2013年三垂直模型相關(guān)練習(xí)

1、A.5C.653.（2012?邳城縣一模）如圖，已知直線11121314,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上,貝Ucosa=（）2013年三垂直模型相關(guān)練習(xí)一.選擇題（共13小題）1.（2010?雅安）如圖，直線l過等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)B,A、C兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2和3,貝UAB的長是（2.（2007?玉溪）如圖，AE±AB且AE=AB,BC±CD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積，是（）A.2柄B.!1C.11D.221如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直

2、線重合.然后繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，恰好B點(diǎn)在中間的一條直線上，A點(diǎn)在下面的一條直線上.上、中兩平行線間的距離是m,中、下兩平行線間的距離是n,那么n:m等于（）4. AA.店1B.（嫗-1）:1C.（V3+1）:1D.2:必如圖，在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1、3、3.5,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是&、S2、S3、S4,則Si+2S2+2S3+S4=（）如圖，ABC是等腰直角三角形，DE過直角頂點(diǎn)A,/D=/E=90。，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）CD=AE;Z1=Z2;Z3=74;AD=BE.2個(gè)如圖所示，AB±BC,

3、CD±BC,垂足分別為B、C,AB=BC,E為BC的中點(diǎn)，且AE±BD于F,若CD=4cm,則AB的長度為（）（2012?樂山）如圖，在ABC中，/C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論： DFE是等腰直角三角形;四邊形CEDF不可能為正方形;四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化;點(diǎn)C到線段EF的最大距離為如.5. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）（2013?拱墅區(qū)一模）如圖，在ABC中，已知/C=90°,AC=BC=

4、4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：四邊形CEDF有可能成為正方形；DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF的面積是定值；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為由.其中正確的結(jié)論是（）B.在直角三角形ABC中，/C=90°,BC=2,以AB為邊作正方形ABDE，連接AD、BE交O,CO=",則的長為（）ACCB11.兩個(gè)全等含30°、60。角的三角板ADE與三角板ABC按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD,取BD的中點(diǎn)M,分別連接ME、MC,那么

5、ZMEC等于（）A.2B.3C.4D.3213.如圖，正方形ABCD的邊長為25,內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形，小正方形的頂點(diǎn)AB、BC、CD上，則每個(gè)小正方形的邊長為（）12.（2006?荷澤）如圖，D為ABC的AB邊上的一點(diǎn)，/DCA=/B，若AC=/&cm,AB=3cm，貝UAD的長為（E、F、G、H分別落在邊AD、14. AFBA.6B.5C.2VTD.734二.填空題（共4小題）（2012?綏化）如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過正方形的頂點(diǎn)B、D作BF±a于點(diǎn)F,DE±a于點(diǎn)E,若DE=8,BF=5，則EF的長為.15. （2010?攀枝花）如

6、圖所示，在ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90。，直角/EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE,PF分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,給出以下四個(gè)結(jié)論：BE=AF,SnPF的最小值為tanZPEF=41,23S四邊形AEPF=1,當(dāng)ZEPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A,B重合），上述結(jié)論始終正確是（2013?昆都侖區(qū)一模）如圖所示，在ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A,C重合），且保持AE=CF，連接DE,DF,EF.在此運(yùn)動(dòng)變化過程中，有下列結(jié)論：DEF是等腰直角三角形四邊形CEDF不可能為正方形四邊形CEDF

7、的面積隨點(diǎn)E位頊J改變而發(fā)生變化點(diǎn)C到線段EF的最大距離為血其中正確的有（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號(hào)）如圖，RtABC中，AC=BC,ZACB=90°,CF交AB于E,BD±CF,AF±CF,DF=5,AF=3,則CF=A三.解答題（共6小題）（2013?東營）（1）如圖（1），已知：在ABC中，/BAC=90°,AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD上直線m,證明：DE=BD+CE.（2）如圖（2）,將（1）/BDA=/AEC=/BAC=若不成立，請說明理由.（3）拓展與應(yīng)用：如圖（CEL直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.16. 中的條件改為：在ABC中，AB=

8、AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明;3）,D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為/BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接DEF的形狀.BD、CE,若ZBDA=ZAEC=ZBAC,試判斷（02）（2005?揚(yáng)州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評(píng)分.）在ABC中，ZACB=90°,AC=BC，直線MN

