系統(tǒng)根軌跡校正

1、自動(dòng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)-基于根軌跡的串聯(lián)校正設(shè)計(jì) 與頻域法相似，利用根軌跡法進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì)也有兩種方法：1）常規(guī)方法；2）Matlab方法。Matlab的根軌跡方法允許進(jìn)行可視化設(shè)計(jì)，具有操作簡(jiǎn)單、界面直觀、交互性好、設(shè)計(jì)效率高等優(yōu)點(diǎn)。目前常用的Matlab設(shè)計(jì)方法有：1）直接編程法；2）Matlab控制工具箱提供的強(qiáng)大的Rltool工具；3）第三方提供的應(yīng)用程序，如CTRLLAB等。本節(jié)在給出根軌跡的設(shè)計(jì)思路的基礎(chǔ)上，將重點(diǎn)介紹第一、二種方法。6.4.1 超前校正關(guān)于超前校正裝置的用途，在頻率校正法中已進(jìn)行了較詳細(xì)的敘述，在此不再重復(fù)。利用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正的基本前提是：假設(shè)校

2、正后的控制系統(tǒng)有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能就可以近似地用這對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)所描述的二階系統(tǒng)來(lái)表征。因此在設(shè)計(jì)校正裝置之前，必須先把系統(tǒng)時(shí)域性能的指標(biāo)轉(zhuǎn)化為一對(duì)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。通過(guò)校正裝置的引入，使校正后的系統(tǒng)工作在這對(duì)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)處，而閉環(huán)系統(tǒng)的其它極點(diǎn)或靠近某一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，或遠(yuǎn)離s平面的虛軸，使它們對(duì)校正后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響最小。是否采用超前校正可以按如下方法進(jìn)行簡(jiǎn)單判斷：若希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位于校正前系統(tǒng)根軌跡的左方時(shí)，宜用超前校正，即利用超前校正網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的相位超前角，使校正前系統(tǒng)的根軌跡向左傾斜，并通過(guò)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 （一）根軌跡超前校正原理設(shè)一個(gè)單位反饋系統(tǒng)，G0(

3、s)為系統(tǒng)的不變部分，Gc(s)為待設(shè)計(jì)的超前校正裝置，Kc為附加放大器的增益。繪制G0(s)的根軌跡于圖619上，設(shè)點(diǎn)Sd 為系統(tǒng)希望的閉環(huán)極點(diǎn)，則 若為校正后系統(tǒng)根軌跡上的一點(diǎn)，必須滿足根軌跡的相角條件，即Gc(Sd)G0(Sd)=Gc(Sd)+G0(Sd)=-圖6-18于是得超前校正裝置提供的超前角為：(6-21)顯然在Sd已知的情況下，這樣的Gc(s)是存在的，但它的零點(diǎn)和極點(diǎn)的組合并不唯一，這相當(dāng)于張開(kāi)一定角度的剪刀，以Sd為中心在擺動(dòng)。若確定了Zc和Pc的位置，即確定了校正裝置的參數(shù)。下面介紹三種用于確定超前校正網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)和極點(diǎn)的方法。（二）三種確定超前校正裝置參數(shù)的方法零

4、極點(diǎn)抵消法在控制工程實(shí)踐中，通常把Gc(s)的零點(diǎn)設(shè)置在正對(duì)希望閉環(huán)極點(diǎn)Sd下方的負(fù)實(shí)軸上，或位于緊靠坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)的左方，此法一般可使校正后系統(tǒng)的期望閉環(huán)極點(diǎn)成為主導(dǎo)極點(diǎn)。比值最大化法能使超前校正網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)和極點(diǎn)的比值為最大的設(shè)計(jì)方法。按照該法去設(shè)計(jì)Gc(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，能使附加放大器的增益盡可能地小。以圖619上的點(diǎn)O和Sd，以Sd為頂點(diǎn)，線段O 為邊，向左作角，角的另一邊與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)Zc=-1/T，點(diǎn)Zc就是所求 的一個(gè)零點(diǎn)。再以線段ZcSd為邊，向左作角PcSdZc，該角的另一邊與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)Pc=-1/T，點(diǎn) 就是所求Gc(s)的一個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)正弦定理，由圖618求得:(6-

