Chap22連續(xù)隨機(jī)變量

1、 第二章 第第3 3節(jié)節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿(mǎn)所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間, 對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量, 不能不能象離散型隨機(jī)變量那樣象離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每以指定它取每個(gè)值概率的方式去給出其概率分布個(gè)值概率的方式去給出其概率分布, 而而是通過(guò)給出所謂是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方的方式式. 下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法的描述方法.例例1：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過(guò)程中各某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過(guò)程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長(zhǎng)度不盡相同。

2、現(xiàn)測(cè)種隨機(jī)因素的影響，零件長(zhǎng)度不盡相同?，F(xiàn)測(cè)得該廠生產(chǎn)的得該廠生產(chǎn)的100個(gè)零件長(zhǎng)度個(gè)零件長(zhǎng)度(單位單位: mm)如下如下:2.3.1 頻率直方圖頻率直方圖129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148

3、, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。1

4、28155作頻率直方圖的步作頻率直方圖的步驟驟(1). 先確定作圖區(qū)間先確定作圖區(qū)間 a, b ;a = 最小數(shù)據(jù)最小數(shù)據(jù)- -/ 2，b = 最大數(shù)據(jù)最大數(shù)據(jù)+/ 2， 是數(shù)據(jù)的精度。是數(shù)據(jù)的精度。本例中本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2). 確定數(shù)據(jù)分組數(shù)確定數(shù)據(jù)分組數(shù) m = 1.87(n1)2/5 + 1， 組距組距 d = (b a) / m， 子區(qū)間端點(diǎn)子區(qū)間端點(diǎn) ti = a + i d, i = 0, 1, , m；(3). 計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測(cè)值頻數(shù)計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測(cè)值頻數(shù) ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, ,

5、n， 頻率頻率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；子區(qū)間子區(qū)間頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率127.5, 131.5)127.5, 131.5)6 60.060.06131.5, 135.5)131.5, 135.5)12120.120.12135.5, 139.5)135.5, 139.5)24240.240.24139.5, 143.5)139.5, 143.5)28280.280.28143.5, 147.5)143.5, 147.5)18180.180.18147.5, 151.5)147.5, 151.5)8 80.080.08151.5, 155.5)151.5, 155.5

6、)4 40.040.04(4). (4). 以小區(qū)間以小區(qū)間 ti-1，ti 為底，為底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 為高作一系列小矩形，組成了頻為高作一系列小矩形，組成了頻 率直方圖，簡(jiǎn)稱(chēng)直方圖。率直方圖，簡(jiǎn)稱(chēng)直方圖。 由于概率可以由頻率近似，由于概率可以由頻率近似， 因此這個(gè)直因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫(huà)零件長(zhǎng)度的概率分布情況。方圖可近似地刻畫(huà)零件長(zhǎng)度的概率分布情況。 用上述直方圖刻畫(huà)隨機(jī)變量用上述直方圖刻畫(huà)隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增

7、加觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù), 同同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來(lái)越多時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來(lái)越多, 分分組越來(lái)越細(xì)時(shí)組越來(lái)越細(xì)時(shí), 直方圖的上方外形輪廓就越來(lái)直方圖的上方外形輪廓就越來(lái)越接近于某一條曲線越接近于某一條曲線, 這條曲線稱(chēng)為這條曲線稱(chēng)為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度曲線的概率密度曲線，可用來(lái)準(zhǔn)確地刻畫(huà)可用來(lái)準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概的概率分布情況。率分布情況。badxxfbXaP)()(,使得對(duì)任意使得對(duì)任意 , 有有ba ),( 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量 X ,如果存在非負(fù)可積函數(shù)如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x) , x 則稱(chēng)則稱(chēng) X為連續(xù)型為連續(xù)型r.v.,稱(chēng)稱(chēng) f(x)為為 X 的概率密度函

8、的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度.(II) 連續(xù)型連續(xù)型r.v.及其概率密度函數(shù)的定義及其概率密度函數(shù)的定義(III) 概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì)1 o0)(xf2 o1)(dxxf這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r.vX的的概率密度函數(shù)的充要條件概率密度函數(shù)的充要條件. f (x)xo面積為面積為1連續(xù)型連續(xù)型r.v取取任一任一指定值的概率為指定值的概率為0.即：即：, 0)( aXPa為任一指定值為任一指定值)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00需要指出的是需要指出的是:由此得由此得，)()

9、(bXaPbXaP)(bXaP對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v X,有有)(bXaP例例1 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 其他,),(,)(021210 xxAxAxxf求常數(shù)求常數(shù)A解：由解：由可得1d xxf)(1d0d2dd0221100 xxxAxAxx)(111421221 AAAA得即)(IV)連續(xù)型連續(xù)型 r.v.的分布函數(shù)的分布函數(shù)即連續(xù)型即連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限的的分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限的定積分，由高數(shù)我們知道，變上限的定積分所定積分，由高數(shù)我們知道，變上限的定積分所確定的函數(shù)連續(xù)，即確定的函數(shù)連續(xù)，即連續(xù)型連續(xù)型r.v.