9、經(jīng)過點(diǎn)C,且AD±MN于D,BE±MN于E.（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB;DE=AD+BE;（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE;（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.m圖2圈3注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題.20.（2002?崇文區(qū)）已知：如圖，在RtABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且ED±FD.求證:S四邊形edfc=4s2ABC-21.(2000?河南

10、)如圖，在等腰RtABC中，/C=90°,D是斜邊AB上任一點(diǎn)，AE±CD于E,BF±CD交CD的延長線于F,CH±AB于H,交AE于G,求證：BD=CG.22.如圖，已知在CDE中，/DCE=90°,CD=CE,直線AB經(jīng)過點(diǎn)C,DA±AB,EB±AB,垂足分別為A、B,試說明AC=BE的理由.解：因?yàn)镈A±AB,EB±AB(已知)所以/a=/()因?yàn)閆DCA=ZA+ZADC()即/DCE+/RCB=/A+/ADC.又因?yàn)?DCE=90°,所以/=/ECB.在ADC和ECB中，rZA=ZB(已

11、證)，(已證)(已證)所以ADCAECB()所以AC=BE()23.在ABC中，ZACB=90°,AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD±MN于D,BE±MN于E,當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，寫出DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，寫出DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由；當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，問DE、AD、BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由;2013年三垂直模型相關(guān)練習(xí)參考答案與試題解析一.選擇題（共13小題）1.（2010?雅安）如圖，直線l過等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)B,A、C兩點(diǎn)到直線

12、l的距離分別是2和3,貝UAB的長是（）A.5B.C.D.解：如圖所示：ABC為等腰直角三角形，AB=BC,/ABC=90°,ABD+ZCBE=90°,又AD±BD,.ADB=90°,DAB+ZABD=90°,.ZCBE=/DAB,在ABD和BCE中，'ZADB-ZBEC-90"-ZDAB=ZCBE二BC.ABDBCE,BD=CE，又CE=3,BD=3,在RtABD中，故選DC3T考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.專題：計(jì)算題；壓軸題.分析：由三角形ABC為等腰直角三角形，可得出AB=BC,ZABC為直角

13、，可得出/ABD與ZEBC互余，在直角三角形ABD中，由兩銳角互余，利用等角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，及AB=BC,利用AAS可得出三角形ABD與三角形BEC全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出BD=CE,由CE=3得出BD=3，在直角三角形ABD中，由AD=2,BD=3,利用勾股定理即可求出AB的長.解答：根據(jù)勾股定理得:點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.2.（2007?玉溪）如圖，成的圖形的面積S是（AE±AB且AE=AB,BC±CD且BC=

14、CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：h軸題.1分析：由AE±AB,EF±FH,BG±AG,可以得到/EAF=/ABG，而AE=AB,ZEFA=/AGB,由此可以證明AEFAAABG，所以AF=BG,AG=EF;同理證得BGCADHC,GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,然后利用面積的割補(bǔ)法和面積公式即可求出圖形的面積.解答：解：AE±AB且AE=AB,EF±FH,BG±FH?ZEAB=ZEFA=ZBGA=90°,ZEAF+ZBAG=90

15、°,ZABG+ZBAG=90°?ZEAF=ZABG,AE=AB，匕EFA=ZAGB,ZEAF=ZABG?EFAAABGAF=BG,AG=EF.同理證得BGCDHC得GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=【（6+4）刈63>4-6X3=50.2故選A.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是全等三角形的判定的相關(guān)知識(shí).作輔助線是本題的關(guān)鍵.3.（2012?邳城縣一模）如圖，已知直線l1l2l3l4,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上,貝Ucosa=（）A-B.!，C.!D_!51|考點(diǎn)："等三角形

16、的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義.I分析：過點(diǎn)D作DE±11于點(diǎn)E并反向延長交14于點(diǎn)F,根據(jù)問角的余角相等求出Z芹/CDF,根據(jù)正方形的每條邊都相等可得AD=DC，然后利用AAS”證明ADE和DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=AE,再利用勾股定理列式求出AD的長度，然后根據(jù)銳角的余弦值等于鄰邊比斜邊列式計(jì)算即可得解.解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DE±1i于點(diǎn)E并反向延長交于點(diǎn)F,在正方形ABCD中，AD=DC,ZADC=90°,.Z計(jì)/ADE=90°,ZADE+/CDF=180-90=90°,./of/CDF,rZCt=ZC

