第一章和第二章基本運算和符號運算

1、鑒于求矩陣逆矩陣是非常困難的，鑒于求矩陣逆矩陣是非常困難的，Matlab提供了提供了兩種求逆矩陣的函數(shù)，可在命令窗口（兩種求逆矩陣的函數(shù)，可在命令窗口（command windows）下直接輸入：）下直接輸入：1、inv(A)2、A-1如在命令窗口下輸入：如在命令窗口下輸入：A=1,2,5,3,7;2,4,7,9,1;2,5,8,3,6;3,4,1,7,9;3,4,3,8,5;inv(A)或或A-1即顯示如下逆矩陣：即顯示如下逆矩陣： 0.4201 -1.2230 0.0074 -1.6952 2.6989 -0.6468 0.5204 0.3160 0.9554 -1.2974 0.2100

2、 -0.1115 0.0037 -0.3476 0.3494 0.0186 0.2379 -0.1413 0.2082 -0.2788 0.1097 0.0037 -0.0335 0.1283 -0.1450這里再來介紹幾個矩陣的簡單表述：這里再來介紹幾個矩陣的簡單表述：1、A：矩陣：矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。2、tril(A)：產(chǎn)生矩陣：產(chǎn)生矩陣A的下三角矩陣。的下三角矩陣。3、triu(A)：產(chǎn)生矩陣：產(chǎn)生矩陣A的上三角矩陣。的上三角矩陣。4、A(m:n,p:q)：產(chǎn)生新矩陣，該矩陣由矩陣：產(chǎn)生新矩陣，該矩陣由矩陣A的的m行到行到n行，行，p列到列到q列組成。列組成。 3 4 1 7

3、9 3 4 3 8 55、sum(A)：得到一行向量，該行向量中各分量分：得到一行向量，該行向量中各分量分別是矩陣別是矩陣A中每一列的和。中每一列的和。6、diag(A)：得到一個列向量，該列向量中各分量：得到一個列向量，該列向量中各分量分別是矩陣分別是矩陣A中對角線上的各元素。中對角線上的各元素。 3 4 3 8 5 7 57、rank(A)： 得到矩陣的秩得到矩陣的秩 。det(A)： 行列式行列式 size(A)： 得到矩陣的階，得到矩陣的得到矩陣的階，得到矩陣的n行行m列。列。 sort(A)：按列將矩陣：按列將矩陣A按升序排列。按升序排列。 fliplr(A)：將矩陣：將矩陣A翻轉(zhuǎn)過

4、來排序。翻轉(zhuǎn)過來排序。 9 7 1 4 3 5 8 3 4 38、cat(1,A,B)：把矩陣：把矩陣A和矩陣和矩陣B按上下順序合并按上下順序合并成新矩陣。成新矩陣。 1 0 4 3 5 69、cat(2,A,B)：把矩陣：把矩陣A和矩陣和矩陣B按左右順序合并按左右順序合并成新矩陣。成新矩陣。 4 3 6 9 8 710、A*B：求矩陣：求矩陣A和和B相乘。相乘。11、A.*B：求矩陣：求矩陣A和和B中各分量分別相乘。中各分量分別相乘。1 2 、 A / B ： 求 矩 陣： 求 矩 陣 A 和和 B 的 逆 矩 陣 相 乘的 逆 矩 陣 相 乘 , 即即A/B=A*(inv(B)。13、A.

5、/B：求矩陣：求矩陣A中各分量除以中各分量除以B中各分量。中各分量。14、AB：求矩陣：求矩陣A的逆矩陣和的逆矩陣和B的相乘的相乘,即即AB=(inv(A)*B)。 0.6957 0.9130 0.843515、A.B：求矩陣：求矩陣B中各分量除以中各分量除以B中各分量。中各分量。 2.2500 2.6667 1.166716、size(A)：得到矩陣：得到矩陣A的行數(shù)和列數(shù)。的行數(shù)和列數(shù)。17、rank(A)：得到矩陣：得到矩陣A的秩。的秩。18、det(A)：得到矩陣：得到矩陣A的行列式值。的行列式值。19、sort(A)：把矩陣：把矩陣A按各元素的升序排列。按各元素的升序排列。 8 3