10、的分布函數(shù)連續(xù)，的分布函數(shù)連續(xù)，但注意其概率密度函數(shù)不一定連續(xù)但注意其概率密度函數(shù)不一定連續(xù)若若 X 是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.， X f (x) , 則則 F(x) = P(X x) = xdttf)(由上式可得，由上式可得，在在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)，)()(xfdxxdF的不連續(xù)點(diǎn)處即不存在時(shí)當(dāng)?shù)倪B續(xù)點(diǎn)處即存在時(shí)當(dāng))(,)(, 0)(,)(),()(xfxFxfxFxFxf下面我們來(lái)求一個(gè)連續(xù)型下面我們來(lái)求一個(gè)連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例2 設(shè)設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x)其它0,0,2sin21)(xxxf求求 F(x).F(x) = P(X x)

11、 = xdttf)(解：解：求求 F(x).解：解： 對(duì)對(duì)x 0，F(xiàn)(x) = 0 xdttdtxF002sin210)(2cos1x,0 x對(duì)對(duì)對(duì)對(duì) x ， F (x) = 1其它, 00,2sin21)(xxxfxxxxxF, 10,2cos10, 0)(即即xdttfxF)()(大家一起來(lái)作下面的練習(xí)大家一起來(lái)作下面的練習(xí).求求 F(x).其它, 021,210,)(xxxxxfX例例3 設(shè)設(shè)由于由于f(x)是分段是分段表達(dá)的，求表達(dá)的，求F(x)時(shí)時(shí)注意分段求注意分段求.xdttfxF)()(=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2 xF(x) 其它,)(0

12、21210 xxxxxfX對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型r.v，若已知，若已知F(x)，我們通過(guò)求導(dǎo)我們通過(guò)求導(dǎo)也可求出也可求出 f (x)，請(qǐng)看下例請(qǐng)看下例.2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF即即?).( 51XP 其它,)(021210 xxxxxf12508750151151151.).().().( FXPXP 225151d0 )d2( d51xx-xxxfXP.)().(1110002xxxxxF,)(例例4 設(shè)設(shè)r.v X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為(1) 求求X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 (0.3,0.7)的概率；的概率； (2) 求求X的概率密度的概率密度.解解: (1)

13、 P(0.3X0，則稱(chēng)則稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. (Normal) 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. .(2) 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線稱(chēng)的鐘形曲線. .特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭低，中間高，左右對(duì)稱(chēng)兩頭低，中間高，左右對(duì)稱(chēng)”. .故故f(x)以以為對(duì)稱(chēng)軸，并在為對(duì)稱(chēng)軸，并在x=處達(dá)到最大處達(dá)到最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x

14、=- -c (c0), 分別代入分別代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()21)(f這說(shuō)明曲線這說(shuō)明曲線 f(x)向左右伸展時(shí)，越來(lái)越向左右伸展時(shí)，越來(lái)越貼近貼近x軸。即軸。即f (x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。 xexfx,)()(22221 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0, ,下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫(huà)出的頻率直方圖。數(shù)據(jù)畫(huà)出的頻率直方圖。紅線紅線是擬是擬合的正態(tài)合的正態(tài)密度曲線密度曲線可見(jiàn)，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)可見(jiàn)，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布

15、。 除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^(guò)的年降雨量和除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^(guò)的年降雨量和身高外身高外, ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布等，都服從或近似服從正態(tài)分布. .(3)(3)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1, 0的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .xexx,21)(22)(x dtexxt2221)(記記其密

16、度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x5 . 0)0(（4 4）、正態(tài)分布表）、正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt 2221 )(表中給的是表中給的是x0時(shí)時(shí), (x)的值的值.當(dāng)當(dāng)-x175的概率為P X175=1751XP)65. 0(1)69. 7170175(1=0.2578解解: (2) : (2) 設(shè)車(chē)門(mén)高度為設(shè)車(chē)門(mén)高度為h cm, ,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來(lái)求滿(mǎn)足上式的最小的下面我們來(lái)求滿(mǎn)足上式的最小的 h. .（2 2）公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按成年）公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按成年男性與車(chē)門(mén)

17、頂頭碰頭機(jī)會(huì)在男性與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下以下來(lái)設(shè)計(jì)的，問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定來(lái)設(shè)計(jì)的，問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定? ?因?yàn)橐驗(yàn)閄N( (170,7.,7.692),),) 1 , 0(69. 7170NX )69. 7170(h故故 P(X0.9969. 7170h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17.92 188設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為188厘米時(shí)，可使厘米時(shí)，可使男子與車(chē)門(mén)碰頭男子與車(chē)門(mén)碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01. .P(X h ) 0.99求滿(mǎn)足求滿(mǎn)足的最小的的最小的h .由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，這說(shuō)明，Y的取值幾乎

18、全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性?xún)H占不到內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性?xún)H占不到0.3%. .當(dāng)當(dāng)YN(0,1)(0,1)時(shí)，時(shí)，P(|Y| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|Y| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|Y| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974（VIVI）、）、3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, , ),(2NX時(shí)，時(shí)，6826. 0)|(|XP9544. 0)2|(|XP9974. 0)3|(|XP可以認(rèn)為，可以認(rèn)為，X 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). . 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)作這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)