Chap22連續(xù)隨機(jī)變量

1、 第二章 第第3 3節(jié)節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿所有可能取值充滿一個區(qū)間一個區(qū)間, 對這種類型的隨機(jī)變量對這種類型的隨機(jī)變量, 不能不能象離散型隨機(jī)變量那樣象離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每以指定它取每個值概率的方式去給出其概率分布個值概率的方式去給出其概率分布, 而而是通過給出所謂是通過給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方的方式式. 下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法的描述方法.例例1：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同。

2、現(xiàn)測種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同?，F(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的得該廠生產(chǎn)的100個零件長度個零件長度(單位單位: mm)如下如下:2.3.1 頻率直方圖頻率直方圖129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148

3、, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.這100個數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。1

4、28155作頻率直方圖的步作頻率直方圖的步驟驟(1). 先確定作圖區(qū)間先確定作圖區(qū)間 a, b ;a = 最小數(shù)據(jù)最小數(shù)據(jù)- -/ 2，b = 最大數(shù)據(jù)最大數(shù)據(jù)+/ 2， 是數(shù)據(jù)的精度。是數(shù)據(jù)的精度。本例中本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2). 確定數(shù)據(jù)分組數(shù)確定數(shù)據(jù)分組數(shù) m = 1.87(n1)2/5 + 1， 組距組距 d = (b a) / m， 子區(qū)間端點(diǎn)子區(qū)間端點(diǎn) ti = a + i d, i = 0, 1, , m；(3). 計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù)計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù) ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, ,

5、n， 頻率頻率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；子區(qū)間子區(qū)間頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率127.5, 131.5)127.5, 131.5)6 60.060.06131.5, 135.5)131.5, 135.5)12120.120.12135.5, 139.5)135.5, 139.5)24240.240.24139.5, 143.5)139.5, 143.5)28280.280.28143.5, 147.5)143.5, 147.5)18180.180.18147.5, 151.5)147.5, 151.5)8 80.080.08151.5, 155.5)151.5, 155.5

6、)4 40.040.04(4). (4). 以小區(qū)間以小區(qū)間 ti-1，ti 為底，為底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 為高作一系列小矩形，組成了頻為高作一系列小矩形，組成了頻 率直方圖，簡稱直方圖。率直方圖，簡稱直方圖。 由于概率可以由頻率近似，由于概率可以由頻率近似， 因此這個直因此這個直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。 用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫X的概的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測數(shù)據(jù)的個數(shù)率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增

7、加觀測數(shù)據(jù)的個數(shù), 同同時將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多時將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多, 分分組越來越細(xì)時組越來越細(xì)時, 直方圖的上方外形輪廓就越來直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線越接近于某一條曲線, 這條曲線稱為這條曲線稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度曲線的概率密度曲線，可用來準(zhǔn)確地刻畫可用來準(zhǔn)確地刻畫X的概的概率分布情況。率分布情況。badxxfbXaP)()(,使得對任意使得對任意 , 有有ba ),( 對于隨機(jī)變量對于隨機(jī)變量 X ,如果存在非負(fù)可積函數(shù)如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x) , x 則稱則稱 X為連續(xù)型為連續(xù)型r.v.,稱稱 f(x)為為 X 的概率密度函

8、的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度數(shù)，簡稱為概率密度.(II) 連續(xù)型連續(xù)型r.v.及其概率密度函數(shù)的定義及其概率密度函數(shù)的定義(III) 概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì)1 o0)(xf2 o1)(dxxf這兩條性質(zhì)是判定一個這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r.vX的的概率密度函數(shù)的充要條件概率密度函數(shù)的充要條件. f (x)xo面積為面積為1連續(xù)型連續(xù)型r.v取取任一任一指定值的概率為指定值的概率為0.即：即：, 0)( aXPa為任一指定值為任一指定值)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00需要指出的是需要指出的是:由此得由此得，)()

9、(bXaPbXaP)(bXaP對連續(xù)型對連續(xù)型 r.v X,有有)(bXaP例例1 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 其他,),(,)(021210 xxAxAxxf求常數(shù)求常數(shù)A解：由解：由可得1d xxf)(1d0d2dd0221100 xxxAxAxx)(111421221 AAAA得即)(IV)連續(xù)型連續(xù)型 r.v.的分布函數(shù)的分布函數(shù)即連續(xù)型即連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限的的分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限的定積分，由高數(shù)我們知道，變上限的定積分所定積分，由高數(shù)我們知道，變上限的定積分所確定的函數(shù)連續(xù)，即確定的函數(shù)連續(xù)，即連續(xù)型連續(xù)型r.v.