6、9 1 4 5 7 8 9 920、eye(n,n)：產(chǎn)生：產(chǎn)生n行行n列的單位矩陣，矩陣中對列的單位矩陣，矩陣中對角線上的分量為角線上的分量為1，其余均為，其余均為0。21、zeros(m,n)：產(chǎn)生：產(chǎn)生m行行n列的列的0矩陣，矩陣中各矩陣，矩陣中各分量均為分量均為0。22、ones(m,n)：產(chǎn)生：產(chǎn)生m行行n列的列的1矩陣，矩陣中各矩陣，矩陣中各分量均為分量均為1。23、linspace(x1,x2,N）用于創(chuàng)建向量。用于創(chuàng)建向量。功能：用于產(chǎn)生功能：用于產(chǎn)生x1,x2之間的之間的N點行矢量。其中點行矢量。其中x1、x2、N分別為起始值、終止值、元素個數(shù)。若缺省分別為起始值、終止值、元

7、素個數(shù)。若缺省N，默認(rèn)點數(shù)，默認(rèn)點數(shù)為為100。 24、normrnd(MU,SIGMA,m,n)：產(chǎn)生：產(chǎn)生m行行n列的列的矩陣，矩陣中的數(shù)據(jù)符合正態(tài)，數(shù)學(xué)期望值為矩陣，矩陣中的數(shù)據(jù)符合正態(tài)，數(shù)學(xué)期望值為MU,方差為方差為SIGMA。產(chǎn)產(chǎn)5行行8列的矩陣，矩陣中數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望（平均值）為列的矩陣，矩陣中數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望（平均值）為0，方差為，方差為1。25、rand：用均勻分布在：用均勻分布在0,1內(nèi)產(chǎn)生的隨機數(shù)。內(nèi)產(chǎn)生的隨機數(shù)。 26、rand(n)：產(chǎn)生一個：產(chǎn)生一個n階的隨機矩陣，矩陣中元素均在階的隨機矩陣，矩陣中元素均在0和和1之間，符合均勻分布。之間，符合均勻分布。 27、rand(

8、m,n): 產(chǎn)生一個產(chǎn)生一個m*n階的隨機矩陣，矩陣中元素均階的隨機矩陣，矩陣中元素均在在0和和1之間，符合均勻分布。之間，符合均勻分布。 28、randn(n)：產(chǎn)生一個：產(chǎn)生一個n階的隨機矩陣，矩陣中的元素數(shù)學(xué)階的隨機矩陣，矩陣中的元素數(shù)學(xué)期望為期望為0,方差為方差為1，符合正態(tài)分布。，符合正態(tài)分布。29、randn(m,n): 產(chǎn)生一個產(chǎn)生一個m*n階的隨機矩陣，矩陣中的元素階的隨機矩陣，矩陣中的元素數(shù)學(xué)期望為數(shù)學(xué)期望為0，方差為，方差為1，符合正態(tài)分布。，符合正態(tài)分布。 30、randi(min,max,m,n)：產(chǎn)生：產(chǎn)生m*n階的隨機矩陣，矩陣中階的隨機矩陣，矩陣中各元素均為整數(shù)，

9、符合均勻分布，最大值為各元素均為整數(shù)，符合均勻分布，最大值為max，最小值為，最小值為min。31、poissrnd(LAMBDA,m,n)：產(chǎn)生：產(chǎn)生m行行n列的矩陣，列的矩陣，矩陣中各分量符合泊松分布，參數(shù)為矩陣中各分量符合泊松分布，參數(shù)為LAMBDA。32、用、用matlab編程中常用的幾個語句：編程中常用的幾個語句：（1）if條件語句條件語句if 語句集語句集elseif 語句集語句集else 語句集語句集end （2）for循環(huán)語句循環(huán)語句for = : 循循 環(huán)環(huán) 體體end當(dāng)步長當(dāng)步長=1時，步長可以省略。時，步長可以省略。 for i=1:100for j=1:200 if i