5、22)(6-23)于是有:(6-24)將夾角作為自變量，式（624）對(duì)求導(dǎo)，并令其等于零，即d/d=0由上式解得對(duì)應(yīng)于最大值時(shí)的角為(6-25)不難看出，當(dāng)希望的閉環(huán)極點(diǎn)Sd被確定后，式（625）中的和均為已知值，因而由上式可求得角，然后由式（622）和式（623）求得相應(yīng)的零極點(diǎn)。幅值確定法設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù):(6-26)且令超前校正裝置的傳遞函數(shù)：(6-27)若要求校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)K(Kp,Kv,Ka)，則由上式可首先確定k：(6-28)在開(kāi)環(huán)增益k確定后，根據(jù)根軌跡原理，若Sd為校正后的閉環(huán)極點(diǎn)，則它除必須滿足相角條件外，還應(yīng)滿足幅值條件：(6-29)上式中，同樣根據(jù)平面三角形

6、原理，對(duì)于ZcOSd有：(6-30)而對(duì)于PcOSd有：(6-31)由上二式消去sin，并由式（629）可得：(6-32)根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，上式可寫成如下形式：(6-33)進(jìn)而有：(6-34)由于k可由穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)確定，u由未校正傳遞函數(shù)求出，因此根據(jù)上式求出角。最后可用式（622）和式（623）確定校正裝置的零極點(diǎn)和具體參數(shù)。通過(guò)上述分析可知，對(duì)于超前校正裝置的參數(shù)確定，可用三種方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，其中第一法是工程經(jīng)驗(yàn)方法，第二法則是從抑制高頻噪聲角度出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì)，第三法則先在滿足靜態(tài)性能指標(biāo)的條件下設(shè)計(jì)滿足動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的控制器。但必須指出，上述三法均用于對(duì)靜態(tài)性能要求不高而系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能需要改善

7、的控制系統(tǒng)，校正后的系統(tǒng)應(yīng)滿足根軌跡的相角條件和幅值條件。若系統(tǒng)的靜態(tài)性能指標(biāo)較高，可能無(wú)法設(shè)計(jì)合適的超前校正裝置，此時(shí)應(yīng)采用遲后超前校正裝置。（三）根軌跡超前校正的步驟綜上所述，用根據(jù)軌跡法進(jìn)行超前校正的一般步驟為：）根據(jù)對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)性能指標(biāo)和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的要求，分析確定希望的開(kāi)環(huán)增益k閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)Sd的位置）畫出校正前系統(tǒng)的根軌跡，判斷希望的主導(dǎo)極點(diǎn)位于原系統(tǒng)的根軌跡左側(cè)，以確定是否應(yīng)加超前校正裝置。）根據(jù)式（21）解出超前校正網(wǎng)絡(luò)在Sd點(diǎn)處應(yīng)提供的相位超前角。）選擇前面介紹的三種方法之一，求，爾后用圖解法或根據(jù)式（22）和式（23）求得Gc(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，進(jìn)而求出校正裝置的參數(shù)。）畫出

8、校正后系統(tǒng)的根軌跡，校核閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)是否符合設(shè)計(jì)要求。）若采用第一法和第二法，則還須根據(jù)根軌跡的幅值條件，確定校正后系統(tǒng)工作在 處的增益和靜態(tài)誤差系數(shù)。如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)與要求的值相差不大，則可通過(guò)適當(dāng)調(diào)整Gc(s)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置來(lái)解決；如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)比要求的值小得多，則需考慮用別的校正方法，如用遲后超前校正。下面舉例分別介紹上述三法的使用，進(jìn)而對(duì)根軌跡超前校正步驟進(jìn)行說(shuō)明。例65 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計(jì)一超前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率 ，阻尼比 。解：（）這是一個(gè)積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率 

