角形三角形相似及全等

1、.三角形、三角形相似及全等一、三角形的邊例1：3、4、x為三角形的三邊，求x的取值范圍。3、4、x為直角三角形的三邊，求x的取值。3、4、x為等腰三角形的三邊，求x的取值。例2：a、b、c為三角形的三邊，它們存在如下關(guān)系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，請(qǐng)問三角形為什么三角形？并說明理由。課堂練習(xí)1.以下列各組線段長(zhǎng)為邊，能組成三角形的是（ ） A1cm，2cm，4 cm B8 cm，6cm，4cm C12 cm，5 cm，6 cm D2 cm，3 cm ，6 cm2.若線段AB=6，線段DC=2，線段AC= a，則（ ） Aa =8 Ba =4 Ca =4或8 D4a<83.等

2、腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5 cm和10 cm，則此三角形的周長(zhǎng)是（ ） A15cm B20cm C25 cm D20 cm或25 cm4已知a，b，c為ABC三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，則它的形狀為（ ）A直角三角形B等腰三角形 C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形5若3，m，5為三角形三邊，化簡(jiǎn)：二、三角形的角例1：三角形的三個(gè)角的比值為1：2：3，求三角形三個(gè)角的度數(shù)及三角形的三邊比。例2：ABC中，A，B均為銳角，且有，則ABC是（ ）A直角（不等腰）三角形 B等腰直角三角形C等腰（不等邊）三角形 D等邊三角形三、三角形的線（一）角平分線：過三角形的頂點(diǎn)引一條射線，把這個(gè)角

3、分成二等分，這條線就叫做三角形的角平分線。角平分線上的點(diǎn)到三角形的兩邊相等。例1：如圖，OE是AOB的平分線，CDOB交OA于C，交OE于D，ACD=50o，則 CDE的度數(shù)是 課堂練習(xí)ABCDE1已知：如圖，ABC中，BD平分ABC，且D為AC的中點(diǎn)，DEBC交AB于點(diǎn)E，若BC=4，則EB長(zhǎng)為_.A CMBD2已知ABC中，B=C，D為BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AM是CAD的平分線，求證：AMBC.（二）中線、高、垂直平分線（1）三角形的中線：連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線（2）三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊（或其延長(zhǎng)線）引垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高

4、（3）線段的垂直平分線：垂直并平分這條線段的線叫做這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。例2：如圖，在ABC中，B22.5°，C60°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，BD，AEBC于點(diǎn)E，求EC的長(zhǎng)課堂練習(xí)1如圖1，在ABC中，AC27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，ACE的周長(zhǎng)為50，則BC= ADBEC 圖1 圖2 圖32如圖2，在中， ，是的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)已知，則的度數(shù)為（ ）A B C D3如圖3，在RtABC中，ACB90°BC3,AC4,AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為（

5、）A B CD2（三）中位線例1：如右圖，在ABC中，DE兩點(diǎn)分別在BCAC邊上若BD=CD，B=CDE，DE=2，則AB的長(zhǎng)度是（ ） A4 B5 C6 D7 四、三角形相似（一）相似三角形的判定：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 注意：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似在運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)和判定時(shí)，要找對(duì)對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，相等的角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊例1：如圖，在ABC中，DEBC,求證: ABCADE

6、.例2： 如圖所示，在ABC中，AB=8cm，AC=10cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒2cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x。當(dāng)x為何值時(shí)，以A、B為頂點(diǎn)的三角形與APQ相似？（二）相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方例1：如圖，RtABC中，ACB=90°，CDAB于D（1）若AC=4，BC=3，則AD= ，BD= ，CD= ；（2）若ABBC=91，則ADBD= 2如圖，平行四邊

7、形ABCD中，AEEB=12，若SAEF=6，則SCDF= 課堂練習(xí)1.如圖1，在ABC中，DEBC，AD=3，BD=2，EC=1，則AC= 圖1 圖2 圖32如圖2，ABC中，DEBD，ADDB=23，則SADESECB= 3如圖3，平行四邊形ABCD中，BC=18cm，P、Q是三等分點(diǎn)，DP延長(zhǎng)線交BC于E，EQ延長(zhǎng)線交AD于F，則AF=_4.廚房角柜的臺(tái)面是三角形，如圖，如果把各邊中點(diǎn)的連線所圍成的三角形鋪成黑色大理石（圖中陰影部分）其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石面積的比是（ ） A B C D 5如圖，CD是RtABC的斜邊上的高線，BAC的平分線交BC，CD

8、于E，F(xiàn)求證：（1）ACFABE； （2）AC·AE= AF·AB6如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BECD，垂足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且BFE=C（1）求證：ABFEAD；（2）若AB=4，BAE=30°，求AE的長(zhǎng)；（3）在（1），（2）條件下，若AD=3，求BF的長(zhǎng)7如圖，在ABC中，AB>AC，邊AB上取一點(diǎn)D，邊AC上取一點(diǎn)E，使AD=AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P求證：BPCP=BDCE8 如圖，BD、BE分別是ABC與它的鄰補(bǔ)角ABP的平分線，AEBE，ADBD，E、D為垂足 （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）若3

9、，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點(diǎn)，F(xiàn)G交AB于點(diǎn)H，且3，求證：AHG是等腰三角形9如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x。（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQBC？（2）當(dāng)，求的值；（3）APQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由。10已知AOB=90°，OM是AOB的平分線，按以下要求解答問題：(1)  將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點(diǎn)C，D.在圖甲中，證明：PC=PD；在圖乙中，點(diǎn)G

10、是CD與OP的交點(diǎn)，且PG=PD，求POD與PDG的面積之比.（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C，E，使以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長(zhǎng). 五、全等三角形（一）全等三角形的判定方法：（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)二角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或"ASA”（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角

11、邊”或“SAS”（5）有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“斜過直角邊定理”或“HL”（二）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（三）注意事項(xiàng)：（1）說明兩個(gè)三角形全等時(shí)，應(yīng)注意緊扣判定的方法，找出相應(yīng)的條件，同時(shí)要從實(shí)際圖形出發(fā)，弄清對(duì)應(yīng)關(guān)系，把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上（2）注意三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，另外已知兩個(gè)三角形的兩邊與一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也不一定全等例1：如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O，ACBD，OC=OD，E、F為AB上兩點(diǎn)，且AE=BF，求證：（1）AOCBOD（2）CEDF例2：（2010四川宜賓）如圖，分別過點(diǎn)

12、CB作ABC的BC邊上的中線AD及其延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為EF求證：BF=CE例3：(2009南充)如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，于E，交AG于F求證：DCBAEFG例4：已知：如圖，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 求證： M B=MC課堂練習(xí)1.如圖，CB=CD，ABC=ADC=90°，BAC=35°，則BCD的度數(shù)為（） A145° B130° C110° D70°圖圖圖2.兩個(gè)直角三角形全等的條件是（ ） A一銳角對(duì)應(yīng)相等 B兩銳角對(duì)應(yīng)相等 C一條邊對(duì)應(yīng)相等 D兩條邊對(duì)應(yīng)相等3.如圖，點(diǎn)D、E、F分別為ABC三邊的中點(diǎn)，且 SDEF=2，則ABC的面積為（ ）