10、=j a(i,j)=2; elseif min(i,j)=1 a(i,j)=1; else a(i,j)=0; endendend （3）while循環(huán)語句循環(huán)語句while 循環(huán)體循環(huán)體 end （4）情景切換語句）情景切換語句switch (變量或表達(dá)式變量或表達(dá)式) case v1 語句語句 case v2 語句語句 . otherwise 語句語句end 22limxaxaxaxasin24xxdtt1211111( 1)234nsn 222252320 xyxxyy002222xdtydydtxdl 什么是符號運算？什么是符號運算？ 直接對直接對進行計算，結(jié)果以進行計算，結(jié)果以來表示

11、。來表示。 可以獲得比數(shù)值計算更一般的結(jié)果。可以獲得比數(shù)值計算更一般的結(jié)果。l 符號運算的特點：符號運算的特點： 運算以推理解析的方式進行，因此不受計算誤差積累問題困擾；運算以推理解析的方式進行，因此不受計算誤差積累問題困擾； 計算結(jié)果或給出完全正確的封閉解，或給出任意精度的數(shù)值解計算結(jié)果或給出完全正確的封閉解，或給出任意精度的數(shù)值解（當(dāng)封閉解不存在時）；（當(dāng)封閉解不存在時）； 符號計算指令的調(diào)用比較簡單，經(jīng)典教科書公式相近；符號計算指令的調(diào)用比較簡單，經(jīng)典教科書公式相近； 計算所需時間較長，有時難以忍受。計算所需時間較長，有時難以忍受。l MATLAB符號運算是通過集成在符號運算是通過集成在

12、MATLAB中的符號運算中的符號運算工具箱（工具箱（symbolic math toolbox)來實現(xiàn)的。符號數(shù)學(xué)工具來實現(xiàn)的。符號數(shù)學(xué)工具箱中的工具是建立在功能強大的稱作箱中的工具是建立在功能強大的稱作的基礎(chǔ)上。的基礎(chǔ)上。 它最初是由加拿大的滑鐵盧（它最初是由加拿大的滑鐵盧（Waterloo）大學(xué)開發(fā)的。當(dāng)要求）大學(xué)開發(fā)的。當(dāng)要求MATLAB進行符號運算時，它就請求進行符號運算時，它就請求Maple去計算并將結(jié)果返回去計算并將結(jié)果返回到到MATLAB命令窗口。命令窗口。l 符號數(shù)學(xué)工具箱是操作和解決符號表達(dá)式的符號數(shù)學(xué)工具符號數(shù)學(xué)工具箱是操作和解決符號表達(dá)式的符號數(shù)學(xué)工具箱箱(函數(shù)函數(shù))集合

13、，有集合，有的工具。的工具。運算對象為符號對象運算對象為符號對象l符號符號常量常量：無變量的符號表達(dá)式稱作符號常量：無變量的符號表達(dá)式稱作符號常量l符號符號變量變量l符號符號表達(dá)式表達(dá)式x=sym(x) 創(chuàng)建創(chuàng)建單個符號單個符號常量常量/變量變量xl符號常量：符號常量： x不為變量不為變量l符號變量：符號變量： x為字符、字符串、表達(dá)式或字符表達(dá)式為字符、字符串、表達(dá)式或字符表達(dá)式syms用于方便地一次創(chuàng)建用于方便地一次創(chuàng)建多個符號多個符號變量，調(diào)用格式為：變量，調(diào)用格式為： syms a b c d . l這種格式定義符號變量時這種格式定義符號變量時不需要在變量名上加字符分界符不需要在變量名

14、上加字符分界符()，變量間用空格變量間用空格而不要用逗號分隔。而不要用逗號分隔。l書寫簡潔意義清楚，建議使用。書寫簡潔意義清楚，建議使用。含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式l MATLAB在內(nèi)部把符號表達(dá)式表示成在內(nèi)部把符號表達(dá)式表示成字符串字符串，以與數(shù)字，以與數(shù)字變量或運算相區(qū)別；否則，這些符號表達(dá)式幾乎完全象基變量或運算相區(qū)別；否則，這些符號表達(dá)式幾乎完全象基本的本的MATLAB命令。命令。l 符號表達(dá)式例子以及符號表達(dá)式例子以及MATLAB等效表達(dá)式等效表達(dá)式12xn2yxcos()sin()xx22Mabcd符號表達(dá)式MATLAB表達(dá)式 1/(2*x