9、;，阻尼比  ，閉環(huán)極點(diǎn)為  以及靜態(tài)速度誤差系數(shù)  ，校正前系統(tǒng)的根軌跡如圖20虛線所示。圖6-20（）由 和  ，求得希望的閉環(huán)極點(diǎn)為:。（）計(jì)算超前校正裝置在 處需提供的相位超前角。由于未校正系統(tǒng)的 在  處的相角為：為了使校正后系統(tǒng)的概軌跡能通過(guò)希望的極點(diǎn)，超前校正裝置必須在該點(diǎn)產(chǎn)生的超前角。（4）根據(jù)根軌跡的相角條件，確定超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)。因?yàn)?#160;，  ，所以  。按照最大值的設(shè)計(jì)方法，可計(jì)算或作圖求出

10、0; ，  。這一校正裝置的傳遞函數(shù)  。于是求得由校正網(wǎng)絡(luò)和附加放大器組成的超前校正裝置的傳遞函數(shù)，并得到校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)式中，。由上式作出校正后系統(tǒng)的根軌跡，如圖620中的實(shí)線所示。（5）確定系統(tǒng)工作在希望閉環(huán)極點(diǎn)處的增益和靜態(tài)速度誤差系數(shù)。由根軌跡的幅值條件解得 。由于  ，因而  。系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為由上式求得校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)校正后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可由Matlab中的Gfeedback(Gc*G,1)得到：由上式可見(jiàn)，校正后的系統(tǒng)雖上升為三階系統(tǒng)，但由于所增加

11、的一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) 與其零點(diǎn)  靠得很近，因而這個(gè)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響就很小，從而說(shuō)明了 確為系統(tǒng)一對(duì)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。由于本例題對(duì)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)沒(méi)有提出具體的要求，故認(rèn)為上述的設(shè)計(jì)是成功的。例66 設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)一超前校正裝置，使校正后的系統(tǒng)能具有下列的性能指標(biāo)：超調(diào)量 %，調(diào)整時(shí)間  。解：（1）作出校正前系統(tǒng)的根軌跡，如圖621所示。圖6-21（2）根據(jù) ，解得  ，考慮到非主導(dǎo)極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)超調(diào)量的影響，取  。又由 

12、0;，求得 。進(jìn)而求得系統(tǒng)的一對(duì)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)  。（3）根據(jù)求得的主導(dǎo)極點(diǎn)，計(jì)算超前校正網(wǎng)絡(luò)在處應(yīng)提供的超前角為（4）由于 的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)正好落在希望閉環(huán)極點(diǎn)  下方的負(fù)實(shí)軸上，因此可采用第一法進(jìn)行校正。把  的零點(diǎn)設(shè)置在緊靠  這個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的左側(cè)。如設(shè)  ，則  的極點(diǎn)落在以  為頂點(diǎn)，向左作角  的負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)上，  ，即為所求  的極點(diǎn)。（5） 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為由根

13、軌跡的幅值條件，求得系統(tǒng)工作于 點(diǎn)處的K值為30.4。這樣，上式便改寫為據(jù)此，求得校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)如果希望 值有少量地增大，則可通過(guò)適當(dāng)調(diào)整  零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)，但這種調(diào)整有可能會(huì)破壞  的主導(dǎo)作用。（6）它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：或直接由如下的Matlab命令得到：zpk(feedback(G0*Gc,30.4)Zero/pole/gain:(s+1.2)-(s+6.631) (s+1.347) (s2 + 1.972s + 4.085)下面檢驗(yàn)希望閉環(huán)極點(diǎn)  是否符合主導(dǎo)極點(diǎn)的條件。不難看出，由于閉環(huán)系統(tǒng)的一

