使的各階順序主子式全大于零，即滿足AA 121110,10,12DD，22231110121944104484(2)00219DAtttttttt 11得到，所以，當(dāng)時，二次型的矩陣是正定矩陣21t ( 2,1)t f(三)特征值法若矩陣的特征值全為正數(shù)，則矩陣為正定矩陣AA運用特征值判定正定矩陣，先計算出矩陣的所有特征值，若所有特征值都為正數(shù)則可

29、以判定該矩陣屬于正定矩陣如果可以保證所有特征值全為正數(shù)，則可以不計算出特征值的具體值直接判定此法適用于一些行列較多且不容易計算各階主子式，或根據(jù)已知條件容易判斷特征值是否全為正數(shù)的矩陣?yán)? 5已知是階實對稱正定矩陣，證明是正定矩陣,A AEn1EA證明證明由可知，是對稱矩陣設(shè) 111TTTEAEAEA1EA是的特征值，則的特征值，即，12,n AAE1210,1 ,10n 1i那么，從而11i110i綜上可得：的特征值全為正數(shù)，即是正定矩陣1EA1EA例例6 6判定元二次型的矩陣是否屬于正定矩陣n12111nniiiiifxx x解解二次型的矩陣為f111221112211122n nA則，

30、記21111211111,1,1221121AE 111,1,11B 由可得，的特征值是與 （重）于是的特征值是(2BnBBn01n A111 ,22n 1n 重) 的特征值全為正數(shù)，故屬于正定矩陣AA例例7 7設(shè)是階實對稱矩陣，且滿足，證明是正定矩陣An43234640AAAAEA12證明證明設(shè)是矩陣的特征值，是矩陣的屬于特征值的特征向量，則有AA，432432346434640AAAAE因為，所以，即043234640，22120由于是實對稱矩陣，故由上式可知矩陣的特征值為或，即矩陣的特征AAA值全為正數(shù)，從而可得是正定矩陣A(四)與單位矩陣合同法E正定二次型的規(guī)范形為，而規(guī)范形的矩陣為單

31、位矩12,nfx xx22212nyyy陣，所以一個實對稱矩陣是正定矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同EE此法較上述方法比較簡單，即此法不需要判定該矩陣對應(yīng)的二次型是否大于零，也不用計算順序主子式和特征值，只需判定該矩陣是否與同階單位矩陣合同即可此法適用于較容易判斷出與單位矩陣合同的矩陣?yán)? 8已知是階可逆矩陣，證明是正定矩陣AnTA A證明證明由于，則是對稱矩陣TTTA AA ATA A因為，且是可逆矩陣，所以與是合同矩陣，從而是正定TTA AA EAATA AETA A矩陣?yán)? 9 用此法證明分塊矩陣是正定矩陣，其中分別為階正定矩陣00AQB,A B,m n證明證明由于矩陣為正定矩陣，故存在

32、可逆矩陣和，使得,A Bm mCn nD，,TTmnC ACED BDE令，則，且為階可逆矩陣00CPD00TTTCPDPmn，0000000000TTmTTTnEACCC ACP QPEBDDD BD所以，矩陣與單位矩陣合同，故分塊矩陣是正定矩陣QE00AQB13五、正定矩陣的應(yīng)用(一)正定矩陣在不等式中的應(yīng)用實對稱矩陣是正定矩陣是由于其對應(yīng)的實二次型（其中ATXAX12,nXx xx）正定，而二次型正定是指對于任意恒有因此可以利用此性質(zhì)來證明0X000TX AX不等式是否成立例例1010 證明不等式（其中是不全為零的實數(shù)）成立22212312134222xxxx xx x123,x x x

33、證明證明令，其系數(shù)矩陣為2221231231213,4222fx x xxxxx xx x，1-11-140102A的各階順序主子式為，則為正定矩陣因此A11221-1=10,=30,20-14AAAA對于任意一組不全為零的都有，故原不等式成立123,x x x123,0fx x x例例1111 證明不等式成立2211nniiiinXX（）證明證明令，則二次型為2211nnTiiiifnXXX AX（），1212111111,111nXnXfXXXnXnnA的各階順序主子式，所以是半A211221110,20,011nAnAnnAn A正定的，那么二次型是半正定的，即

34、故原不等式成立0f (二)正定矩陣在多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用在實際問題中經(jīng)常遇到求多元函數(shù)的極值問題，對此可應(yīng)用二次型的正定性加以解決.定義定義7 72設(shè)元實函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)存在一階、n12()(,)nf Xf x xx12(,)TnnXx xxR二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)記,稱為函數(shù)在點12()()()(),nf Xf Xf Xf Xxxx()f X()f X處的梯度12( ,)TnXx xx定義定義8 82，此矩陣稱為函數(shù)222211212222212()()()()()()()()nijn nnnnf Xf Xf Xxx xx xf XH Xx xf Xf Xf Xxxxxx 在點處的(Hessi

35、an)黑塞矩陣則是由的個12()( ,)nf Xf x xxnXR()H X()f X2n二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實對稱矩陣n定理定理9 92(極值必要條件)設(shè)函數(shù)在點處可微，且為該函數(shù)的極值點()f X000012(,)TnXxxx0X，則1)必為的穩(wěn)定點，即.0X()f X0()0f X2) 若在的某領(lǐng)域存在連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)為極小值時，()f X0X0U X0fX在的黑塞矩陣為正定或正半定；則當(dāng)為極大值時，在的黑塞()f X0X0fX()f X0X15矩陣為負(fù)定或負(fù)半定定理定理10102(極值充分條件)設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)存在一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時()f X0nXR，且則：000012()()()(),0nf Xf Xf Xf Xxxx(1)當(dāng)是正定矩陣時，在處取得極小值；0()H X()f X0X(2)當(dāng)是負(fù)定矩陣時，在處取得極大值； 0()H X()f X0X(3)當(dāng)是不定矩陣時，在處不取極值0()H X()f X0X例例1212求多元函數(shù)的極值.222( , , )22244f x y zxyzxyz解解先求駐點，由， 解得220440440 xyzfxfyfz1,1,1xyz 可得駐點為0( 1, 1,1)P 再求(Hessian)黑塞矩陣，因為，所