15、n) y= 1/sqrt(2*x) cos(x2)-sin(2*x) M=sym( a，b；c，d )l考察考察和和的差別的差別l例例 a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定義定義4個符號變量個符號變量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定義定義4個數(shù)值變量個數(shù)值變量A=a,b;c,d %建立符號矩陣建立符號矩陣AB=w,x;y,z %建立數(shù)值矩陣建立數(shù)值矩陣Bdet(A) %計算符號矩陣計算符號矩陣A的行列式的行列式det(B) %計算數(shù)值矩陣計算數(shù)值矩陣B的行列式的行列式l比較比較與與在在時的差別時的差別l例例pi1=sym(pi);k1=s

16、ym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定義符號變量定義符號變量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定義數(shù)值變量定義數(shù)值變量sin(pi1/3) % 計算符號表達(dá)式值計算符號表達(dá)式值 sin(pi2/3) % 計算數(shù)值表達(dá)式值計算數(shù)值表達(dá)式值sqrt(k1) % 計算符號表達(dá)式值計算符號表達(dá)式值sqrt(r1) % 計算數(shù)值表達(dá)式值計算數(shù)值表達(dá)式值sqrt(k3+sqrt(k2) % 計算符號表達(dá)式值計算符號表達(dá)式值sqrt(r3+sqrt(r2) % 計算數(shù)值表達(dá)式值計算數(shù)值表達(dá)式值l基本的符號運算符號表達(dá)式的四則運算符號表達(dá)式的四則運算l+ , - , *

17、, / 。符號表達(dá)式的提取分子和分母運算符號表達(dá)式的提取分子和分母運算lnumden因式分解與展開因式分解與展開lfactor,expand表達(dá)式化簡表達(dá)式化簡lsimplify,simple符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換lsym,numeric,evall符號表達(dá)式的四則運算符號表達(dá)式的四則運算符號表達(dá)式的四則運算和其他表達(dá)式的運算并無符號表達(dá)式的四則運算和其他表達(dá)式的運算并無不同，但要注意，其不同，但要注意，其運算結(jié)果依然是一個符號表運算結(jié)果依然是一個符號表達(dá)式達(dá)式。l例例f=sym(2*x2+3*x-5)g=sym(x2-x+7)f+gf-gf*gf/g

18、f3l 符號表達(dá)式的提取分子和分母運算符號表達(dá)式的提取分子和分母運算(分式通分分式通分)如果符號表達(dá)式是一個有理分式或可以展開為有理分式，如果符號表達(dá)式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用可利用來提取符號表達(dá)式中的分子或分母。來提取符號表達(dá)式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：其一般調(diào)用格式為： n,d=numden(s)該函數(shù)提取符號表達(dá)式該函數(shù)提取符號表達(dá)式s的分子和分母，分別將它們存放的分子和分母，分別將它們存放在在n與與d中。中。l 例例 對表達(dá)式對表達(dá)式 f=x/y+y/x 進行通分。進行通分。syms x yf=x/y+y/x;n,d=numden(f)n =x2+y2d =

19、y*xl 因式分解與展開因式分解與展開factor(S) 對對S分解因式，分解因式，S是符號表達(dá)式或符號矩陣。是符號表達(dá)式或符號矩陣。expand(S) 對對S進行展開，進行展開，S是符號表達(dá)式或符號矩陣。是符號表達(dá)式或符號矩陣。collect(S) 對對S合并同類項，合并同類項，S是符號表達(dá)式或符號矩陣。是符號表達(dá)式或符號矩陣。collect(S,v) 對對S按變量按變量v合并同類項，合并同類項，S是符號表達(dá)式或符是符號表達(dá)式或符號矩陣號矩陣l 例例1： 對表達(dá)式對表達(dá)式f=x9-1進行因式分解。進行因式分解。syms xf=factor(x9-1)l 例例2：對大整數(shù)：對大整數(shù)123456