14、個(gè)極點(diǎn)與零點(diǎn)靠得很近，故它對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響很小，同時(shí)由于另一極點(diǎn)  距s平面的虛軸較遠(yuǎn)，因而這個(gè)瞬態(tài)分量不僅幅值小，而且衰減的速度也快。由此得出，上述設(shè)計(jì)的超前校正裝置能使  成為系統(tǒng)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。上面兩個(gè)例題均對(duì)靜態(tài)誤差系數(shù)沒(méi)有特殊要求，否則，宜采用如下方法，即第三法。例67 有一單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)： ，設(shè)計(jì)一超前校正裝置，滿足如下性能指標(biāo)：靜態(tài)誤差系數(shù)  ，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位于：  處。解：（1）繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡，并根據(jù)靜態(tài)誤差系統(tǒng)，確定開(kāi)環(huán)增益： ， 

15、60;，（2）根據(jù)幅值確定法，并代入：超前校正裝置應(yīng)提供的超前角度：圖6-22（3）根據(jù)公式（634）確定夾角 ：得到： （4）由設(shè)計(jì)要求， ，  ， ，求出校正裝置的參數(shù)。，得到： ，  。因而超前校正裝置的傳遞函數(shù)：（5）校正后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和主導(dǎo)極點(diǎn)分別為：G=G0*GcTransfer function:576.8 s + 1921-s4 + 34 s3 + 256 s2 + 384 sGl=feedback(G0Gc,1)zpk(Gl)Zero/pole/gain:576.8 (s+3.33)-(s+

16、25.25) (s+4.745) (s2 + 4.006s + 16.03)顯然，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為： ，主導(dǎo)極點(diǎn)為：  ，設(shè)計(jì)基本符合要求。6.4.2 遲后校正通過(guò)設(shè)置校正裝置的零極點(diǎn)，使之形成一對(duì)在S平面上靠近原點(diǎn)的偶極子，這樣，在基本保持原系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的前提下，可提高系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)而不致使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變壞。例如，對(duì)于一單位反饋系統(tǒng)，若其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：G0(S)=K/s(s+a)(s+b),則靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=K/ab ，因?yàn)橄到y(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)為Sd，則K=|Sd|·|Sd+a|·|Sd+b|。串聯(lián)遲后校正裝置后，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：若要求主

17、導(dǎo)極點(diǎn)基本不變，則(6-35)由于設(shè)計(jì)時(shí)選取的-1/和-1/均靠近原點(diǎn)，因此,但此時(shí) 可見(jiàn)校正后靜態(tài)誤差系數(shù)增大了約倍，而主導(dǎo)極點(diǎn)可基本保持不變。由上，可得出遲后校正的根軌跡法步驟：（）畫出未校正開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡；（）根據(jù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的時(shí)域指標(biāo)，確定主導(dǎo)極點(diǎn)Sd，進(jìn)而計(jì)算未校正系統(tǒng)的增益及靜態(tài)誤差系數(shù)Kv ；（）將要求的靜態(tài)誤差系統(tǒng)與未校正系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)進(jìn)行比較；得出遲后校正裝置的值；（）確定校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)。零點(diǎn)的確定方法是：以主導(dǎo)極點(diǎn)Sd為頂點(diǎn)，引線為起起始邊，向左旋轉(zhuǎn)5°-10° ，此邊與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)即為校正裝置的零點(diǎn)-1/ ，由（）中值進(jìn)而確定校正裝置

18、極點(diǎn)-1/。（）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡。若新的主導(dǎo)極點(diǎn)Sd1或靜態(tài)誤差系數(shù)與設(shè)計(jì)要求相關(guān)較大，則宜適當(dāng)調(diào)整或-1/ ，直至滿足要求。需要說(shuō)明的是，上述推導(dǎo)過(guò)程中按Kv 進(jìn)行說(shuō)明，但對(duì)于Kp或Ka結(jié)論相似。例68 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求校正后的系統(tǒng)能滿足下列的性能指標(biāo)：阻尼比=0.5 ；調(diào)整時(shí)間ts=10s；靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv5/s。解：（）繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡如圖23中的虛線所示。（）根據(jù)給定的性能指標(biāo)，確定系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率為據(jù)此，求得希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)（）由根軌跡的幅值條件，確定未校正系統(tǒng)在  處的增益，即根據(jù)  ，求得&#