10、的分布函數(shù)連續(xù)，的分布函數(shù)連續(xù)，但注意其概率密度函數(shù)不一定連續(xù)但注意其概率密度函數(shù)不一定連續(xù)若若 X 是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.， X f (x) , 則則 F(x) = P(X x) = xdttf)(由上式可得，由上式可得，在在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)，)()(xfdxxdF的不連續(xù)點(diǎn)處即不存在時當(dāng)?shù)倪B續(xù)點(diǎn)處即存在時當(dāng))(,)(, 0)(,)(),()(xfxFxfxFxFxf下面我們來求一個連續(xù)型下面我們來求一個連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例2 設(shè)設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x)其它0,0,2sin21)(xxxf求求 F(x).F(x) = P(X x)

11、 = xdttf)(解：解：求求 F(x).解：解： 對對x 0，F(xiàn)(x) = 0 xdttdtxF002sin210)(2cos1x,0 x對對對對 x ， F (x) = 1其它, 00,2sin21)(xxxfxxxxxF, 10,2cos10, 0)(即即xdttfxF)()(大家一起來作下面的練習(xí)大家一起來作下面的練習(xí).求求 F(x).其它, 021,210,)(xxxxxfX例例3 設(shè)設(shè)由于由于f(x)是分段是分段表達(dá)的，求表達(dá)的，求F(x)時時注意分段求注意分段求.xdttfxF)()(=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2 xF(x) 其它,)(0

12、21210 xxxxxfX對連續(xù)型對連續(xù)型r.v，若已知，若已知F(x)，我們通過求導(dǎo)我們通過求導(dǎo)也可求出也可求出 f (x)，請看下例請看下例.2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF即即?).( 51XP 其它,)(021210 xxxxxf12508750151151151.).().().( FXPXP 225151d0 )d2( d51xx-xxxfXP.)().(1110002xxxxxF,)(例例4 設(shè)設(shè)r.v X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為(1) 求求X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 (0.3,0.7)的概率；的概率； (2) 求求X的概率密度的概率密度.解解: (1)

13、 P(0.3X0，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. (Normal) 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. .(2) 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對對稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. .特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭低，中間高，左右對稱兩頭低，中間高，左右對稱”. .故故f(x)以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在x=處達(dá)到最大處達(dá)到最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x

14、=- -c (c0), 分別代入分別代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()21)(f這說明曲線這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來越向左右伸展時，越來越貼近貼近x軸。即軸。即f (x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。 xexfx,)()(22221 當(dāng)當(dāng)x 時，時，f(x) 0, ,下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線紅線是擬是擬合的正態(tài)合的正態(tài)密度曲線密度曲線可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布

15、。 除了我們在前面遇到過的年降雨量和除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外身高外, ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布等，都服從或近似服從正態(tài)分布. .(3)(3)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1, 0的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .xexx,21)(22)(x dtexxt2221)(記記其密

16、度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x5 . 0)0(（4 4）、正態(tài)分布表）、正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt 2221 )(表中給的是表中給的是x0時時, (x)的值的值.當(dāng)當(dāng)-x175的概率為P X175=1751XP)65. 0(1)69. 7170175(1=0.2578解解: (2) : (2) 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h. .（2 2）公共汽車車門的高度是按成年）公共汽車車門的高度是按成年男性與車門

17、頂頭碰頭機(jī)會在男性與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下以下來設(shè)計(jì)的，問車門高度應(yīng)如何確定來設(shè)計(jì)的，問車門高度應(yīng)如何確定? ?因?yàn)橐驗(yàn)閄N( (170,7.,7.692),),) 1 , 0(69. 7170NX )69. 7170(h故故 P(X0.9969. 7170h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17.92 188設(shè)計(jì)車門高度為設(shè)計(jì)車門高度為188厘米時，可使厘米時，可使男子與車門碰頭男子與車門碰頭機(jī)會不超過機(jī)會不超過0.01. .P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的h .由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算可以求得，這說明，這說明，Y的取值幾乎

18、全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%. .當(dāng)當(dāng)YN(0,1)(0,1)時，時，P(|Y| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|Y| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|Y| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974（VIVI）、）、3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, , ),(2NX時，時，6826. 0)|(|XP9544. 0)2|(|XP9974. 0)3|(|XP可以認(rèn)為，可以認(rèn)為，X 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). . 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