20、78901234567890進行因式分解進行因式分解factor(sym(12345678901234567890)l 表達(dá)式展開：表達(dá)式展開：expand(S)例例 展開表達(dá)式展開表達(dá)式f=(x+1)5和和f=sin(x+y) syms x yf=(x+1)5;expand(f)f=sin(x+y);expand(f)l 符號表達(dá)式的同類項合并：符號表達(dá)式的同類項合并：collect(S,n) 將符號表達(dá)式中自變量的同次冪項的系數(shù)合并。將符號表達(dá)式中自變量的同次冪項的系數(shù)合并。l 例：對于表達(dá)式例：對于表達(dá)式f=x(x(x-6)+12)t, 分別將自變量分別將自變量x和和t的同類項合并。的同

21、類項合并。syms x tf=x*(x*(x-6)+12)*t;collect(f)collect(f,t)l 符號表達(dá)式化簡符號表達(dá)式化簡simplify(S)： 應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對S進行化簡。進行化簡。simple(S)： 調(diào)用調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達(dá)式進行綜合的其他函數(shù)對表達(dá)式進行綜合化簡，選擇在結(jié)果表達(dá)式中化簡，選擇在結(jié)果表達(dá)式中含有最少字符含有最少字符的那種形式，并的那種形式，并顯示化簡過程顯示化簡過程。lr,how=simple(S) 函數(shù)可尋找符號表達(dá)式函數(shù)可尋找符號表達(dá)式S的最簡型，的最簡型， r為返為返回的簡化形式，回的簡化形式，how為化簡過程中使用的主要

22、方法，為化簡過程中使用的主要方法，simple函數(shù)綜合使用了下列化簡方法：函數(shù)綜合使用了下列化簡方法： simplify 函數(shù)對表達(dá)式進行化簡函數(shù)對表達(dá)式進行化簡 radsimp 函數(shù)對含根式函數(shù)對含根式(surd)的表達(dá)式進行化簡的表達(dá)式進行化簡 combine 函數(shù)對表達(dá)式中以求和、乘積、冪運算等形式出現(xiàn)的項函數(shù)對表達(dá)式中以求和、乘積、冪運算等形式出現(xiàn)的項進行合并進行合并 collect 合并同類項合并同類項 factor 函數(shù)實現(xiàn)因式分解函數(shù)實現(xiàn)因式分解 convert 函數(shù)完成表達(dá)式形式的轉(zhuǎn)換函數(shù)完成表達(dá)式形式的轉(zhuǎn)換 l 例例1：對表達(dá)式：對表達(dá)式f=sin2(x)+cos2(x)進行

23、化簡進行化簡.syms xf=sin(x)2+cos(x)2;simplify(f)l 例例2 觀察最簡表達(dá)式的獲得觀察最簡表達(dá)式的獲得syms x tf=cos(x)2-sin(x)2;simple(f)r,how=simple(f)r =cos(2*x)how =combine(trig) l 符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換Sym：可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式。：可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式。eval：可以將符號表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。：可以將符號表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。例例lsym(1.5)lsym(3.14)la= (1+sqrt(5)

24、/2leval(234/5)l 符號表達(dá)式中變量的確定符號表達(dá)式中變量的確定findsym ：可以幫助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號：可以幫助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為： findsym(S,n)函數(shù)返回符號表達(dá)式函數(shù)返回符號表達(dá)式S中的中的n個符號變量，若沒有指定個符號變量，若沒有指定n，則返回則返回S中的全部符號變量。中的全部符號變量。l例例 syms x a y z b;ls1=3*x+y;s2=a*y+b;lfindsym(s1)lfindsym(s2,2)lfindsym(5*x+2)lc=sym(3)lfindsym(a*x