17、DF在ADE和dcf中，N整D二/DFC=9O'，lad=dc.ADEADCF（AAS）,DF=AE,.相鄰兩條平行直線間的距離都是1,DE=1,AE=2,根據(jù)勾股定理得，AD=卜=''""=、；'.二,所以，cosa=也=翌=蘭匹.ADV55點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的定義，作輔助線，構(gòu)造出全等三角形以及Za所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.4.如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直線重合.然后繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，恰好B點(diǎn)在中間的一條直線上，A點(diǎn)在下面的一

18、條直線上.上、中兩平行線間的距離是m,中、下兩平行線間的距離是n,那么n:m等于（）CA.啊1B.|（處-1）：1C.|（如+1）:1D.2:V3考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；解直角三角形.專題：計(jì)算題.分析：過A作AD±CE,交CE于點(diǎn)D，過B作BE±CE,交DC于點(diǎn)E,可得出一對直角相等，再由三角形ABC為等腰直角三角形，得到AC=BC,ZACB=90°,利用平角的定義得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ADC與三角形CEB全等，由全等三角形的性質(zhì)得到CE=AD,而AD=m+n,可得出CE=m+n,在直角三角形

19、CBE中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BC=2m,利用勾股定理列出m與n的關(guān)系式，整理后即可求出n:m的值.解答：解：過A作AD±CE,交CE于點(diǎn)D,過B作BE±CE,交DC于點(diǎn)E,.ZADC=/CEB=90°,又ABC為等腰直角三角形，.ZACB=90°,AC=BC,ACD+ZBCE=90，又ZBCE=30°,ZACD=/EBC=60°,在ACD和CBE中，rZADC=ZCEB=90°lAC=CB.ACDACBE(AAS),AD=CE=m+n,又.在RtBEC中，ZBCE=30°,BE=m

20、,CB=2EB=2m,利用勾股定理得：BC2=CE2+BE2,即(2m)2=(m+n)2+m2,整理得：n2+2mn-2m2=0,方程兩邊同時(shí)除以m2,得(，2+2?(旦-2=0,ITIT解得：冬灰-1或1=-&T(舍去)，rrit則n：m=(赤-1):1.故選BA點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及解直角三角形，熟練掌握5.如圖，在直線方形的面積依次是L上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為&、S2、S3、S4,則Si+2S2+2S3+S4=()全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.1、3、3.5,正放置的四個(gè)正

21、考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).專題：計(jì)算題.分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到ZABD=90°,AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到ZCAB=/DBE,則可根據(jù)AAS”判斷ABCBDE,于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2,代換后有DE2+AC2=BD2,根據(jù)正方形的面積公式得到Si=AC2,S2=DE2,BD2=1,所以S1+S2=1,利用同樣方法可得到S2+S3=3,S3+S4=3.5,通過計(jì)算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5.解答：解：如圖，.圖中的四邊形為正方形,ZABD=90°,AB=DB,ABC+

22、ZDBE=90°,/ABC+ZCAB=90°,.ZCAB=/DBE,.在ABC和BDE中，rZACB=ZBED-ZCAB=ZEBD,二BD.ABCABDE(AAS),AC=BE,de2+be2=bd2,de2+ac2=bd2,22Si=AC,S2=DE,BD=1,Si+S2=1,同理可得S2+S3=3,S3+S4=3.5,-Si+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5.故選A.CBE點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有Sss”、Sas”、Asa”、Aas”；全等三角形的對應(yīng)邊相等.也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì).6.如圖，ABC是等腰直角三角

23、形，DE過直角頂點(diǎn)A,/D=/E=90。，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()CD=AE;Z1=Z2;Z3=74;AD=BE.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：推理填空題.分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出Z2=/3,然后利用AAS證明ABE和CAD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等即可對各小題進(jìn)行判斷.解答：解：.D=90°,./1+Z3=90°,ABC是等腰直角三角形，A為直角頂點(diǎn)，./1+Z2=180°-90=90°,AB=AC,.Z2=/3,在ABE和CAD中，rZ2=Z3-ZD=ZE=90",推二AC.ABECA

24、D(AAS),CD=AE,AD=BE,Z1=Z4,故小題正確，小題錯(cuò)誤，小題錯(cuò)誤，小題正確，所以結(jié)論正確的有共2個(gè).故選B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形直角邊相等的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/2=/3是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是解題的突破口.7AB±BC,CD±BCB、C,AB=BC,EBCAE±BDFCD=4cm,則AB的長度為（）A.4cmB.8cmC.9cmD.10cm考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：運(yùn)用等角的余角相等，得出ZA=/BFE，從而得到，ABEABCD，易求.解答：解：AB±BC,CD±BC,