19、160; ,相應(yīng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為（）基于校正后的系統(tǒng)要求，據(jù)此算出遲后校正裝置的參數(shù)值，即考慮到遲后校正裝置在 點(diǎn)處產(chǎn)生遲后角的影響，所選取的值應(yīng)大于.5，現(xiàn)取。（）由點(diǎn) 作一條與線段  成  角的直線，此直線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)就是校正裝置的零點(diǎn)，由圖23 可知，零點(diǎn)  ，極點(diǎn)為  。這樣，校正裝置的傳遞函數(shù)校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖23中的實(shí)線所示。由該圖可見(jiàn)，若要使 ，則校正后系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置略偏離要求值，即由  點(diǎn)移到 

20、0;點(diǎn)。相應(yīng)的增益 。校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為： 。比較未校正系統(tǒng)和校正后系統(tǒng)的根軌跡可見(jiàn)，校正后系統(tǒng)的 從0.8減到.7，這意味著調(diào)整時(shí)間略有增加。如果對(duì)此不滿意，則可重新選擇希望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置，且使其  值略高于0.8。圖6-236.4.3 遲后超前校正由上兩節(jié)的討論可知，超前校正主要用于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而遲后校正則可以減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。由此設(shè)想，若把這兩種校正結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，必然會(huì)同時(shí)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能，這就是遲后超前校正的基本思路。當(dāng)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)Sd位于未校正系統(tǒng)根軌跡的

21、左方時(shí)，如只用單個(gè)超前網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正，雖然也能使校正后系統(tǒng)的根軌跡通過(guò)Sd點(diǎn)，但無(wú)法使系統(tǒng)在該點(diǎn)具有較大的開(kāi)環(huán)增益，以滿足靜態(tài)性能的需要。對(duì)于這種情況，一般宜采用遲后超前校正。設(shè)遲后超前校正裝置的傳遞函數(shù)為其中Gc1(s)起遲后校正作用，它使系統(tǒng)在Sd處的開(kāi)環(huán)增益有較大幅度的增大，以滿足靜態(tài)性能的需要；Gc2(s)起超前校正作用，利用它所產(chǎn)生的相位超前角c2使根軌跡向左傾斜，并通過(guò)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)Sd，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。用根軌跡法進(jìn)行遲后超前校正的一般步驟為：1）根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，確定希望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)Sd的位置。2）設(shè)計(jì)校正裝置的超前部分Gc2(s)。設(shè)計(jì)時(shí)要兼顧到既使Gc

22、2(s)在Sd處產(chǎn)生的相位超前角c2滿足Sd點(diǎn)的相角條件，又使Gc2(s)極點(diǎn)與零點(diǎn)的比值足夠大，以滿足遲后部分使系統(tǒng)在Sd點(diǎn)的開(kāi)環(huán)增益有較大幅度增大的需要。3）根據(jù)所確定的值，按遲后校正的設(shè)計(jì)方法去設(shè)計(jì)Gc1(s)。4）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡。由根軌跡的幅值條件，計(jì)算系統(tǒng)工作在Sd處的靜態(tài)誤差系數(shù)。如果所求的值小于給定值，則需增大值，應(yīng)從步驟2）開(kāi)始重新設(shè)計(jì)。下面以實(shí)例說(shuō)明這種校正的具體步驟。例69校正前該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求校正后具有下列的性能指標(biāo)：阻尼比  ；無(wú)阻尼自然頻率  ；靜態(tài)速度誤差系數(shù) 。試設(shè)計(jì)一遲后超前校正裝置。解（1）根