25、+b*y+c)l 在求函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和積分時，如果用戶沒有在求函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和積分時，如果用戶沒有明確指定自變量，明確指定自變量，MATLAB將按將按缺省原則確定主缺省原則確定主變量變量并對其進行相應(yīng)微積分運算。并對其進行相應(yīng)微積分運算。l 可用可用findsym(S,1)查找查找系統(tǒng)的缺省變量系統(tǒng)的缺省變量，事實上，事實上MATLAB按按離字符離字符x最近原則最近原則確定缺省變量。確定缺省變量。l 例例syms a b y z wfindsym(a*y+b*w,1)findsym(a*z+b*w,1)findsym(a*5+b,1)l 符號矩陣符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達(dá)式符號矩陣也

26、是一種符號表達(dá)式前述符號表達(dá)式運算的函數(shù)分別作用于矩陣的每一個元前述符號表達(dá)式運算的函數(shù)分別作用于矩陣的每一個元素素l 例：創(chuàng)建一個循環(huán)矩陣。例：創(chuàng)建一個循環(huán)矩陣。syms a b c dn=a b c d;b c d a;c d a b;d a b cn = a, b, c, d b, c, d, a c, d, a, b d, a, b, c注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方括號，這是與注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方括號，這是與 matlab數(shù)值矩陣的一個重要區(qū)別。數(shù)值矩陣的一個重要區(qū)別。 l 例：將例：將3階階Hilbert矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣。矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣。h=hilb(3)h

27、1=sym(h)h = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000h1 = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/5l 應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)diag,triu,tril,inv,det,rank,eig也可直接應(yīng)用于符號也可直接應(yīng)用于符號矩陣矩陣l 專用于符號矩陣的函數(shù)專用于符號矩陣的函數(shù)transpose(S) 返回返回S矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。A=sym(sin(x),cos(x);acos(x),asin(x)B=transpose(A)D=

28、det (A)E=inv(A)符號函數(shù)求極限l 符號函數(shù)求極限符號函數(shù)求極限limit(f,x,a) 計算符號表達(dá)式計算符號表達(dá)式 f 在在xa條件下的極限；條件下的極限；limit(f,a) 計算符號表達(dá)式計算符號表達(dá)式f中由中由默認(rèn)自變量默認(rèn)自變量趨向于趨向于a條件條件下的極限；下的極限；limit(f) 計算符號表達(dá)式計算符號表達(dá)式f在默認(rèn)自變量在默認(rèn)自變量趨向于趨向于0條件下的條件下的極限；極限；limit(f,x,a,right) 和和limit(f,x,a,left) 計算符號表達(dá)式計算符號表達(dá)式f在在xa條件下的右極限和左極限。條件下的右極限和左極限。 l例例 求極限求極限sym

29、s a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a) %求極限求極限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f) %求極限求極限(2)f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left) %求極限求極限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right) %求極限求極限(4)(1)limmmxaxaxa0sin()sin()(2)limxxaxax2(3) lim (1)xxxx 22(4) limxaxaxaxa符號函數(shù)求導(dǎo)l 符號函數(shù)

30、求導(dǎo)及其應(yīng)用符號函數(shù)求導(dǎo)及其應(yīng)用MATLAB中求導(dǎo)的函數(shù)為：中求導(dǎo)的函數(shù)為： diff(f,x,n)l求求函數(shù)函數(shù)f對對變量變量x的的n階階導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。l參數(shù)參數(shù)x缺省，取默認(rèn)變量缺省，取默認(rèn)變量ln的缺省值是的缺省值是1l 例例 1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)syms x y;f=sqrt(1+exp(x);diff(f) %求求(1)。未指定求導(dǎo)變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理。未指定求導(dǎo)變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理f=x*cos(x);diff(f,x,2) %求求(2)。求。求f 對對 x 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)diff(f,x,3) %求求(2)。求。求 f 對對 x 的三階導(dǎo)數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)(1)

31、1, xyey(2)cos( ),yxxyyl 例例2 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)syms a b t x y z;f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1) %求求(3)。按參數(shù)方程。按參數(shù)方程求導(dǎo)公式求求導(dǎo)公式求y對對x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)2 %求求(3)。求。求y對對x的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f=x*exp(y)/y2;diff(f,x) %求求(4)。z對對x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)diff(f,y) %求求(4)。z對對y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)2(4),yxyxezzzyc