25、.ZABC=/ACD=90°AEB+ZA=90°.AE±BD.ZBFE=90°AEB+ZFBE=90°./A=ZBFE,又.AB=BC,.ABEBCD,BE=CD=4cm,AB=BC-E為BC的中點(diǎn)AB=BC=2BE=8cm.故選B.點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了等角的余角相等，三角形全等的判定，性質(zhì)等知識(shí).需注意當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上垂直時(shí)，一般要從中找到一對相等的角.8. （2012?樂山）如圖，在ABC中，/C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、

26、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論： DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化;點(diǎn)C到線段EF的最大距離為血.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）CADBA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：壓軸題.分析：作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證CDF和ADE全等，從而可證/EDF=90°,DE=DF.所以DFE是等腰直角三角形；當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形；由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積保持不變；一DEF是等腰直角三角形，桓DE=EF,當(dāng)DF與BC垂直，即DF最

27、小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2也，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離.解答：解：連接CD;ABC是等腰直角三角形，.ZDCB=/A=45°,CD=AD=DB;.AE=CF,.ADEACDF;ED=DF,/CDF=/EDA;.ZADE+ZEDC=90°,.ZEDC+/CDF=/EDF=90°,DFE是等腰直角三角形.故此選項(xiàng)正確；當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖2所示，分別過點(diǎn)D,作DM±AC,DN±BC,于點(diǎn)M,N,可以利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；DEF是等腰

28、直角三角形，V2DE=EF,當(dāng)EF/AB時(shí)，.AE=CF,E,F分別是AC,BC的中點(diǎn)，故EF是ABC的中位線，EF取最小值22+22=2如，,CE=CF=2,此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為EF=J.故此選項(xiàng)正2確；故正確的有2個(gè),故選：B.ADB£1點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵.9. （2013?拱墅區(qū)一模）如圖，在ABC中，已知/C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持A

29、E=CF，連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：四邊形CEDF有可能成為正方形；DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF的面積是定值；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為勺位.其中正確的結(jié)論是（）C.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析：當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形； 作常規(guī)輔助線連接CD,由SAS定理可證CDF和ADE全等，從而可證/EDF=90°,DE=DF.所以D是等腰直角三角形；由ADECDF,就有SAADe=SaCDF，再通過等量代換就可以求出結(jié)論； DEF是等腰直角三角形，姬DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最

30、小值歡，此時(shí)點(diǎn)至爆段EF的最大距離.連接CD;ABC是等腰直角三角形，.ZDCB=/A=45°,CD=AD=DB;.在ADE和CDF中，加二CF-ZA=ZDCFlad=cdADEACDF(SAS);ED=DF,/CDF=/EDA;.ZADE+ZEDC=90°,.ZEDC+/CDF=/EDF=90°,DFE是等腰直角三角形.故此選項(xiàng)正確；.ADECDF,SAADE=SaCDF-S四邊形cedf=Saced+SaCFD，S四邊形cedf=Saced+Saaed,S四邊形CEDF=Saadc-,SAADC-SaABC=4.四邊形CEDF的面積是定值4,故本選項(xiàng)正確;DE

31、F是等腰直角三角形，V2DE=EF,當(dāng)EF/AB時(shí)，.AE=CF,EF是ABC的中位線,E,F分別是AC,BC的中點(diǎn)，故EF取最小值=.誨商=2框,.CE=CF=2,此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為«EF=扼.故此選項(xiàng)正確.2CO2,則AC點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵.在直角三角形ABC中，/C=90°,BC=2,以AB為邊作正方形ABDE，連接AD、BE交O,的長為（）C.4考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定與性質(zhì).專題：數(shù)

32、形結(jié)合.分析：延長CB過點(diǎn)D作CB延長線的垂線，交點(diǎn)為F,過點(diǎn)O作OM±CF,先證明RTACB絲RTBFD,然后分別表示出OM、CM的長度，在RTAOCM中利用勾股定理可得出答案.解答：解：延長CB過點(diǎn)D作CB延長線的垂線，交點(diǎn)為F,過點(diǎn)O作OM±CF,則可得OM是梯形ACFD的中位線，/ABC+/FBD=/CAB+/ABC=90°,.ZCAB=/FBD,在RTAACB和RTBFD中，rAB=BD'ZCAB=ZFBD,lZACB=ZBFDRTACB絲RTBFD,AC=BF,BC=DF,設(shè)AC=x，貝UOM=QDF=jjCM=t?,2222在RTAOCM中，

