北師大版高中數(shù)學(xué)選修（2-1）-2.3《空間向量基本定理》參考課件

1、2.3.2 向量的坐標(biāo)表示和空間向向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理量基本定理如圖，設(shè)如圖，設(shè)i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共起點(diǎn)起點(diǎn)O。對(duì)于空間任意一個(gè)向量。對(duì)于空間任意一個(gè)向量p=OP,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)為點(diǎn)P在在i,j所確定的平面上的正投影，所確定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，由平面基本定理可知，在在OQ,k所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)z，使得，使得OP=OQ+zk,而在而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前數(shù)對(duì)可知，存在有序之前數(shù)對(duì)(x,y)，使得使得OQ=xi

2、+yj.從而從而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空間向量基本定理：空間向量基本定理：xyzkijQPO如果如果i,j,k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，對(duì)空間是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，對(duì)空間任一個(gè)向量任一個(gè)向量p，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組使得，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組使得 p=xi+yj+zk.xi,yj,zk為向量為向量p在在i,j,k上的分向量。上的分向量。思考：思考：在空間中，如果用任意三個(gè)不在空間中，如果用任意三個(gè)不共面向量共面向量a,b,c代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量i,j,k,能得能得到類似的結(jié)論嗎？到類似的結(jié)論嗎？空間向量基本定理：空間向量基本定理：如果三個(gè)向量如

3、果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序存在有序?qū)崝?shù)組實(shí)數(shù)組x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc.空間所有向量的集合空間所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空間的一個(gè)基底，叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量。都叫做基向量。二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用基底叫做單位正交基底，常用 i , j , k 表表示示 空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一

4、點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一和一個(gè)單位正交基底個(gè)單位正交基底 i、j、k 。以點(diǎn)。以點(diǎn)O為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，分別以分別以i、j、k的正方向建立三條數(shù)軸：的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz 點(diǎn)點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量叫做原點(diǎn)，向量I、j、k都叫做坐標(biāo)向量都叫做坐標(biāo)向量.通通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間中，對(duì)空間任一點(diǎn)，任一點(diǎn)，A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)向量OA，于是存在，于是存在唯一的

5、有序?qū)崝?shù)組唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使，使OA=xi+yj+zk 在單位正交基底在單位正交基底i, j, k中與向量中與向量OA對(duì)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，叫做點(diǎn)，叫做點(diǎn)A在此空間在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，其中，其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo).例題講解：例題講解：例例4、如圖，、如圖，M，N分別是四面體分別是四面體OABC的邊的邊OA，BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，P，Q是是MN的三等分點(diǎn)。用向量的三等分點(diǎn)。用向量OA，OB，OC表示表示OP和和OQ。BAN

6、COMQP三、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算三、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算. .123123( , , ),( , , )aa a a bb b b設(shè)設(shè)則則112233(,);a ba b a b a b 112233(,);a ba b ab a b 123(,)();aaaaR 1 12 23 3;a baba ba b 112233/,()a bab ab abR 1 12 23 30.ababa ba b設(shè)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 則則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo). . 空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，關(guān)鍵是注意空空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，關(guān)鍵是注意空間幾何關(guān)系與向量坐標(biāo)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，為此在間