32、os(3),sinxxxatyyybtl 積分積分?jǐn)?shù)值計算：近似解數(shù)值計算：近似解符號計算：解析解符號計算：解析解int(f) 求符號表達(dá)式求符號表達(dá)式 f 對于默認(rèn)自變量的不定積分；對于默認(rèn)自變量的不定積分； int(f,v) 求符號表達(dá)式求符號表達(dá)式 f 對于自變量對于自變量 v 的不定積分；的不定積分；l 例例 求不定積分。求不定積分。x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f) %求不定積分求不定積分(1)f=5*x*t/(1+x2);int(f,t) %求不定積分求不定積分(2)g=simple(ans) %調(diào)用調(diào)用simple函數(shù)對結(jié)果化簡函數(shù)對結(jié)果化簡23(1) (3)xd

33、x25(2)1xtdtxint(f,x,a,b)：la,b分別表示定積分的上限和下限分別表示定積分的上限和下限 可以是具體的數(shù)，返回一個數(shù)值可以是具體的數(shù)，返回一個數(shù)值 也可以是符號表達(dá)式，返回一個符號函數(shù)也可以是符號表達(dá)式，返回一個符號函數(shù) ,還可以是無窮還可以是無窮(inf)，返回一個廣義積分，返回一個廣義積分例例 求定積分求定積分x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2) %求定積分求定積分(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf) %求定積分求定積分(2)int(4*x/t,x,2,sin(x) %求定積分求定積分(3)f=x3/(x-1)1

34、0;I=int(f,2,3) %用符號積分的方法求定積分用符號積分的方法求定積分(4)double(I) %將上述符號結(jié)果轉(zhuǎn)換為數(shù)值將上述符號結(jié)果轉(zhuǎn)換為數(shù)值21(1)1xdx21(2)1dxx33102(4)(1)xdxx sin24(3)xxdtt通過積分運算把一個函數(shù)通過積分運算把一個函數(shù) f（原函數(shù)原函數(shù)）變成另）變成另一個函數(shù)一個函數(shù) F（像函數(shù)像函數(shù)），變換過程是），變換過程是l 其中，其中，l 變換的目的變換的目的例：解微分方程，先求解出例：解微分方程，先求解出 F，進而在求解出，進而在求解出f( )( )( , )btF tf x K x t dxl 傅立葉傅立葉(Fourier

35、)變換變換l 當(dāng)積分變量的核為當(dāng)積分變量的核為 傅立葉變換傅立葉變換傅立葉逆變換傅立葉逆變換l 在在MATLAB中，進行傅立葉變換的函數(shù)是中，進行傅立葉變換的函數(shù)是fourier(fx,x,t) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F(t),t,x) 求傅立葉像函數(shù)求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)。( , )itxK x te( )( )itxF tf x edx1( )( )2ixtf xF t e dt l例例 求函數(shù)求函數(shù)y= 的傅立葉變換及其逆變換。的傅立葉變換及其逆變換。命令如下：命令如下：syms x t;y=abs(x);Ft

36、=fourier(y,x,t) %求求y的傅立葉變換的傅立葉變換fx=ifourier(Ft,t,x) %求求Ft的傅立葉逆變換的傅立葉逆變換xl 當(dāng)積分變量的核為當(dāng)積分變量的核為拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換l 在在MATLAB中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是laplace(f,x,t) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。ilaplace(F,t,x) 求拉普拉斯像函數(shù)求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)。( , )xtK x te0( )( )xtF tf x edx0( )( )xtf xF t e d

37、tl例例 計算計算y=x2的拉普拉斯變換及其逆變換的拉普拉斯變換及其逆變換.命令如下：命令如下：x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t) %對函數(shù)對函數(shù)y進行拉普拉斯變換進行拉普拉斯變換fx=ilaplace(Ft,t,x) %對函數(shù)對函數(shù)Ft進行拉普拉斯逆進行拉普拉斯逆變換變換l Z變換變換l 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，時，z變換變換Z逆變換逆變換l 對數(shù)列對數(shù)列f(n)進行進行z變換的變換的MATLAB函數(shù)是：函數(shù)是：ztrans(fn,n,z) 求求fn的的Z變換像函數(shù)變換像函數(shù)F(z)iztrans(Fz,z,n) 求