33、OM2+CM2=OC2,即2（嘩）2=18,2解得：x=4，即AC的長度為4.故選C.點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，難度較大.10. 兩個(gè)全等含30°、60。角的三角板ADE與三角板ABC按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD,取BD的中點(diǎn)M,分別連接ME、MC,那么ZMEC等于（）:全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；梯形中位線定理.計(jì)算題.連結(jié)AM，利用三角形ADE與三角形ABC是兩個(gè)全等含30°、60°角的三角板得到/2=/3=60

34、6;,AD=AB,/EAD=30°,DE=AC，易得DAB為等腰直角三角形，貝UAM±BD,/1=45°,/4=45°,則/EDM=/CAM=45°+60°=105°,由M點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，AM=DM=BM，于是可根據(jù)SAS”判斷DEMAACM,所以ME=MC,Z6=Z5,由于ZAMD=90°,即Z6+ZEMA=90°,得到Z5+ZEMA=90即ZEMC=90。，可判斷MEC為等腰直角三角形，根據(jù)等呀派珠槿艷三角形的性質(zhì)即可得到ZMEC=45解：連結(jié)AM,如圖，.三角形ADE與三角形ABC是兩個(gè)全等含30&

35、#176;、60°角的三角板，.Z2=/3=60°,AD=AB,/EAD=30°,DE=AC,DAB=90°,DAB為等腰直角三角形，AM±BD,Z1=45°,Z4=45°,.ZEDM=ZCAM=45°+60=105°M點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，AM=DM=BM,在DEM和ACM中fDE=AC-ZEDM=ZCAM,DM二AM.DEMAACM(SAS),ME=MC,Z6=Z5,.ZAMD=90，即Z6+ZEMA=90°,./5+ZEMA=90，即ZEMC=90°,MEC為等腰直角三角形，MEC=4

36、5°.故選C.SSS”、Sas”、Asa”、Aas”；全等三本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有角形的對應(yīng)邊相等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).11. (2006?荷澤)如圖，D為ABC的AB邊上的一點(diǎn)，/DCA=/B，若AC=&cm,AB=3cm，貝UAD的長為()考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).1分析：先判斷ADC與ACB相似，再利用相似二角形對應(yīng)邊成比例求解即可.解答：解：A=/A,ZDCA=/B,.ADCAACB,AD:AC=AC:AB,AC=Vcm,AB=3cm,AD:妤膜:3,解得AD=2cm.故選C.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì).E

37、、F、G、H分別落在邊AD、如圖，正方形ABCD的邊長為25,內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形，小正方形的頂點(diǎn)A.6AB、BC、CD上，則每個(gè)小正方形的邊長為（）C.2V?考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：如圖，過點(diǎn)G作GP±AD,垂足為P,可以得到BGFsPGE,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列式求解即可得到DE和BG，根據(jù)勾股定理可求EG的長，進(jìn)而求出每個(gè)小正方形的邊長.解答：解：如圖所示：正方形ABCD邊長為25,.ZA=/B=90°,AB=25,過點(diǎn)G作GP±AD,垂足為P,則Z4=75=90°,四邊形APGB是

38、矩形，./2+Z3=90°,PG=AB=10,六個(gè)大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中，./1+Z2=90°,./1=ZFGB,.BGFAPGE,.因逃PGF'里呈25飛-GB=5.AP=5.同理DE=5.PE=AD-AP-DE=15,EG=J15+252=5構(gòu)，小正方形的邊長為V34故選D.£G點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和勾股定理，綜合性較強(qiáng)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.12. 二.填空題（共4小題）（2012?綏化）如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過正方形的頂點(diǎn)B、D作BF±

39、a于點(diǎn)F,DE±a于點(diǎn)E,若DE=8,BF=5，則EF的長為13.BC考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形兩個(gè)銳角互余以及等量代換可以證得AFBAED;然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等推知AF=DE、BF=AE,所以EF=AF+AE=13.解答：解：ABCD是正方形（已知），AB=AD,/ABC=/BAD=90°又.ZFAB+ZFBA=ZFAB+ZEAD=90°,ZFBA=/EAD（等量代換）；BF±a于點(diǎn)F,DE±a于點(diǎn)E,.在RtAFB和RtAED中，fZAFB=ZDEA=90°