23、據(jù)給定的性能指標(biāo)，求出希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為（2）設(shè)計(jì)校正裝置。超前部分 在  處應(yīng)提供的超前角令 的零點(diǎn)  ，以抵消原系統(tǒng)的一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。這樣設(shè)計(jì)不僅使校正后系統(tǒng)的階數(shù)降低，繪制根軌跡方便，而且一般易于實(shí)現(xiàn)希望閉環(huán)極點(diǎn)的主導(dǎo)作用。在圖6-24所示的s平面上，以  點(diǎn)為頂點(diǎn)，點(diǎn)  與-1點(diǎn)的連線為邊，向左作角  ，該角的另一邊與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)  ，這就是所求超前部分的極點(diǎn)。由此可見(jiàn)，  ， 。（3）經(jīng)過(guò)超前部分校正后，系統(tǒng)的傳遞函

24、數(shù)為據(jù)此，作出相應(yīng)的根軌跡，如圖6-24中的實(shí)線所示。根據(jù)根軌跡的幅值條件，求得系統(tǒng)工作在 點(diǎn)時(shí)的增益  ，對(duì)應(yīng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為顯然， 不能滿足給定指標(biāo)的要求，所要增大的倍數(shù)  應(yīng)由遲后部分 來(lái)提供。由此可見(jiàn)，上述確定的=4能滿足將靜態(tài)速度誤差系數(shù)提高3.35倍的要求。（4）設(shè)計(jì)校正裝置的遲后部分 。由點(diǎn)  向左作一條與線段  成  角的直線，此直線與負(fù)實(shí)軸交于  ，這就是所求  的零點(diǎn)，它的極點(diǎn) &#

25、160;。于是求得遲后部分的傳遞數(shù)為經(jīng)遲后超前校正后，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖6-24中的虛線所示。由圖可見(jiàn)，校正后系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到  點(diǎn)，相應(yīng)的增益  ，靜態(tài)速度誤差系數(shù)為圖6-24利用Matlab進(jìn)行串聯(lián)校正設(shè)計(jì)步驟，以例69為例，要求校正后具有下列的性能指標(biāo)：阻尼比 ；無(wú)阻尼自然頻率  ,但對(duì)靜態(tài)誤差系統(tǒng)沒(méi)有要求?？砂慈缦虏襟E進(jìn)行：（） 寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)G，并畫出其根軌跡。G0=tf(1,conv(1,1,1,4),0);Rlocus(G0);hold on;x,y=rloc_asymp(G0

26、);plot(x,y,:)（1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，畫出其等線和等n線，并由圖確定其主導(dǎo)極點(diǎn)。Zet=0.5;wn=2;sgrid(zet,wn)由圖可得到sd=-1±1.732j（2）確定超前裝置的補(bǔ)償角c，利用自編函數(shù)angle_c計(jì)算。Fi_c=angle_c(G0,sd)（3）確定校正器的零極點(diǎn)?？上冗x定校正器的零點(diǎn)zc=-1.2，然后由已知的、n、c計(jì)算極點(diǎn)。Pc=find_pc(wn,zc,theta,fi_c)（4）得到校正裝置Gc,并畫出Gc*G0的根軌跡圖。Hold on; Rlocus(Gc*G0)（5）從圖中交互確定在sd處對(duì)象的K值，并進(jìn)而得出系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)及階躍響應(yīng)。檢驗(yàn)設(shè)計(jì)效果。K,P=rloc_find(Gc*G0)。圖6-25此例完整程序見(jiàn)下面，設(shè)計(jì)效果見(jiàn)圖625。G0=tf(1,conv(1,1,1,4),0)Transfer function:1-s3 + 5 s2 + 4 sRlocus(G0);hold on;x,y=rloc_asymp(G0);plot(x,y,':')zet=0.5;wn=2;sgrid(zet,wn)sd=-1+1.732j;Fi_c=angle_c(G0,sd)Fi_c =60.00