38、求Fz的的z變換原函數(shù)變換原函數(shù)f(n)0( )( )nF zf n e11( )( )2nf nF z zdzil例例 求數(shù)列求數(shù)列 fn=e-n的的Z變換及其逆變換。變換及其逆變換。命令如下：命令如下：syms n zfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z) %求求fn的的Z變換變換f=iztrans(Fz,z,n) %求求Fz的逆的逆Z變換變換有窮級數(shù)求和：有窮級數(shù)求和：sum無窮級數(shù)求和：無窮級數(shù)求和： symsuml 級數(shù)符號求和函數(shù)級數(shù)符號求和函數(shù)symsum，調(diào)用格式為：，調(diào)用格式為： symsum(a,v,m,n)a表示級數(shù)的通項，是一個符號表達(dá)式表示級數(shù)的通項

39、，是一個符號表達(dá)式v是求和變量是求和變量m和和n分別為求和的開始項和末項分別為求和的開始項和末項l例例 求級數(shù)之和求級數(shù)之和命令如下：命令如下：n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求求s1s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求求s2。未指定未指定求和變量，缺省為求和變量，缺省為ns3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求求s3。此處的求此處的求和變量和變量n不能省略不能省略。s4=symsum(n2,1,100) %求求s4。計算有限級。計算有限級數(shù)的和數(shù)的和121111(1)14916sn 121111(2)1( 1)234ns

40、n 233(3)23nsxxxnx4(4)1 4 9 1610000s l 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)將一個任意函數(shù)表示為一個冪級數(shù)將一個任意函數(shù)表示為一個冪級數(shù)實例：實例： 通常情況下，取冪級數(shù)的前有限項表示該函數(shù)，通常情況下，取冪級數(shù)的前有限項表示該函數(shù)，精度已經(jīng)足夠精度已經(jīng)足夠l MATLAB中提供了將函數(shù)展開為冪級數(shù)的函數(shù)中提供了將函數(shù)展開為冪級數(shù)的函數(shù)taylor，其調(diào)用格式為：，其調(diào)用格式為：taylor(f,v,n,a)函數(shù)函數(shù)f按變量按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項項（即變量（即變量v的第的第n-1次冪）為止，次冪）為止， n默認(rèn)為默認(rèn)為6a指定將函數(shù)指定將函

41、數(shù)f在自變量在自變量v=a處展開，默認(rèn)值為處展開，默認(rèn)值為0函數(shù)函數(shù) f(x) = ex 展開成展開成 x 的冪級數(shù)為：的冪級數(shù)為：.!1! 2112 nxnxxl 例例1 求求 的的5階泰勒級數(shù)展開式階泰勒級數(shù)展開式x=sym(x);f1=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);taylor(f1,x,5) %展開到展開到x的的4次冪時應(yīng)選次冪時應(yīng)選擇擇n=5l 例例2 將將 在在x=1處按處按5次多項式展開。次多項式展開。 x=sym(x);f2=(1+x+x2)/(1-x+x2); taylor(f2,6,1) %展開到展開到x-1的的5次冪時應(yīng)選次冪時應(yīng)選擇擇n=

42、63233121xxxx2211xxxxl 什么是代數(shù)方程？什么是代數(shù)方程？代數(shù)方程是指未涉及微積分運算的方程，相對比較簡代數(shù)方程是指未涉及微積分運算的方程，相對比較簡單。單。l 在在MATLAB中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)函數(shù)solve實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(eq)：求解符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程：求解符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程eq，求解變，求解變量為默認(rèn)變量。當(dāng)方程右端為量為默認(rèn)變量。當(dāng)方程右端為0時，方程時，方程eq中可以不包中可以不包含右端項和等號，而僅列出方程左端的表達(dá)式。含右端項和等號，而僅列出方程左端的表達(dá)式。solve(eq,v)：求解符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程：求解符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程eq，求解，求解變量為變量