40、'ZFBA=ZEAD,tAB=DA.AFBAAED（AAS）,AF=DE=8,BF=AE=5（全等三角形的對應(yīng)邊相等）EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.故答案為：13.此題就是將EF的長度轉(zhuǎn)化為與已知長度的線段點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定、正方形的性質(zhì).實(shí)際上,DE和BF數(shù)量關(guān)系.（2010?攀枝花）如圖所示，在ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90。，直角/EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE,PF分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,給出以下四個(gè)結(jié)論：BE=AF,SnPF的最小值為1,tanZPEF=1,23S四邊形AEPF=1,當(dāng)ZEPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A

41、,B重合），上述結(jié)論始終正確是考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.專題：綜合題；壓軸題.分析：根據(jù)全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，對題中選項(xiàng)一一證明，得出正確結(jié)果.解答：解：連接PA.AB=AC,ZBAC=90°,P是BC的中點(diǎn)，PA=PC,/APC=90°,/PAE=/PCF=45°,.ZFPE=ZAPC=90°,ZCPF=ZAPE.PA=PC,/PAE=/PCF,.CFPAAEP.AE=CF.AB-AE=AC-CF,BE=AF，故始終正確；.CFPAAEP,PE=PF.ZEPF=90°,EPF為等腰直角三

42、角形.ZPEF=45°.tanZPEF=1,故錯(cuò)誤；.PA=BP,ZB=ZPAF,BE=AF,.EBPAPAF.SAEBP+SaAEP+SPAF+SaCFP=SaABC，SAAEP+SAPAF=S四邊形AEPF-S四邊形aepfSaABc=4（2>2-2）=1,故正確；SAEPF的最小值為岑，故正確；.EP+BE>BP,BP=AP=CP,BP>EP.以P點(diǎn)為圓心，EP為半徑的圓不會(huì)與A、B、C三點(diǎn)相交，即點(diǎn)E不會(huì)與A、B重合.故正確.故選.點(diǎn)評(píng)：本題把全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合求解.綜合性強(qiáng)，難度較大.考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.13. （2013?

43、昆都侖區(qū)一模）如圖所示，在ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A,C重合），且保持AE=CF，連接DE,DF,EF.在此運(yùn)動(dòng)變化過程中，有下列結(jié)論：DEF是等腰直角三角形四邊形CEDF不可能為正方形四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化點(diǎn)C到線段EF的最大距離為血其中正確的有（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號(hào)）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的判定. 分析：作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證CDF和ADE全等，從而可證/EDF=90°,DE=DF.所以DFE是等腰直角三角形；當(dāng)E為A

44、C中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形；由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積保持不變； DEF是等腰直角三角形，J§DE=EF,當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2、巾，此時(shí)點(diǎn)C至爆段EF的最大距離.解答：解：連接CD;ABC是等腰直角三角形，.ZDCB=/A=45°,CD=AD=DB;.AE=CF,.ADEACDF;ED=DF,/CDF=/EDA;.ZADE+ZEDC=90°,.ZEDC+/CDF=/EDF=90°,DFE是等腰直角三角形.故此選項(xiàng)正確；當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖2所示，分別

45、過點(diǎn)D,作DM±AC,DN±BC,于點(diǎn)M,N,可以利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；DEF是等腰直角三角形，寸如E=EF,當(dāng)EF/AB時(shí)，.AE=CF,E,F分別是AC,BC的中點(diǎn)，故EF是ABC的中位線，EF取最小值無瓦"=2桓，.CE=CF=2,此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為*EF=V3.故此選項(xiàng)正確；故正確的有.故答案為：IDS國2點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵.如圖，RtA

46、BC中，AC=BC,ZACB=90°,CF交AB于E,BD±CF,AF±CF,DF=5,AF=3，貝UCF=8考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得AFCCDB，然后由全等三角形的對應(yīng)邊CD=AF,從而求得CF=AF+DF=5+3=8.解答：解：.BD±CF,ZACB=90°,AF±CF,.ZDCB+/DBC=/DCB+/ACF=90°,.ZDBC=/ACF;ZCAF=/BCD（等角的余角相等）；在AFC和CDB中，rZCAF=ZBCD-AC二BC（已知）,lNACF二NDBC.AFCACDB

47、（ASA）,CD=AF=3,CF=CD+DF=3+5=8.故答案是：8.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.14. 三.解答題（共6小題）（2013?東營）（1）如圖（1），已知：在ABC中，/BAC=90°,AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD上直線m,CEL直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明：DE=BD+CE.（2）如圖（2）,將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線

48、m上，并且有/BDA=/AEC=/BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3）,D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為/BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若ZBDA=/AEC=/BAC，試判斷DEF的形狀.(®2)(圖1)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定.專題：壓軸題.(2) 分析：(1)根據(jù)BDL直線m,CEL直線m得ZBDA=/CEA=90。，而ZBAC=90°,根據(jù)等角的余角相等得ZC

49、AE=ZABD，然后根據(jù)AAS”可判斷ADBCEA,貝UAE=BD,AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE;與(1)的證明方法一樣；與前面的結(jié)論得到ADBCEA，則BD=AE,/DBA=/CAE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得ZABF=ZCAF=60。，則/DBA+ZABF=ZCAE+ZCAF，則ZDBF=ZFAE,利用SAS”可判斷DBFEAF，所以DF=EF,ZBFD=/AFE,于是/DFE=/DFA+/AFE=/DFA+/BFD=60。，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到DEF為等邊三角形.解答：證明：(1).BDL直線m,CEL直線m,.ZBDA=/CEA=90°,/BAC=90&

50、#176;,BAD+ZCAE=90°,.ZBAD+ZABD=90°,CAE=ZABD,.在ADB和CEA中NABD叱CAE'ZBDA=ZCEA,.AB二AC.ADBCEA(AAS),AE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE;.ZBDA=ZBAC=a,DBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180-a,CAE=ZABD,.在ADB和CEA中rZABD=ZCAE'ZBDA=ZCEA,lab=acADBCEA(AAS),AE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE;由(2)知，ADBCEA,BD=AE,/DBA=/CAE,ABF和ACF均為等邊三

51、角形，ABF=ZCAF=60°,DBA+ZABF=ZCAE+ZCAF,./DBF=/FAE,.BF=AF在DBF和EAF中rFB=FAZFDD=ZFAE，Ibd=aeDBFAEAF(sa，DF=EF,ZBFD=ZAFE,DFE=ZDFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60°,DEF為等邊三角形.SSS”、Sas”、Asa”、Aas”；全等三點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有角形的對應(yīng)邊相等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì).15. (2005?揚(yáng)州)(本題有3小題，第(1)小題為必答題，滿分5分；第(2)、(3)小題為選答題，其中，第(2)小題滿分

52、3分，第(3)小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第(2)小題評(píng)分.)在ABC中，ZACB=90°,AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD±MN于D,BE±MN于E.(1) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB;DE=AD+BE;(2) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE;(3) 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.Hl圖2圖3注意：第(2)、(3)小題你選答的是第2小題.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題；壓軸題；探究型.分析:(

53、1) 根據(jù)已知可利用(2) 根據(jù)已知可利用(3) 根據(jù)已知可利用AAS證明ADCCEB，由此可證DE=AD+BE;AAS證明ADCACEB，由此可證DE=AD-BE;AAS證明ADCACEB，由此可證DE=BE-AD.解答：解：(1)ADC=/ACB=/BEC=90°,.ZCAD+/ACD=90°,/BCE+/CBE=90°,/ACD+/BCE=90°,.ZCAD=/BCE.AC=BC,.ADCACEB.ADCCEB,CE=AD,CD=BE.DE=CE+CD=AD+BE.(2).ZADC=/CEB=/ACB=90°,.ZACD=/CBE.又.A

54、C=BC,.ACDACBE.CE=AD,CD=BE.DE=CE-CD=AD-BE.(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等)./ADC=/CEB=/ACB=90°,.ZACD=/CBE,又.AC=BC,.ACDACBE,AD=CE,CD=BE,DE=CD-CE=BE-AD.點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA,無法證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出結(jié)論.(2002?崇文區(qū))已知：如圖，在RtABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且ED±FD.求證：S四邊形EDFCSaABC-2考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：證明題.分析：連接CD,由等腰直角三角形的性質(zhì)用ASA證得CFDAED,CEDBFD即可.解答：證明：連接CD,ABC是等腰直角三角形，D是AB的中點(diǎn)，CD=AD=BD,ZA=/B=/ACD=/BCD=45°,CD±AB./CDF+/CDE=/CDE+/EDA=90°,.ZCDF=ADE.CDFAADE.同理CEDABFD,SACDF=SaADE